浙教版八年级数学上册《特殊三角形》单元测试题及答案解析(试题)

《第2章特殊三角形》一、选择题（共10题，每小题3分，共30）温馨提示：每小题四个答案中，只有一个是正确的请将正确的答案选出来．1AB=ACA=36°平分∠ABCAC于D中的等腰三角形）A．1个B2．3D．4个2下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B2．3D．4个3在平面直角坐标系xoy中，已知点（2，﹣，在y轴上确定点P，使△为等腰三角形，则符合条件的点P（）A．1个B2．3D．4个4在△ABC，∠的相邻外角是°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70B55°．70或55D．605已知三角形的周长为15cm且其中两边都等于第三边的2倍，么最短边的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm6如图所示，ABC中AB=AC，过AC上一点作DEAC，EFBC，若BDE=140°，则∠DEF=（）A．55．60°．65D70°若三角形中的一条边是另一条边的2且有一个角为30则这个三角形）A．直角三角形．锐角三角形．钝角三角形D．以上都不对．如图所示，在ABC中，A：BC=3：：10，又eq\o\ac(△,)′B′C′eq\o\ac(△,≌)ABC，则BCA：∠BCB等于（）A．1：2B13C．2：3D．49如图所示，ABC中，BAC=90°，ADBC于D，若AB=3，，则DC长度是（）A．B．C．D．10一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（））；把三条分成三等份，再按照图（2将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，n图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）二、填空题（共6题，每小题4，共24分）温馨提示：填空题应当是填最简洁，最正确的答案！11如图，△ABC，BC是斜边，P三角形内一点，将△ABP绕点逆时针旋转后，能与△ACP重合，如果AP=3，那么PP′的长等于．．在△ABC，∠B=2∠C，ADAC，交BC于D，若AB=a则CD=．如图有一块边长为4的正方形塑料模板将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．14图所示RtABC中斜边上的中线是高AB=10cmDE=2.5cm，则∠BDC=

度，S=cm．△15若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘和

厘米，则斜边长为

厘米．16已知如图∠BAC=90∠C=30AD⊥BC于DDE⊥AB于EBE=1BC=．三、解答题（共8，共66分）温馨提示：解答题应把必要的解答过程表述出来！17如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．18如图，在△ABC，AB=AC，D是BC上的一点，DE⊥DFAC垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是．19如图，CD是Rt△ABC边上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．20已知，如图，延长各边，使得BF=ACAE=CD=AB，顺次连接D，EF，得到△DEF为等边三角形．求证：△AEFeq\o\ac(△,≌)CDE；△ABC等边三角形．21已知如图△ABC∠ABC=45CDAB于DBE平分∠且BE⊥于E与CD相交于点F．求证：BF=AC；CE=BF22图OA=a射线ON上一动P以在射线ON上运动，填空：当OP=当OP=当OP足

时，△AOP为等边三角形；时，△AOP为直角三角形；时，△AOP为钝角三角形．23已知，如图，AD∥BC，A=90°，AD=BE，EDC=ECD，请你说明列结论成立的理由：（1△AEDeq\o\ac(△,≌)（2AB=AD+BC．24如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△绕点按顺时针方向旋转60，连接OD．求证：△COD是等边三角形；当a=150°时，试判断AOD形状，并说明理由；探究：当a多少度时，△是等腰三角形？《第2特殊三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每小题3分，共30）温馨提示：每小题四个答案中，只有一个是正确的请将正确的答案选出来．1AB=ACA=36°平分∠ABCAC于D中的等腰三角形）A．1个B2．3D．4个【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．【解答】解：∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36，∴∠C=ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=DBC=36°，∵∠∠ABD=36，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=A+ABD=36°+36=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．2下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B2．3D．4个【考点】等腰三角形的性质．【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握并灵活应用这些知识是解答本题的关键．3在平面直角坐标系xoy中，已知点（2，﹣，在y轴上确定点P，使△为等腰三角形，则符合条件的点P（）A．1个B2．3D．4个【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】如果OA等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点以A为圆心AO半径的圆弧与y轴有一个交点如果OA等腰三角形的底，只有一种可能，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点；符合条件的点一共4．【解答】解：分二种情况进行讨论：当OA等腰三角形的腰时，以为圆心OA为半径的圆弧与轴有两个交点，以A为圆心AO半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y的交点，比较形象易懂．4在△ABC，∠的相邻外角是°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70B55°．70或55D．60【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据已知可求得A度数，题中没有指明A是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而不难求解．【解答】解：①当∵∠是顶角时，∵∠的相邻外角是110，∴∠°110=70，∵只有当B=∠时，△ABC为等腰三角形，∴∠（180﹣70°2=55°，②当∠A=∠是底角时，∵∠的相邻外角是110，∴∠°110=70，∴∠B=70，故选C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，注意分类讨论思想的运用．5已知三角形的周长为15cm且其中两边都等于第三边的2倍，么最短边的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【考点】三角形三边关系．【分析】可设这个三角形的最短边为x厘米，根据三角形的周长为15米可列出方程求解即可．【解答】解：设这个三角形的最短边为x厘米，依题意有x+2x+2x=155x=15x=3．故这个三角形的最短边为3米．故选C．【点评】考查了等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形的周长列出方程求解．6如图所示，ABC中AB=AC，过AC上一点作DEAC，EFBC，若BDE=140°，则∠DEF=（）A．55．60°．65D70°【考点】三角形的外角性质．【分析】由DE⊥AC，∠BDE=140°，可计算出∠再利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用EF⊥BC同角的余角相等得到∠DEF的度数．【解答】解：∵DE⊥AC∠BDE=140°，∴∠A=50，又∵AB=AC，∴∠C=

=65，∵EF⊥BC，∴∠DEF=°．所以A错，B，C对，D错．故选C【点评】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质．7若三角形中的条边是另一条边的2倍且有一个角为30则这个三角形）A．直角三角形．锐角三角形．钝角三角形D．以上都不对【考点】三角形．【分析如图分AB是30角所对的边AC2和AB是30角相邻的边AC2两种情况求解．【解答】解：如图：当AB30°所对的边AC的2时，△ABC直角三角形；当AB30°相邻的边AC的2时，△ABC钝角三角形．所以三角形的形状不能确定．故选D．【点评】解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定．8如图所示，在ABC中，A：∠B：C=35：10，又eq\o\ac(△,)′B′C′ABC则BCA′：∠BCB等于（）A．1：2B13C．2：3D．4【考点】全等三角形的性质．【分析】设∠∠，∠C=10k，根据全等三角形对应角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BCB′=8k，然后求出∠′CB=2k，求出比值即可．【解答】解：∵∠A：B∠：510∴设∠，∠∠C=10k，∵eq\o\ac(△,)′B′CABC∴∠′CB′=ACB=10k，在△ABC，∠BCB=A+B=3k+5k=8k，∴∠′CB=∠′CB′﹣∠′CB′=10k﹣8k=2k∴∠BCA：∠BCB=2k：8k=1：4故选D．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，利用“设k法”表示出各角更简便．9如图所示，ABC中，BAC=90°，ADBC于D，若AB=3，，则DC长度是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC，根据勾股定理计算AC===4，易证得Rt△CADRt△CBA根据相似三角形的性质得到CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：即可求出CD．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90，AB=3，BC=5，∴AC=

==4，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90，而∠公共，∴Rt△CAD∽△CBA∴CD：AC=AC：BC，即CD：5∴CD=．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了勾股定理．10一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（））；把三条分成三等份，再按照图（2将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，n图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．【分析】第一图形中三角形的个数为4第二个图形中三角形的个数为这两个数均为完全平方数，那么就可得到第n图形中全等的三角形个数．【解答】解：由图（1可知：顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+12；图（2中顺次连接各中点所得全等的小三角形为（2+12；同理如果把三条边分成3分可得到3+12个全等的小三角形，按照这种方式分下去，第n图形中应该得到（n+12

个全等的小三角形．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理，用加法表示出全等三角形的个数，进而找到相应规律是解决本题的关键．二、填空题（共6题，每小题4，共24分）温馨提示：填空题应当是填最简洁，最正确的答案！11如图，△ABC，BC是斜边，P三角形内一点，将△ABP绕点逆时针旋转后，能与△ACP重合，如果AP=3，那么PP′的长等于．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得到AP=AP=3，PAP=∠CAB=90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到出PP的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP=3∠PAP=∠CAB=90，∴eq\o\ac(△,)′AP为等腰直角三角形，∴P′P=AP=3

．故答案为3

．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．12在△ABC，∠B=2C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则2a．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】如图：作CD的中点E，连接AE由直角三角形的性质可以得出AE=CD，可以得出∠AEB=2C，得出∠AEB=B就有AB=AE=a，就可以得出结论．【解答】解：如图，作CD的中点E，连接AE∴DE=CE=CD．∵AD⊥AC，∴∠DAC=90，∴AE=CD∴AE=CE，∴∠C=EAC∵∠AED=C+CAE，∴∠AED=2C．∵∠B=2C，∴∠B∴AB=AE=CD，∴CD=2AB∵AB=a，∴CD=2a．故答案为：2a【点评本题考查了作辅助线的运用及直角三角形的斜边上的中线的性质的运用等腰三角形的性质的运用，解答本题作斜边上的中线是关健．13如图有一块边长为4的正方塑料模板ABCD将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是16．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又ABE=∠D=90，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，BAE+∠BAF=90°，进一步得到DAF=∠BAE，所以可以证明AEBeq\o\ac(△,≌)AFD，所以S=S，那么它们都加上四边形ABCF△△的面积，即可四边形AECF面积=正方形的面积，从而出其面积．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=ABC=90°，AD=AB，∴∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+BAF=90°，BAE+BAF=90°，∴∠DAF=BAE，在△AEB和AFD，∵，∴△AEBAFD（ASA），∴S=S，△△∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16故答案为：16【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证△AEBAFD．14图所示RtABC中斜边上的中线是高AB=10cmDE=2.5cm，则∠BDC=120

度，=cm2△【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得再根据三角函数值算出∠ECD的度数，然后根据三角形的内角与外角的关系可得∠∠CED+∠ECD，进而得到CDB的度数；再根据勾股定理可计算出CE的长，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，∴CD=AB∵AB=10cm，∴CD=5cm，∵CE是高，∴△CED是直角三角形，∵DE=2.5cm∴sin∠ECD==，∴∠ECD=30，∴∠CDB=CED+∠ECD=90+30=120°；在Rt△CED中：CE=∴S=DB•CE=×5×=△

==（cm）．

（cm），故答案为：120；．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，以及三角函数的应用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15若直角三角形两条直角边上的中线分别是5厘米和

厘米，则斜边长为厘米．【考点】勾股定理．【分析】如图，在RtABE与Rt△CBD，利用勾股定理列出关于a、方程组，通过解方程组求得ab的值；然后在RtABC根据勾股定理来求斜边AC长度．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，B=90，AECD分别是直角边BCAB的中线，且AE=5厘米，CD=则由勾股定理知解得，则AB=2a=4，BC=2b=6．

厘米，，则在ABC，根据勾股定理得AC=故答案是：2．

==2（厘米）．【点评】本题考查了勾股定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．16已知如图BAC=90°C=30°⊥BCDDEAB于EBE=1BC=8．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据已知条件易求得BDE=30°，BAD=30°，则30度角所对的直角边是斜边的一半“，所以BD=2BE=2，AB=2BD=4，BC=2AB=8．【解答】解：如图，∵∠°即AC⊥BDE⊥AB，∴ED∥AC，∴∠BDE=C=30°，∴BD=2BE又∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD=4BE，∴BC=2AB=8BE=8．故填：8【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中°角所对的直角边等于斜边的一半．三、解答题（共8，共66分）温馨提示：解答题应把必要的解答过程表述出来！17如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先根据等边三角形的内角等于60°出ACD=∠BCE然后利用边角边证明△ACD与△BCE全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵AB=BC=ACCD=DE=EC，∴△ABC与△CDE是等边三角形，∴∠ACB=DCE=60°，∴∠ACB∠BCD=∠DCE﹣∠，即∠ACD=BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACDBCESAS），∴AD=BE．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判定出△△CDE是等边三角形并求出∠ACD=∠BCE是解题的关键．18如图，在△ABC，AB=AC，D是BC上的一点，DE⊥DFAC垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是BD=CD，或BE=CF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；开放型．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．【解答】解：需添加的条件是：BD=CD，BE=CF添加BD=CD理由：如图，∵AB=AC，∴∠∠C．又∵DE⊥ABDFAC，∴∠BED=CFD=90°．∴△BDECDF（）．∴DE=DF添加BE=CF的理由：如图，∵AB=AC，∴∠∠C．∵DE⊥ABDFAC，∴∠BED=CFD．又∵BE=CF，∴△BDECDF（）．∴DE=DF【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．19如图，CD是Rt△ABC边上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．【考点】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理求得直角边AC=8；然后利用面积法来求CD的长度．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC，BC=6，AB=10，∴由勾股定理，得AC=

==8∴

，∴．【点评】本题考查了勾股定理．如果直角三角形的两条直角边长分别是b斜边长为c，那么a

2+b

2=c．20已知，如图，延长各边，使得BF=ACAE=CD=AB，顺次连接D，EF，得到△DEF为等边三角形．求证：△AEFeq\o\ac(△,≌)CDE；△ABC等边三角形．【考点】全等三角形的判定；等边三角形的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1关键是证出，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEFeq\o\ac(△,≌)CDE（2有（1中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合DEF是等边三角形，可知∠DEF=60，从而得出∠BAC=60°，同理可得ACB=60°，那么ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．【解答】证明：（1∵BF=AC，AB=AE已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE=CD（已知），∴△AEFeq\o\ac(△,≌)CDE（SSS）．（2由△AEFeq\o\ac(△,≌)CDE，得∠∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=EDC+∠DEC=∠FEA+DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEFeq\o\ac(△,≌)CDE，得EFA=∠DEC，∵∠DEC+°，∴∠∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．【点评】本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和边三角形的判三个角都是60么就是等边三角形21已知如图△ABC∠ABC=45CDAB于DBE平分∠且BE⊥于E与CD相交于点F．求证：BF=AC；CE=BF【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析（1根据三角形的内角和定理求出A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDFCDA即可；（2推出∠AEB=CEB∠ABE=CBE，根据ASA证△AEBeq\o\ac(△,≌)CEB推出AE=CE即可．【解答】（1证明：∵CD⊥ABBE⊥，∴∠BDC=ADC=∠AEB=90°，∴∠∠ABE=90°，ABE+DFB=90，∴∠∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°∴∠DCB=90﹣45°=45=∠DBC，∴BD=DC在△BDF和△CDA中∵，∴△BDFeq\o\ac(△,≌)CDA（AAS），∴BF=AC；（2证明：∵BEAC，∴∠CEB∵BE分∠ABC，∴∠CBE在△AEB和CEB中∵，∴△AEBCEBASA，∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDFeq\o\ac(△,≌)CDA和△AEBCEB题目综合性比较强．22图OA=a射线ON上一动P以在射线ON上运动，填空：当OP=a当OP=当OP足

时，△AOP为边三角形；时，△AOP为直角三角形；时，△AOP为钝角三角形．【考点】等边三角形的判定；含30度角的直角角形．【分析】（1由∠，可得当OP=OA=a时，△AOP为等边三角形；分别从若⊥ON若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得的长；结合（2的结论，即可求得答案．【解答】解：（1∵∠°，∴当OP=OA=a时，△AOP等边三角形；（2若AP⊥ON，∵∠AON=60°，∴OP=OAcos60°=a若PAOA则OP=

=2a∴当OP=

时，△AOP为直角三角形；（3由（2可得：当OP满足

时，△AOP为钝角三角形．故答案为：（1a（2）a或2a，（3OP＞2aOP＜a【点评】此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．232008•广安校级期中已知如图AD∥BC∠A=90AD=BEEDC=ECD，