工程数学2010-ch09本征函数法

第九章本征 PDF文件使用"pdfFactoryPro"§ 弦振动方程的第一类边值问考虑一根长为l,两端固定的弦,弦的横振动方程 2u(x, 2u(x, t 其中a

utt(x,t)a (x,FT/,FT为弦的张力,0为单位长FT/

t

u(x,初始条件u(x

tt

(x) 0x 其中(x)和(x)是已知函数,分别代表初始位移和初始PDF文件使用"pdfFactoryPro"分离变考虑特

u(x,t)X(x)T

代入方程(1 XdTa2d

T或者写为

a2X 移 XT 左边只是x的函数,右边只是t的函数XT X(x)X(x) 因此得

T(t)a2T(t)

一个偏微分方程化为两个常微分方程.边界条X(0)T(t) X(0)X(l)T(t) 即X(l)

X(x)T(0)初值条件PDF文件使用"pdfFactoryPro"

X(x)T(0)

解本征值 X(x)X(x) 和齐次边界条 X(0)X(l)

构成的问题称为本征值问题.使本征值问题有非平庸解(非恒零解)的值称为方程(4)在齐次边界条件(4a)下X(x)A由(4a)得AB0,X(x)0.即0不是这一问题的如果 方程(4)的通解X(x)A xB l0.因此ln,nn 本征值n ,本征函数Xn(x) x PDF文件使用"pdfFactoryPro"满足边界条件的u(x,t)的一般将n代入方程nT(t)a2T(t)n其通解Tn(t)Cn

natDn

nCcosnatDsinna 因此,满足边界条件的特un(x,t)Xn(x)TnsinnxCcosnatDsinnat,n1,

u(x,t)

un(x,t)

l

xCn

tDnl

t

PDF文件使用"pdfFactoryPro"弦振动方u(x,

t

(x)应用初始条件u(x

t

0x (x)

nn

Cnsin (x)

nasinn应用傅立叶系

2 Cn

()0

l

l0()0

na PDF文件使用"pdfFactoryPro"弦振动方程解的物理意u(x,t)CcosnatDsinnatsinn

Acosnatsinn n 其 CnAncosn DnAnsinnAC

D2

, arccotC/D 每个un(x,t)对应于一种驻波PDF文件使用"pdfFactoryPro"§ 第二类边u(x,t)

22u(x,t)

0x 定解问题u(x

u(xu(x,

0,0

u(x,t)|t0 0xu(x,t)X(x)TT X"(x)a2T X X"(x)X(x)0,T'(t)a2T(t)边界条件分 X'(0)X'(L)PDF文件使用"pdfFactoryPro"求解本征方边界条

X"(x)X(x)X'(0)X'(l)0时，方程的通解X(xA满足边界条件的解X0x0时，方程的通解X(x)A满足边界条件的本征函

xB X(x)Acosn n n对应的本征 n PDF文件使用"pdfFactoryPro"00时

T'(t)a2T(t)T0(t) nn n12,...时 anTn(t)

Cne an 因 u(x,t)C0代入初始条件

Cne

(x)u(x,t) CCcosnnt n利用傅立叶系

1l1C0l()d0

Cnl() 0PDF文件使用"pdfFactoryPro"解的物理温度分 an u(x,t)C0其

Cne

2 C0l()d0

Cnl() 0当t u(x,t)C0.PDF文件使用"pdfFactoryPro"第三类边u(x,t)

22u(x,

0x定解问题u(x

0,0u(xu(x,

u(x,t)|t0(x), 0xu(x,t)X(x)TT X"(x)a2T X X"(x)X(x)0,T'(t)a2T(t)边界条件分 X(0) X'(l)PDF文件使用"pdfFactoryPro"求解本征方边界条

X"(x)X(x)X(0)0,X'(l)0时，方程的通解X(x)ABx, 的解X0(x)0,0不是方程的本征值0时，方程的通解X(x)A满足边界条件的本征函

xB X

l2 2 2l本征值ln1 n 2 2l 对应的本征函数X(x)sinn1 2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"解方

T'(t)a2T(t) 12

1an2lnn2l

n1,2,...时,Tn(t)Cne

2l

1因 u(x,t)

Cne

sinn

l代入初始条件

Csinn1 (x)u(x,t)|t 利用傅立叶系

n

2l

()sinn1 2 2

2 1l () 1l sin0

n1 2 20

2PDF文件使用"pdfFactoryPro"解的物理温度分

1 2l

1u(x,t)其

Cne

sinn

2l2 1Cnl()sinn2

当tu(xt0热量u(x

PDF文件使用"pdfFactoryPro"§ 将定义在[-l,l]上的函数f(x)延拓到(-,)上的周期函 f lx延拓,令函f(x)f(x2ml)内其它区f(x)

C

nx

nx n1 1其 C02lf(1l1Cnlf()1l1Dnlf()

lPDF文件使用"pdfFactoryPro"将定义在[0l]上的函数f(x)延拓到[ll]上的寄函 f 0x延拓,令函数f(x)f lxf(xf(x2ml)内其它区

f(x)

1 2 Dnlf(

dl

lf() f(x)满足第一类齐次边界条件f(0)f(lPDF文件使用"pdfFactoryPro"PDF文件使用"pdfFactoryPro" f 0x延拓,令函数f(x)f lxf(xf(x2ml)内其它区偶函数展f(x)C0Cn

1 1系 C02lf()dlf( 1 2 Cnlf()

d

f() f(x)满足第二类齐次边界条件f

f

PDF文件使用"pdfFactoryPro"PDF文件使用"pdfFactoryPro"将定义在[0l]上的函数f(x)延拓到[2l,2l]上的奇函延拓,令函数

ff(x)f(2l

0xllxf(x)f

2lxf(xf(x4ml)内其它区域式中,m12,....

f(x)

2

0系 Dm2lf() 01

lf()ll

df()

d PDF文件使用"pdfFactoryPro"PDF文件使用"pdfFactoryPro"变量代换2l或2l利用f(f(2lf()l

df(2l)l

m(2l)d(2l) f()sin m lf()0

其中m2n(n12时取号m2n1时取号1

因此

l

df()l

d 2

d ml PDF文件使用"pdfFactoryPro"2l2Dmlf()0

d m令m2n1Dm和f(x)可写2l2Dnlf()0

(2n

d nf(x)

(2n1)f(x)满足第三类齐次边界条件f(0)0,f

PDF文件使用"pdfFactoryPro"§ 热传导问

定解问题,例u u|x0T ux|xl0,0u (x),0x t v(x,t)u(x,t)定解问题化va2v v|x0 vx|xlv (x)T,0x t结 u(x,t)v(x,t)PDF文件使用"pdfFactoryPro"定解问题,例uta2uu

u

,0u

0x t v(x,t)u(x,t)并使(0)T1,(l)定解问题化v

a2vxxx0 v

0v (x)

0x t结 u(x,t)v(x,t)例如可(xT2T1x PDF文件使用"pdfFactoryPro"

a2uxx

a/(cu

T0

ux

Q/,0u T

0x t 0 v(x,t)u(x,t)Qx 0 定解问题化为第三类齐次边值问va2v v|x0 vx|xl 0 v|t0

0xPDF文件使用"pdfFactoryPro"

1解 v(x,t)

Cne

sinn

2ll l

1l其 Cn l0

()

n

2l2l由于(Q代入Cn

1

n2 所

1a

n2l

1u(x,t)T x

e

n 1

2

n 2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"二维 斯方定解问题,例

uyyu T u

T,0y

u T

u T,0x

令v(x,yu(x,y

或u(x,y)v(x,y

vyyv 0,v

0,0y

v v TT,0x

PDF文件使用"pdfFactoryPro"v(xyX(x)Yy代入定解问题XXYY X(0)X(a)解X(x)的本征问题 nn

,n1,2,a X(x)sinn 函数Yy)的对应Y(y)CchnyDshn v(xy

Cch

yDnsh

ysinnan1 PDF文件使用"pdfFactoryPro" v(x,y)

Cch

yDnsh

y

nan1 已经满足边界条件v|x0v|xa由边界条件 0得 再由v TT T

D b 由傅立叶系 得 2 Dnshaba(TT0)sina0 PDF文件使用"pdfFactoryPro"u(x,y)T0v(x,0T4(T sh0

y n1,3,...nshn a4(TT0) (2k (2ka a

(2k k k

y aPDF文件使用"pdfFactoryPro"定解问题,例

uyyu|x0f1( u|xaf2(y),0yu g u g(x),0x

令u(x,y)uIx,yuIIx,使uIx,y) uI f(

uI f(y),0y

uI uI 0,0x uIIx,y) uII

uII

0,0y uII g

uII

g(x),0x uIx,y)和uIIx,y)可分别用分离变量法求解PDF文件使用"pdfFactoryPro"§9.5 PDF文件使用"pdfFactoryPro"非齐次方例1求定解问题 f(x, v|x0 v|xl0,0v v 0,0x t t对应的齐次方程为 X(x)sinnxn12 按本征函数展开f(xf(x,t)

fn(t)

2l2fn(t)lf(,t)0

PDF文件使用"pdfFactoryPro"按本征函数展开v(xv(x,t)

(t)

将f(xt)和v(xt)

n Tn(t)fn(t) n1 因此得Tn(t)的方 na Tn(t)fn(t) 从v|t00vt|t00得Tn(t)初始条 Tn(t)|t0 Tn(t)|t0PDF文件使用"pdfFactoryPro"利用 斯变换求解Tn(t)的方程 设T(p) T(t)ept 即T(t)T(0T(t)p2T(p)pT(0)T(0)p2T( fn(t)fn(

Tn(t)fn(t) nna p2T(p) T(p)f(p) Tn(p)

fn( PDF文件使用"pdfFactoryPro"

na f(

sinnatna na(tTn(p) fn()

dTn2020

v(x,t)

(t)

na(t

00n1

na

fn()

d

t2

na(t

n

f(,)

dl

dln1

0

PDF文件使用"pdfFactoryPro"例2 a2 f(x, w|x0 w|xl0,0w (x), w (x),0x t t w(x,t)u(x,t)v(x,其中u(xt)满足弦振动方程的第一类边值问题(9.1 u|x0 u|xl0,0u u (x),0x t tv(xt)满足非齐次方程的定解问题(本节例aa v|x0

f(x,v|xl0,0v v 0,0x t tPDF文件使用"pdfFactoryPro"§9.6 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建柱坐标下的 斯算

2

xysin2u

1

zu

1

22 PDF文件使用"pdfFactoryPro"球坐标下的 斯算 斯算符2

xrsinyrsinsinzr2u

1 2u

u

r2r

r2sin

sin

r2sin2PDF文件使用"pdfFactoryPro"§9.7 波动方程和热传导方波动方 a22v T 分离变 kT(t)

a2T u(rT(t)a2k2T(t)2u(r)k2u(r)PDF文件使用"pdfFactoryPro"

va22vv(r,t)u(r)T(t)T(t) t ktT(t)

a2T u(rT(t)a2k2T(t)2u(r)k2u(r)2u(r)k2u(r)称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程. 斯方PDF文件使用"pdfFactoryPro"柱坐标下的亥姆霍兹方x柱坐 ysin z1u12u2u

2

kuu(,,z)R()()Z(z), ddRRZd2 d2Z d

d

kRZ d d

dR

d

k

1d2Z Rd d

2d

Z PDF文件使用"pdfFactoryPro" d

dR d

k

1d

2令Rd d 2d

Z Z2Z2 ddR d2 2Rd

d

2d

1d dRd

dRd

2)2 m2

d d

dR(kd

2

PDF文件使用"pdfFactoryPro"静态下二维圆域 d

dR(kd

2)Rd ddRd 2d2R mRd dm0 R()C0D0ln

1m0 R()Cm m 注：m由()本征问题确定(9.9例题PDF文件使用"pdfFactoryPro"k或0：m阶贝赛耳方 d2

dR(kd

2

2)R 2dRdR(kd d

2)

m2Rk2 x,R(k2

y(x)k2k2dR()dy(x)dxdy(x)xxyd d 2Rx2x2yxy(x2m2)yPDF文件使用"pdfFactoryPro"球坐标下的亥姆霍兹方xrsin

yrsinsinzr1r2u u r2r

r

r2sin

r2sin2

kuu(r,,R(r)()(代入方程d2dR

d d

d r dr

r2sin

sin

d

r2sin2d

kR1d2dR

d

d

1d 或Rdr dr

k sin

sin

d

sin2dPDF文件使用"pdfFactoryPro"令1dr2dRk2r2Rdr dr d d 1d sin

sin

d

sin2d2得R(r)

1dr2dRk2r2Rdr dr d2dR

2

r dr dr

r R 上式称为球贝赛耳方程()()的方程可化 d d

1d

sind

d PDF文件使用"pdfFactoryPro" d d 1d 令

sin

d

d2 m2 d d

sin

sind d

sin2令xcosy(x)(dxsin

ddydxsin dx d(1x2

dy2 dx

dx

1

y2 2上式称为连带勒让德方程(AssociatedLegenderEquationm0时,上式称为勒让德方程.PDF文件使用"pdfFactoryPro"§ PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建斯特姆 型方d dydxk(x)dxq(x)yw(x)y ax 上式称为斯特姆 k(x)1,q(x)0,w(x)d2yk(x)x,q(x)

y,w(x)xd dxxdx yxy 为m阶贝赛耳方程(k22PDF文件使用"pdfFactoryPro"k(x)1x2,q(x)0,w(x) (1x2)dyydx

dx为勒让德方程(2k(x)1x2,q(x) ,w(x)1x2d dy (1x yy dx dx