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文档简介
不定积分的换元积分法
二、第二类换元积分法一、第一类换元积分法(凑积分法)
三、基本积分表(Ⅱ)第二节
第4章
二、第二类换元法1.引例
解作变量代换:令(应用“凑微分”即可求出结果)不易积分易积分2.定理4.2设单调可导,且分析
需证:则有换元公式已知证即注第一类:
左
右第二类:第一换元法与第二换元法的比较:如:a>0第一类,放入第二类,取出
左
右有五种:1º三角代换2º双曲代换3º倒代换4º换根代换5º万能代换3.常见代换适用类型代换1º
三角代换例1求解
令则为去根式例2求解(方法1)
则为去根式例3求解
令则为去根式令于是为利用x>a结果小结以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下:当被积函数中含有可令可令可令
积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.适用类型代换2º
双曲代换解(方法2)例2求积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定.(1)求(三角代换较繁琐)令解
注例4(2)解(凑微分)此题不必用三角代换!当分母的次数较高时,可采用倒代换:例5
求令解3º
倒代换倒代换效果:降低分母的幂次,提高分子的幂次.例6
已知求解则适用类型:代换:4º
换根代换求解令例7求解令例8
适用类型:代换:5º
万能代换t
的有理函数解例9三、基本积分表(Ⅱ
)基本积分公式的使用
例10求下列不定积分:du?例11解(方法1)用三角代换(方法2)用双曲代换(方法3)用凑微分法
用倒代换(方法4)(方法5)用换根代换内容小结第一换元法(凑微分法)第二换元法第一类:
左
右第二类:
左
右1.
换元积分法2.
常见的选u=(x)
的规律3.
常见代换x=(t)有五种:1º
三角代换2º
双曲代换3º
倒代换4º
换根代换5º
万能代换4.基本积分表(Ⅱ)思考题1.如何选择变换简化积分?(令(令2.用哪些变换可以计算积分方法一方法二方法三备用题
例1-1求解分子分母同除以例2-1解(方法1)(方法2)求解令(分母的次数较高)例5-1例5-2解例5-3解例5-4求解
令难点:分母因子x2则倒
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