2021年天津市高考数学模拟试卷(解析版)

2021年天津市高考数学模拟试卷一．选择题（共9小题）.1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目．设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A．既参加跳高又参加跳远的甲班同学 B．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学 C．参加跳高或跳远的甲班同学 D．不同时参加跳高和跳远的甲班同学2．“函数在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝kx在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝cos（x﹣）ln（ex+e﹣x）的图象大致为（）A． B． C． D．4．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化 B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高 C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了 D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大5．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．6．已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称 C．函数f（x）在[，π]上单调递增 D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称8．已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3） B． C．[﹣3，0） D．9．已知实数a＝0.70.2，b＝log20.7，c＝20.7，则实数a，b，c的大小是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10．已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝．11．二项式的展开式中的常数项为．12．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C以（﹣1，3）为中点的弦所在直线的斜率k＝．13．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为．14．已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是．15．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值．18．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，四条直线x＝±a，y＝±b所围成的区域面积为4．（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|＝|AB|（O为原点），求直线l的方程．19．已知数列{an}的各项均不为零，设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Sn2﹣4Sn+Tn＝0（n∈N*）．（1）求a1，a2的值；（2）设bn＝（2n﹣1）2n，求数列{bn}前n项和Bn；（3）证明：数列{an}是等比数列．20．已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax（a∈R），g（x）＝xlnx．（1）求曲线g（x）在x＝1处的切线方程；（2）对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x∈（0，a]时，试求方程f（x）＝g（x）的根的个数．

参考答案一．选择题（共9小题）.1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目．设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A．既参加跳高又参加跳远的甲班同学 B．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学 C．参加跳高或跳远的甲班同学 D．不同时参加跳高和跳远的甲班同学解：集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是不同时参加跳高和跳远的甲班同学，故选：D．2．“函数在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝kx在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：∵函数y＝在（0，+∞）上是减函数，∴k＞0，∴函数y＝kx在R上是增函数，故是充分条件；若函数y＝kx在R上是增函数，则：k＞0；推出函数y＝在（0，+∞）上是减函数，故是必要条件，故选：C．3．函数f（x）＝cos（x﹣）ln（ex+e﹣x）的图象大致为（）A． B． C． D．解：（x）＝cos（x﹣）ln（ex+e﹣x）＝sinxln（ex+e﹣x），f（﹣x）＝sinx（﹣x）ln（e﹣x+ex）＝﹣sinxln（ex+e﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，∵y＝ex+e﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，∴ln（ex+e﹣x）≥ln2＞ln1＝0，当x∈[0，π）时，sinx≥0，当x∈[π，2π）时，sinx≤0，∴当x∈[0，π）时，f（x）＞0，当x∈[π，2π）时，f（x）≤0，故排除AB，故选：C．4．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化 B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高 C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了 D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大解：由频率分布直方图得：在A中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A正确；在B中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B正确；在C中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C正确；在D中，新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D错误．故选：D．5．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2r＝＝，∴r＝，所以R＝＝，所以球的表面积S＝4＝．故选：A．6．已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）A． B． C． D．解：不妨设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），双曲线方程为﹣＝1（m＞0，n＞0）．再设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得s＝a+m，t＝a﹣m，在三角形F1PF2中，，可得4c2＝s2+t2﹣2st×＝a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m2），即有3a2+5m2＝8c2，可得+＝8，即为+＝8，则e12+e22＝（+）（e12+e22）＝（8++）≥（8+2）＝（8+2）＝1+，当且仅当＝，即e22＝e12，取得最小值1+．故选：A．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称 C．函数f（x）在[，π]上单调递增 D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T＝π，故A错误；∵ω＞0∴ω＝2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ＝kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ＝．∴f（x）＝sin（2x+）．∴由2x+＝kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故C正确．由2x+＝kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x＝+，k∈Z，故D错误；故选：C．8．已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3） B． C．[﹣3，0） D．解：当m＜0时，作出函数的图象如下图所示，当x＜m时，f（x）＝x2﹣2mx+6＝（x﹣m）2+6﹣m2≥6﹣m2，所以若要存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则必须6﹣m2＜m2（m＜0），解得，所以m的取值范围是．故选：B．9．已知实数a＝0.70.2，b＝log20.7，c＝20.7，则实数a，b，c的大小是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：∵0＜0.70.2＜0.70＝1，log20.7＜log21＝0，20.7＞20＝1，∴b＜a＜c．故选：B．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10．已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝．解：z＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣）i，因为其虚部为零，所以，即．故答案为：．11．二项式的展开式中的常数项为112．解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）rC8r，令＝0得r＝2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C82＝112．故答案为：112．12．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C以（﹣1，3）为中点的弦所在直线的斜率k＝2．解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，其圆心C（1，2），设P（﹣1，3），要求斜率的弦所在的直线为l，若要求弦以P（﹣1，3）为中点，则CP⊥l，又由kCP＝＝﹣，则直线l的斜率k＝2，故答案为：2．13．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为．解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，P（）＝1﹣P（），∵，∴a，∴P（）＝，则的概率P（）＝1﹣．故答案为：．14．已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是．解：正实数m，n满足，设a＝m+2n，b＝+，∴ab＝（m+2n）（+）＝+2++≥+2＝，当且仅当m＝n时取等号，∵a+b＝，∴a（﹣a）≥，解得≤a≤3，故m+2n的最小值为．故答案为：．15．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为﹣．解：∵向量λ+与﹣2平行，∴存在实数k使得λ+＝k（﹣2），化为+＝，∵向量，不平行，∴，解得．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．解：（1）∵△ABC中，cosB＝，B∈（0，π），∴sinB＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cosA＝﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sinBsinC﹣cosBcosC＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA＝，∴cos（A﹣）＝cosA+sinA＝．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值．解：（Ⅰ）∵PA＝PB，∴AB⊥PE．而AB⊥EF，所以AB⊥平面PEF，又AB⊂平面PEF，所以平面ABCD⊥平面PEF．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，∠PEF即为二面角P﹣AB﹣C的平面角．如图，作PO⊥EF于O，则，∴．如图建立空间直角坐标系，则．设平面PAB的法向量为，则，令z＝1，则，∴，，∴．故PC与平面PAB所成角的正弦值为．18．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，四条直线x＝±a，y＝±b所围成的区域面积为4．（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|＝|AB|（O为原点），求直线l的方程．解：（1）由题意，可知c＝，4ab＝4，则，解得．∴椭圆C的方程为+y2＝1．（2）由题意，当斜率不存在时，点M即为O点，不满足|OM|＝|AB|，故斜率存在，设斜率为k，则直线l：y＝kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（3k2+1）x2+18kx+24＝0．则x1+x2＝，x1•x2＝．∴|AB|＝•＝•＝．设点M（xM，yM），则xM＝＝，yM＝k•+3＝．∴|OM|＝＝＝．∵|OM|＝|AB|，∴＝•．即3＝••化简，整理得3k4﹣32k2﹣11＝0，解得k2＝11，或k2＝﹣（舍去）．∴k＝±．∴直线l的方程为y＝±x+3．19．已知数列{an}的各项均不为零，设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Sn2﹣4Sn+Tn＝0（n∈N*）．（1）求a1，a2的值；（2）设bn＝（2n﹣1）2n，求数列{bn}前n项和Bn；（3）证明：数列{an}是等比数列．【解答】解（1）：∵3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，令n＝1，得3a12﹣4a1+a12＝0∵a1≠0，∴a1＝1．令n＝2，得2（1+a2）2﹣4（1+a2）+（1+a22）＝0即2a22+a2＝0∵a2≠0，∴a2＝﹣；（2）∵bn＝（2n﹣1）2n，∴Bn＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）n•2n，①2Bn＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，②①﹣②，得﹣Bn＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣6+2n+2﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣6﹣（2n﹣3）•2n+1，∴Bn＝（2n﹣3）•2n+1+6．证明（3）∵3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，①∴3Sn+12﹣4Sn+1+Tn+1＝0，②②﹣①得：3（Sn+1+Sn）an+1﹣4an+1+an+12＝0，∵an+1≠0，∴3（Sn+1+Sn）﹣4+an+1＝0，③3（Sn+Sn﹣1）﹣4+an＝0，④当n≥2时，③﹣④得：3（an+1+an）+an+1﹣an＝0，即an+1＝﹣an，∵an≠0，∴＝﹣．又由（1）知，a1＝1，a2＝﹣，∴＝﹣．∴数列{an}是以1为首项，以﹣为公比的等比数列．20．已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax（a∈R），g（x）＝xln