高中数学第三章数系扩充与复数引入321复数加法和减法同步学案新人教B版选修12

复数的加法和减法学习目标1.娴熟掌握复数的代数形式的加、减法运算法例.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形联合”的思想解题．知识点一复数的加法和减法思虑1类比多项式的加减法运算，想想复数怎样进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)(a±c)＋(b±d)i.思虑2复数的加法知足互换律和联合律吗？答案知足．梳理复数的加法与减法运算法例设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，定义z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.加法运算律对随意z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数加减法的几何意义―→―→如图OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应．思虑1―→―→―→―→―→―→121212答案―→―→，OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)―→1＋―→2＝(＋，＋)，―→1－―→2＝(－，－)．OZOZacbdOZOZacbd思虑2―→―→―→―→对应的复数分别是什么？向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2答案(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.梳理复数加减法的几何意义1复数加法的复数z1＋z2―→―→为邻边的平行四边形的对是以OZ1，OZ2几何意义角线→所对应的复数OZ复数减法的复数z1－z2―→―→的终点是从向量OZ2的终点指向向量OZ1几何意义――→所对应的复数的向量Z2Z11．两个虚数的和或差可能是实数．(√)2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(√)3．复数的减法不知足联合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不建立．(×)种类一复数的加减法运算例1(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.(2)已知复数z知足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.答案(1)－1(2)1＋4i3分析(1)z1＋2＝(2＋i)＋(3＋i)＝5＋(a＋1)i，由题意得＋1＝0，则a＝－1.zaa(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，∴||i＋＝x2＋y2i＋＋i＝＋(x2＋y2＋)izzxyxy1＋3i，x＝1，x＝1，∴解得42＋2＋xyy334z＝1＋i.3反省与感悟(1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．追踪训练1(1)若复数z知足z＋i－3＝3－i，则z＝________.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．(3)已知复数z知足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.答案(1)6－2i(2)－a＋(4b－3)i(3)－4＋3i2分析(1)∵z＋i－3＝3－i，z＝6－2i.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝x2＋y2，∴|z|＋z＝(x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，x2＋y2＋x＝1，∴y＝3，x＝－4，解得y＝3，z＝－4＋3i.种类二复数加、减法的几何意义例2如下图，平行四边形OABC的极点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.→→→求：①AO表示的复数；②CA表示的复数；③OB表示的复数．解由于A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，→→由复数的几何意义知，OA与OC表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.→→→①由于AO＝－OA，所以AO表示的复数为－→→→②由于CA＝OA－OC，→所以CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)→→→③OB＝OA＋OC，

3－2i.5－2i.→所以OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反省与感悟(1)常用技巧①形转变为数：利用几何意义能够把几何图形的变换转变成复数运算去办理．②数转变为形：关于一些复数运算也能够赐予几何解说，使复数作为工具运用于几何之中．常有结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．①四边形OACB为平行四边形．②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形．3③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形．④若|1|＝|z2|且|z1＋2|＝|z1－2|，则四边形为正方形．zzzOACB追踪训练2(1)已知复平面内的平面向量→→2＋i,3→＝OA，AB表示的复数分别是－＋2i，则|OB|________.(2)若z1＝2＋i，2＝3＋i，复数2－1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是zazz__________．答案(1)10(2)(－∞，1)分析→→→(1)∵OB＝OA＋AB，→＝1＋3i，∴OB表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)→2210.∴||＝1＋3＝OBz2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1.1．已知实数x，y知足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )A．1B．2C．－2D．－1答案A分析∵(1＋i)x＋(1－i)y＝x＋y＋(x－y)i＝2，x＋y＝2，得x＝y＝1，则xy＝1.∴由x－y＝0，2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D分析∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．3．设z1＝2＋i，z2＝＋i，当z1＋2＝0时，复数＋i为( )bazabA．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i答案D2＋＝0，＝－2，∴a＋bi＝－2－i.分析由b＋1＝0，得b＝－144．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )A.10B．55C.2D．52考点复数的加减法运算法例题点复数加减法的综合应用答案D分析由于z1－z2＝5＋5i，所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝52.5．已知复数z1＝(2－2)＋(a－4)i，2＝－(a2－2)i(∈R)，且1－2为纯虚数，则a＝azaazz________.答案－1分析22a∈R)为纯虚数，∴a2－a－2＝0，解得a12＝－1.1．复数代数形式的加减法知足互换律、联合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法例，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法例.一、选择题1．已知复数z知足z＋(－3＋i)＝3－i，则z等于()A．0B．2iC．6D．6－2i答案D分析z＝(3－i)－(－3＋i)＝6－2i.22，若z＋z是纯虚数，那么实数a的值为( )1212A．1B．2C．－2D．－2或1答案C分析z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，5由题意知a2＋a－2＝0，得a＝－2.a2－3a＋2≠0，3．设复数z知足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于()33A．－＋iB.－i4433C．－4－iD.4＋i答案D分析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(＋2＋2)＋i＝2＋i，aabb＋2＋2＝，3a2则ab解得4＝1，bb＝1，3∴z＝4＋i.1z2＝1z1＋z2等于()4．复数z1＝2－i，－2i，则2235A．0B.2＋2i5553C.2－2iD.2－2i答案C分析z1＋z2＝2＋1－15522＋2i＝－i.225．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i→→，－i，2＋i，若AD＝BC，则点D表示的复数是()A．1－3iB．－3－iC．3＋5iD．5＋3i答案C分析∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，→2＋2i.设D(x，y)，∴BC对应的复数为→→，∵AD＝BC，∴(x－1，y－3)＝(2,2)∴x－1＝2，解得x＝3，y－3＝2，y＝5.∴点表示的复数为3＋5i.D66．已知复数z对应的向量如下图，则复数z＋1所对应的向量正确的选项是( )答案A分析由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．7．复数z＝1＋icosθ，z＝sinθ－i，则|z－z|的最大值为()1212A．3－22B.2－1C．3＋22D.2＋1答案D分析|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|1－sinθ2＋1＋cosθ23＋2cosθ－sinθπ3＋22cosθ＋4.∵cosθ＋π＝1，4max∴|z－z|＝3＋22＝2＋1.12max二、填空题8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.答案3i分析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.答案5－9i－8－7i分析∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，5x－3y＝13，∴x＋4y＝－2，7x＝2，解得y＝－1.z1＝5－9i，z2＝－8－7i.10.如下图，在复平面内的四个点O，A，B，C恰巧组成平行四边形，此中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.考点复数的加减法运算法例题点复数加减法与向量的对应答案2－4i分析→→→由于OA＋OC＝OB，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.由于，∈R，ab4＋＝6，a＝2，所以所以a＋b＝8，b＝6.所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，所以A－C＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.zz三、解答题11．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.12．设O为坐标原点．已知向量→1，→2分别对应复数z1，z2，且z1＝3＋(10－2)i，2OZOZa＋5az2＋z能够与随意实数比较大小，求z与z的值．1－a1212解由于z1＋z2能够与随意实数比较大小，所以z1＋z2∈R.322322z1＋z2＝＋5－(10－a)i＋1－a＋(2a－5)i＝a＋5＋1－a＋(2a＋a－15)i∈R，a8所以

a＋5≠0且1－a≠0，a2＋2a－15＝0，3解得a＝3，所以z1＝8＋i，z2＝－1＋i.→13．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，→向量BC对应的复数为3－i，求：点C，D对应的复数；平行四边形ABCD的面积．→→解(1)由于向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，→所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.→→→又OC＝OA＋AC，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.→→由于AD＝BC，→所以向量AD对应的复数为3－i，→即AD＝(3，－1)．→设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，x－2＝3，x＝5，所以解得y＝0.y－1＝－1，所以点D对应的复数为5.→→→→(2)由于BA·BC＝|BA||BC|cosB，→→3－22所以cosB＝BA·BC→||→＝5×10＝10.||BABC2所以sinB＝10.→→72所以S＝|BA||BC|sinB＝5×10×10＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7.四、研究与拓展14．复数z＝＋i(x，∈R)知足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )xyyA．2B．4C．42D．16答案C9分析∵|z－4i|＝|z＋2|，z＝x＋yi，∴|＋(y－4)i|＝|(x＋2)＋i|，xy∴x2＋y－42＝x＋22＋y2，x＋2y＝3.则2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42.15．会合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，会合P＝M∩N.指出会合P在复平面上所表示的图形；求会合P中复数模的最大值和最小值．解(1)由|z－1|≤1可知，会合