《高等数学》第八章复习要点

学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载第八章多元函数微分法及其应用复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。1.会求多元函数的偏导数对二元函数z=f（羽y），/•，_&一3f（x+Ax，y）一f（x,y） limf（x，y+Ay）—f（x,y）fll^Q ，J-ll^Q sxA.0 Ax 2d.yAy.0 Ay因此求生时，暂时将y看作常数，对x求导；求包时，暂时将x看作常数，对ySx Sy求导.同理，会求三元函数的偏导数。.会求多元函数的高阶偏导数对二元函数z=f（x,y），有二二g(当，TOC\o"1-5"\h\z12 SxSy SySx于21二S2z S Sz于21二j= =—(—22 Sy2 SySy定理：江上今至,二连续SxSySySx SxSySySx.会求多元函数的全微分TOC\o"1-5"\h\zS7 S7对一元函数z=f(x,y)，dz=一dx+一dySx Sy对三元函数u=f(x,y,z)，du=辿dx+如dy+吆dzSx Sy Sz.掌握多元复合函数的求导法则设z=f(u,V), u=u(x,y), V=V(x,y)nz=f[u(x,y),v(x,y)]则”=生色+生.史=尸且+f.史Sx SuSxSvSx 1Sx 2Sx

生二生.里+生.史二包+f03ydu8yydv3y13y23y重点：会求复合函数的二阶偏导数。.会求由方程F（九y,z）=0确定隐函数z=z（九y）的偏导数，其中TOC\o"1-5"\h\z次F 3z FA7

-x-, —―^-3x F 3y Fzz.会求多元函数的方向导数与梯度二元函数z-f(x,y)在点P(x,y)处沿射线l方向的方向导数：003f-f(x,y)co@+f(x,y)sia(其中a为x轴正向到射线l的转角)TOC\o"1-5"\h\z3l x00 y00梯度gradf(x,y)-f(x,y)i+f(x,y)j00x00 y003f梯度向量的方向为点P（x,y）处方向导数取得最大值的方向，且3f-|gra((f,y)-qf2(x，y)+f2(x,y)max1 0 0 x0 0y0 0类似，可得三元函数的方向导数与梯度。.掌握多元函数微分法在几何上的应用（1）空间曲线x-叭t）,y-V（t）,z-3（t）在点M（x,y,z）处的切线方程（其000中M中M点对应参数t）：0x-xy-y z-z 0-- 0-- 0-①'(t)V'(t)3'(t)000法平面方程：①'(t)(x-x)+V'(t)(y-y)+3'(t)(z-z)-0TOC\o"1-5"\h\z00 00 00⑵曲面F(x,y,z)-0在点M(x,y,z)处的切平面方程:000F(x,y,z)(x-x)+F(x,y,z)(y-y)+F(x,y,z))(z-z)-0x000 0 y000 0 z000 0法线方程x-x y-y z-z法线方程 0 — 0 — 0 F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000 y000 z000.会求二元函数的极值，其一般步骤为：（1）令，fx（x，y）-0，解得函