上海市上外附大境中学2023年数学高一第二学期期末预测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知数列是等差数列，数列满足，的前项和用表示，若满足，则当取得最大值时，的值为（）A．16 B．15 C．14 D．133．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)4．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．5．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B． C． D．6．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．在中，，则是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形8．设集合,则（）A． B． C． D．9．已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A． B． C．2 D．310．化简（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为_________.12．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．13．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的标准差为__________.14．若,则____________.15．已知函数那么的值为．16．已知等边三角形的边长为2,点P在边上,点Q在边的延长线上,若,则的最小值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，且，求的值.18．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.20．如图，正三棱柱的各棱长均为，为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．21．如图，在三棱锥中，垂直于平面，.求证：平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

设等比数列的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．【详解】设等比数列的公比为q，若，则，则，而与0的大小关系不确定.若，则，则与同号，则与0的大小关系不确定.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、A【解析】

设等差数列的公差为，根据得到，推出，判断出当时，；时，；再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为数列是等差数列，，所以，因此，所以，所以，，因此，当时，；时，，因为，所以当时，，当时，，当时，，当时，因为，所以；因为所以，当时，取得最大值.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质，及其函数特征即可，属于常考题型.3、D【解析】

仔细观察图象，寻找散点图间的相互关系，主要观察这些散点是否围绕一条曲线附近排列着，由此能够得到正确答案．【详解】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；

散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；

散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，

散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．

故选D．【点睛】本题考查散点图和相关关系，是基础题．4、B【解析】

根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.【详解】由题意知：，则设向量与向量的夹角为则本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.5、A【解析】

利用，求出，再利用，求出即可【详解】，，，则有，代入得，则有，，，又，故答案选A【点睛】本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题6、C【解析】

根据即可求出结果.【详解】据题意，得，所以.【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题型.7、D【解析】

先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形【详解】因为，所以所以因为所以即所以所以因为，所以因为，所以，即是直角三角形故选：D【点睛】要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.8、B【解析】试题分析：由已知得，，故，选B．考点：集合的运算．9、C【解析】

利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.10、A【解析】

减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据茎叶图中数据和中位数的定义可构造方程求得.【详解】甲组数据的中位数为，解得：故答案为：【点睛】本题考查茎叶图中中位数相关问题的求解，属于基础题.12、【解析】,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域,则的面积是13、11【解析】

根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据，且，平均数，则其方差，则其标准差，故答案为：11.【点睛】本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题.样本方差，标准差.14、【解析】故答案为.15、【解析】试题分析：因为函数所以==．考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．16、【解析】

以为轴建立平面直角坐标系，设，用t表示，求其最小值即可得到本题答案.【详解】过点A作BC的垂线，垂足为O，以为轴建立平面直角坐标系.作PM垂直BC交于点M，QH垂直y轴交于点H，CN垂直HQ交于点N.设，则，故有所以，，当时，取最小值.故答案为：【点睛】本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的取值范围问题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最小正周期为，单调递减区间为（2）.【解析】

（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数的解析式化为，利用周期公式可得出函数的最小正周期，然后解不等式可得出函数的单调递减区间；（2）由可得出角的值，再利用两角和的正切公式可计算出的值.【详解】（1）．函数的最小正周期为，令，解得.所以，函数的单调递减区间为；（2），即，，.，故，因此.【点睛】本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）只需证明，又由面面垂直的性质定理知平面；（Ⅱ）连接、，假设存在点，使得它到平面的距离为，设，由，求得的值即可．试题解析：（Ⅰ）证明：在中，为中点，所以．又侧面底面，平面平面，平面，所以平面．（Ⅱ）连接、假设存在点，使得它到平面的距离为．设，则因为，为的中点，所以，且所以因为，且所以在中，所以所以由，即解得所以存在点满足题意，此时．考点：1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积．19、（1）或；（2）.【解析】

（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.【详解】（1）由得圆心，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：，显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．∴，∴，∴或．∴所求圆的切线方程为或．（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，则圆的方程为．又∵，∴设为，则，整理得，设为圆．所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，由，得，由，得．综上所述，的取值范围为．考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.20、【解析】

作交于，则为异面直线与所成角，在中求出各边的长度，根据余弦定理，得到的余弦值，即为答案.【详解】作交于，则为异面直线与所成角，因为为中点，所以是的一条中位线，所以,因为正三棱柱，所以面，而面，