高中数学 数列 数列

《数列》总体设计本章学习内容概述本章在必修第一册中函数知识的基础上，介绍了一种特殊的函数——数列的相关知识。其中，对于一般数列通过日常生活和数学中的实例，抽象出数列的定义，介绍数列的三种表示方法（表格、图象和通项公式）；“特殊数列”以取值规律“最简单”的等差数列和等比数列为例，对它们的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握这两种具体数列的概念、取值规律，并能应用它们解决实际问题，而且也为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础。在本章的最后，教科书介绍了一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法——数学归纳法的原理。“4.1数列的概念”建立了数列的一般概念。与函数概念的研究类似，教科书介绍了数列的定义和表示方法；此外，教科书还介绍了数列的一种特殊表示法——递推公式和前n项和公式的定义。先详细分析了几个典型的具体实例，再归纳出它们的共同特征——按照确定的顺序排列的一列数，由此给出数列的定义，并抽象出数列的一般形式a1，a2，…，an，…，然后，教科书将数列的定义与函数概念建立联系，得到了数列是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的离散函数的结论.接下来，类比函数的研究内容，介绍了数列的三种表示方法——表格、图象和通项公式。其中通项公式就是数列的函数解析式，它能简洁、精确地刻画数列的所有项的取值规律。数列的前n项和公式是数列的一个主要研究内容，所以在还介绍了数列的递推公式和前n项和公式的定义，为本章后面的内容作了铺垫.在介绍了一般数列的概念之后，教科书类比函数从一般到特殊的研究过程，按“概念——性质——应用”的顺序，研究了具有特殊变化规律的数列——等差数列和等比数列.在“4.2等差数列”中，先通过运算发现实例中蕴含的取值规律,抽象出等差数列的定义，然后从定义出发，推导出等差数列的通项公式。紧接着，从通项公式出发，探究等差数列与一次函数之间的关系，再结合一次函数的知识，画出等差数列的图象，为研究等差数列的性质提供几何直观。等差数列的应用主要包括两类，教科书接下来举例说明的应用等差数列的通项公式解决数学问题和实际问题是其中之一。由于求数列尤其是无穷数列的前若干项的和是数列研究的主要问题之一，所以接下来，教科书利用等差数列的通项公式和性质推导出了它的前n项和公式，并举例说明了前n项和公式在解决问题中的应用。在本章的最后，“4.4数学归纳法”通过对多米诺骨牌全部倒下的过程和“证明”一个数学命题的过程的类比和分析，揭示了数学归纳法的原理，并以证明数列中的一些简单命题为例，说明了用数学归纳法证明命题的一般过程。数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点。此外，等差数列、等比数列是两种“最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容。本章学习目标规划数列的概念的教学目标（1）通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.会用通项公式写出数列的任意一项.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式；（2）了解数列递推公式的定义，感悟数列递推公式引入的必要性，体会一个数列递推公式与通项公式的区别与联系.通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力.了解数列前n项和公式的定义，掌握通项公式与前n项和公式的关系，能根据数列前n项和公式求该数列的通项公式；（3）经历“事实——概念”的概念形成过程，提升数学抽象素养.明确研究一个数学对象的基本路径，类比函数，在数列的学习中经历“定义——表示方法——性质”的研究过程，感受类比迁移、从特殊到一般等数学思想方法.体会数学的应用价值，提高数学学习的兴趣.等差数列的教学目标（1）能从具体实例中归纳、概括出等差数列的共同特征，得到等差数列的定义，并能根据定义判断一个数列是否为等差数列.（2）在了解等差数列的通项公式的推导过程及思想后，会求等差数列的公差及通项公式.（3）能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题.在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列.（4）通过学习，能够了解等差数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前任严谨的治学精神.（5）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，描述等差数列的前n项和公式的特征，以及它与相应二次函数关系.（6）学生能在具体情境中，运用等差数列的前n项和公式解决相应问题.等比数列的教学目标（1）理解等比数列的概念，会用等比数列的定义判断等比数列，发展学生逻辑推理素养。（2）通过反思、联想、归纳和探索等比数列概念的形成过程，能辨析等比数列的概念，建立等比数列的概念结构，发展学生数学抽象和数学建模素养。（3）在学习的过程中，感受“从代数运算的角度”提出问题、解决问题的研究过程，认识研究等比数列的合理性、必要性，领悟类比、特殊与一般的数学思想方法，发展学生数学运算和逻辑推理素养。（4）获得探索新知和交流思想的乐趣，体验数学的内在结构美，同时培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，发展学生学习能力和科学素养。（5）能在教师的引导下利用错位相减法完成对等比数列的前n项和公式的推导.（6）能够合理选择等比数列的前n项和公式,会知三求二.（7）能够体会类比、分类讨论和方程等思想方法.数学归纳法的教学目标（1）了解数学归纳法的原理和步骤.（2）能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题．（3）通过数学归纳法概念形成的过程，使学生体验观察－归纳－猜想－证明的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法．本章知识结构框图本章课时安排4.1数列的概念2课时4.2等差数列 4课时4.3等比数列 4课时4.4数学归纳法2课时小结2课时本章问题诊断及教学建议学生在学习本章的过程中，可能遇到如下难点：一是从实例中抽象出数列的概念，这是因为直观上排列好的一列数与数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象能力；二是等差数列的定义，这是因为学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，不熟悉刻画“等差”规律的语言；三是推导等差数列、等比数列的前n项和公式，这需要学生通过数学运算、逻辑推理等发现解决问题的途径；四是用等差数列、等比数列刻画数学中或现实中具有递推规律的事物，这需要学生具备一定的数学建模能力.

4.1数列的概念铜陵市第三中学谢香群一、单元内容与内容解析1．内容本单元介绍了数列的概念.由于数列是一种特殊的函数，所以本单元内容与函数的概念的研究内容类似，包括数列的定义和表示方法等，以及数列所特有的递推公式和前n项和公式的定义.内容结构如下：推出推出数列概念数列是一种特殊的函数表示列表图象通项公式递推公式前n项和公式2．内容解析：内容的本质：数列是刻画“离散”过程的重要数学模型，而许多连续性的结果可以用离散性的结果来近似刻画，因此数列有广泛的应用.在实际生活中，农作物的产量、收入的增长等都是按一定时间顺序来统计的，这就得到了有先后顺序的一列数——数列.如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数.数列的通项公式就是数列作为函数的函数解析式.蕴含的思想方法：杜威提出，教学必须从学习者已有的经验开始.在对数列这一概念的内涵进行分析时，教师紧扣“数列是一种特殊的函数”，这一观点.从学生已有的经验“函数”出发，类比函数的研究方法来研究数列，从而加深学生对数列概念的理解，也提升了学生运用函数思想和类比学习的应用能力.另一方面，通过实例抽象出数列概念以及对通项公式，递推公式和前n项和公式的应用过程中，培养了学生抽象概括与数学运算的核心素养.知识的上下位关系：数列的概念、通项公式及数列的前n项和与通项的关系在学习过程中起着承上启下的作用.一方面，在数列的概念的归纳提炼及具体问题的解决过程中常会用到函数思想，通过学习数列能进一步加深对函数的认识，深化对函数思想方法的运用；另一方面，它们是学习本章的后继内容——等差数列、等比数列的基础；同时，通过这部分内容的学习，可以使学生强化运算能力，提升分析归纳能力.育人价值：本节课内容的学习可以让学生体会数学来源于生活，帮助学生从生活中抽象出数学知识的能力.同时也重在引导学生如何用数学的眼光去看待实际问题的素养，这对于提高人们的思想认识，指导日常行为有着重要的意义与价值.教学重点：数列的有关概念及表示方法，数列的递推公式及数列的前n项和公式.二、单元目标和目标解析1．目标（1）通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.会用通项公式写出数列的任意一项.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式；（2）了解数列递推公式的定义，感悟数列递推公式引入的必要性，体会一个数列递推公式与通项公式的区别与联系.通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力.了解数列前n项和公式的定义，掌握通项公式与前n项和公式的关系，能根据数列前n项和公式求该数列的通项公式；（3）经历“事实——概念”的概念形成过程，提升数学抽象素养.明确研究一个数学对象的基本路径，类比函数，在数列的学习中经历“定义——表示方法——性质”的研究过程，感受类比迁移、从特殊到一般等数学思想方法.体会数学的应用价值，提高数学学习的兴趣.2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的定义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法，了解数列的表格、图象和通项公式三种表示方法.（2）能说明数列的通项公式中各元素的意义；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项；能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.（3）能通过具体问题在“难以发现数列的通项公式”的情况下，换个角度思考问题，得到数列的递推公式表示的意义和价值，并能用递推公式解决相关问题.（4）能根据实际问题的需要认识数列前n项和公式的概念，由问题情境推导出前n项和与通项公式之间的关系，并能利用这种关系在已知前n项和公式的前提下求出数列的通项公式.三、教学问题诊断分析在学习本章之前，学生对于数列并非一无所知，尤其是在函数的学习中，他们已经接触过一些实际上是数列的函数.但学生缺乏对数列内容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法，这是本节教学的第一个难点．教学时可通过章引言的教学，结合函数学习的思路和方法，让学生对数列的内容及方法有一个大致了解，引起学生对数列内容的关注与兴趣.对数列概念的理解，是本节课第二个教学难点.学生可能忽视数列概念的形成过程及对概念内涵的理解.本节课通过具体实例抽象出数列定义，并用数学语言进行表达，是一个让学生体验用数学的眼光看世界的很好的案例.经历这样一个数学化的过程，对于学生数学观念的形成有着重要的意义.此外，在把实际问题转化为数列问题，尤其是涉及年份等时间顺序时，学生在用数列进行表达时容易犯错误.在对用数列解决实际问题的教学中，要注意引导学生正确地构建数列，刻画实际问题中的等差关系、等比关系、递推关系等.在新课程改革中，新普通高中课程标准对“数列一章”的教学要求是：通过对数列概念以及与关系的探索，掌握数列基本概念，理解数列是一种特殊的函数，并能解决一些简单的求值问题.因此，本节课教学难点为数列的函数特征，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.四、教学支持条件分析本节课的教学重点是认识数列的概念并理解数列是一种特殊的函数，掌握数列的三种表示方法.同时涉及到一些数值的计算，图象的应用及分析所得的信息，因此可以借助电子表格和画图软件在认识数列问题中，使学生加强直观感知，从数、形、式上多元化认识数列.课时教学设计第一课时（一）教学内容本节课主要学习数列的概念与表示（二）教学目标1.经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义、了解数列是一种特殊的函数、了解数列的表示方法，提升数学抽象素养.2.理解数列的通项公式.（三）教学重点、难点重点：数列的有关概念与数列的表示方法.难点：数列的函数特征.（四）教学过程设计问题1：函数章节的知识大致分为几个板块？1．问题1：函数章节的知识大致分为几个板块？函数函数的概念及表示函数函数的概念及表示函数的性质具体函数模型连续性认识函数的性质函数函数的概念及表示具体函数模型连续性认识立足于为什么、学什么，怎么学来开启数列的引言之旅.引导语：这一阶段我们将学习一个新的内容——数列，请大家跟随老师的问题来了解数列的内容与学习方法.在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如：一棵树在某一时刻的高度为2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来，就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况.问题2：你还能举出几个类似的用按顺序排成一列的数来研究变化规律的事例吗？师生活动：学生举例，教师通过学生的答案，判断他们对数列的已有认知情况通过事例让学生感知，将数据按确定顺序排成一列进行研究有其实际的意义和价值.问题3：对一列数的研究，既有实际需求，也有数学本身的需求.章头图沙滩上的图形，显示了古希腊毕达哥拉斯学派用小石子摆出的三角形数、正方形数.你能分别将表示三角形数、正方形数的点数按顺序排成一列写下来吗？你能用一个式子表示这些数吗？师生活动：让学生在写的过程中体会，数列学习的一个重要内容是求数列的通项，而归纳的方法是常用的方法.教师可以结合学生的回答提醒学生，数列的通项公式及归纳的方法是这一章的重要内容和思想方法.使学生感知数列有实际和数学自身两方面的需求，同时引出本章的学习内容与方法.思考：上述小石子的个数问题能否用函数关系来刻画？为什么？这里主要是让学生体会数列是特殊的函数.教师继续对本章做如下介绍：通过上述问题我们可以知道，研究数列有着实际的需求，数列与函数有着一定的联系.在函数学习中我们先学习函数的概念和性质，然后研究一些基本初等函数.问题4:如何设计数列这一章的研究路径呢？特殊的数列特殊的数列等差数列等比数列数学归纳法基本原理简单应用函数数列概念表示方法类比让学生从具体问题中感知数列与函数的联系，通过教师的介绍，学生对本章将要学习的内容及处理问题的方法有了大致的了解.充分发挥章引言的“先行组织者”的作用.数列概念的引入从前面的介绍中，我们对数列已经有了一个大致的了解，那么究竟什么是数列呢？我们将通过例子来归纳数列的共性，研究该怎样定义、表示数列.引例1：王芳从1岁到17岁每年的身高（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.①2.能否引入一个符号，表示例①中的每个数？它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？回答：2.能否引入一个符号，表示例①中的每个数？它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？师生活动：在学生作答的基础上，教师归纳：王芳的身高是由年龄序号所决定的，我们可以引入一个与序号相关的符号来表示上述问题中的每一个数.例如，可以记王芳第岁的身高为.引用生活中的实例，帮助学生思考，分析数列的基本特点.并通过用数学符号表示实例中的数，使学生认识到实例中的数都是具有确定顺序的一列数.引例2：在两河流域发掘的一块泥板（编号k90，约产生于公元前7世纪）上有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：51020408096112128144160176192208224240.它们之间能否交换位置，具有确定的顺序吗？师生活动：记第天月亮可见部分的数为,那么,,….这里，中的反映了月亮可见部分的数排在这列数的第个位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第15位的数，这列数是按照每月的日期从小到大排列的.它们之间不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.在此借用数学史料中的数列典例引导学生用同样的符号表示的方法探究发现这列数也是具有一定顺序的.引例3：的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，….你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？师生活动：学生仿照前面两个例子的叙述，分析这列数.前面两个是带有实际意义的数列问题，这里撇开了实际背景，让学生认识数学中的数列.学生通过仿照前面用数学符号表示数列并进行分析的过程，进一步认识数列是具有确定顺序的一列数.归纳：上述三个例子的共同特征是什么？师生活动：教师引导学生从特殊到一般，归纳三个例子的共同特征，抓住“一列数”和“顺序”这两个关键点.并让学生小组交流，归纳上述三个例子的共同特征.引导学生发现实例的共性特征，为引出数列的定义做好准备.问题5：数列的定义是什么？师生活动：学生独立思考后，依据实例的共性特征抽象出数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.追问1：数学中可以用什么方法刻画顺序？如何用符号表示一般的数列？师生活动：教师引导学生通过数列的定义获得从数学上刻画数列的方法——用正整数表示数列确定的顺序，即用，，…，，…分别表示数列的第1项（或称为首项）、第2项、…，第n项，….数列的一般形式可以写成，，…，，…，简记为.通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.追问2：根据数列的定义回答下面问题：（1）1，1，1，1，1…是不是一个数列？（2）1，3，5，7是一个数列7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？，，，，···，，…和，，，它们的项数有何特点？师生活动：（1）教师让学生认识到数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现.掌握数列的概念，要抓住两个关键词：一列数和顺序.（2）教师提醒学生，根据数列的概念，数列中的数是有先后顺序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的顺序不同，就是两个不同的数列.（3）教师引导学生可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列）；无穷数列（项数无限的数列）.强化对数列概念的理解，加深对细节的认知.通过实例的观察，将数列进行分类.3.概念的辨析问题6：数列中的各项与各项序号k（k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？师生活动：教师呈现数列各项与序号一一对应的关系：学生根据教师呈现的数列各项与其序号的对应关系，认识到对于每一个正整数n，都有唯一的数与之对应，所以数列中的各项与各项序号k（k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是函数关系.由此可见，数列实际上是由序号和项构成的函数.学生直接思考该问题比较难理解，通过展示数列的序号与项的对应图表，让学生观察，并通过合作、交流、讨论容易得到这是一种函数的对应关系，数列的本质是函数.其中序号作为自变量，项作为函数值.追问：数列是一种特殊的函数，类比函数的研究路径你能建立数列的研究方向吗？师生活动：教师引导学生回顾函数的研究路径：函数的概念、函数的表示、函数的性质，特殊函数.数列作为一种特殊的函数，它的研究路径与函数的研究路径基本相同.引导学生用类比函数的学习经验构建数列的学习思路，为接下来的数列学习明确了方向，起到事半功倍之效.问题7：数列有哪些表示方法？类比函数的表示方法，能否将王芳身高数列表示出来？王芳的身高：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.师生活动：教师引导学生回顾当初研究函数的时候，学习了函数的概念和构成三要素之后，又学习了函数的表示方法，有列表法、图象法、解析法.数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法.教师引导学生用列表法和图像法表示数列：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。（1）列表法：（2）图象法：思考：1.数列的图象有什么特点？2.从表格和图象中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？让学生用类比的思路自然地得到数列的两种表示方法：列表法与图象法.教师让学生从表和图中观察该数列中的项随序号变化呈现出的特点．学生不难发现从第2项起，每一项都大于它的前一项．教师趁机给出递增数列的定义：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列．类比递增数列的定义，给出递减数列的定义．特别地，各项都相等的数列叫做常数列．追问：数列的第n项是怎样的？师生活动：学生通过归纳得到第项的结果.教师因此给出数列通项公式的定义：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式.通过实际问题让学生自然地接受并理解数列的通项公式的概念和作用，同时认识到通项公式是数列的函数解析式，是数列的第三种表示方法.4．概念的应用例1根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象。（1）；（2）师生活动：教师引导学生根据通项公式，令n=1，就得到了首项，令n=2，就得到，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1.根据前5项的数据进行描点.教师提醒学生注意描点后不能连线了，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的.强化数列通项公式的理解与应用，并要求学生作出图象，引导学生从数与形的角度认识数列.例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，，，，…；（2）2，0，2，0，…．师生活动：学生在教师的引导下发现第一个数列的特点是有正有负，正负相间.教师说明：我们常常用或来表示正负相间的变化规律.学生不难发现，除了正负方面的特征之外，（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.有了第一个的基础，学生在探究（2）中的数列时，不难发现这个数列前４项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.引导学生从整体上观察数列的前几项，寻找规律，发现各项与序号之间的关系,从而归纳出数列的通项公式.培养学生分析、观察、归纳总结的能力，同时让学生认识到数列不一定有通项公式，通项公式也不一定是唯一的.练习：分别写出一个递减的无穷数列和一个递增的有穷数列的通项公式.师生活动：学生回答，教师评价.5.课堂小结（1）这节课学习了数列的哪些知识？数列概念表示数列概念表示数列是一种特殊的函数列表图像通项公式（2）回顾数列的概念及其表示方法的学习过程，说说其中运用了怎样的思想方法？师生活动：教师引导学生回答：数列的概念的学习运用了特殊到一般的学习方法；数列表示方法与单调性的定义运用了类比学习的思想；数列的通项公式与图象表示运用了数形结合的数学思想等.引导学生总结回顾本节课的主要内容和所涉及到的数学思想方法.作业布置课本第5页练习1、2、3，4；习题4.1第3、7（第7题拓展学生思维）题.7.板书设计【设计意图】板书简洁明了、重点突出，有利于提高教学效果.8.目标检测设计：1.在数列中,已知.(1)写出,.(2)是不是该数列中的项?如果是,是第几项?加强对通项公式的理解与应用.2.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.

3.已知数列,,,…,则是该数列的第项.

考察学生观察、归纳的能力.增强学生对通项公式的理解.

第二课时（一）教学内容本节课主要学习数列的递推公式与前n项和公式、数列的前n项和与通项的关系.（二）教学目标1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题.2.理解数列的前n项和公式的定义，会利用前n项和公式与通项公式的关系求通项公式.（三）教学重点、难点重点：数列的递推公式、前n项和公式，数列的前n项和与通项的关系.难点：用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.教学过程设计1.复习旧知表示表示数列概念数列是一种特殊的函数列表图象通项公式帮助学生复习回顾上节课学习的主要内容，为这节课的学习做好铺垫.问题1：如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？师生活动：教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或.教师提醒学生：因为n是正整数，所以-12要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项.在这道题讲解后，教师总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号.问题2：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式.师生活动：教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是.这些数都是3的指数幂，指数为序号.因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是.帮助学生复习巩固数列的通项公式及其应用.2.学习新知思考：我们通过对谢宾斯基三角形数列整体变化情况进行观察得到该数列的一般规律，写出了其通项公式.换个角度，能否从运算的角度发现该数列的新规律？并用符号语言表示出来.师生活动：教师给学生提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用..以此方法观察上述谢宾斯基三角形序列中相邻的两个三角形中着色小三角形个数，你能发现有什么共同的规律吗？学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.学生接着通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形.于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍.追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？师生活动：学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出.教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论.于是写成.问题3：用同样的思路观察下面的数列，你能发现什么结论？并用数学语言表示出来.1，1，2，3，5，8，13，21，34，…师生活动：教师引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）.学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：.教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.教师向学生介绍：这就是大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.问题4：什么是一个数列的递推公式？师生活动：教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解.教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了.思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？师生活动：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.例1已知数列的首项为，递推公式为（n≥2），写出这个数列的前5项.师生活动：教师引导学生根据递推公式，令n=2，就得到.同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，。教师总结：知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.强化递推公式推数列的项，培养学生运算的素养.问题5：在数列研究中，求数列某些项的和是主要研究问题之一.什么是数列的前n项和公式？师生活动：教师引导学生：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作.如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式.探究：根据数列前n项和的定义，你能发现数列的前n项和公式与通项公式有何联系吗？师生活动：教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前n-1项的和，也就是.如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，.学生接着思考n=1的情况，发现就是第1项，所以就等于.于是我们有.通过对数列的通项公式与前n项和的认识，帮助学生理解数列前n项和与数列通项公式之间的联系，突破本节课的难点.例2.已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？师生活动：教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解.教师提醒学生关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，需要分段写.跟踪练习：已知数列的前n项和，则＝____________.通过具体问题帮助学生对通项公式与递推公式之间的关系进一步的理解，提升由数列的前n项和求数列通项公式的应用能力.追问：你能归纳出由数列的前n项和公式求通项公式的一般步骤吗？师生活动：已知数列的前n项和，求通项公式的步骤：(1)当n＝1时，.(2)当n≥2时，根据写出，化简.(3)如果也满足当n≥2时，的式子，那么数列的通项公式为，否则，分段书写.通过具体例题帮助学生归纳总结解题步骤，突破易错点，强化学生的数学运算的核心素养.3.课堂小结问题6：这节课学习了哪些新知识？数列的概念数列的概念递推公式前n项和公式应用与的关系师生活动：学生回顾本节课的核心知识和研究路径:递推公式和前n项和公式.关于递推公式，教师强调：递推公式是数列的重要表示方式，反映的是相邻两项或多项之间的关系，知道了一个数列的首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了。关于前n项和公式，教师强调：我们可以通过一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式.教师告诉学生：按照研究路径，下节课将学习两种特殊的数列——等差数列和等比数列，让学生做好准备.引导学生回顾本节课学习的内容，并让学生尝试画出知识结构图.4.单元小结（1）这两节课，我们学习了数列的哪些知识？推出推出表示列表图象通项公式递推公式前n项和公式数列概念数列是一种特殊的函数（2）回顾本单元的学习过程，说说其中运用了怎样的思想方法？特殊到一般类比、归纳特殊到一般类比、归纳数形结合以知识为载体，通过对本单元的反思小结，凸显知识之间的联系，形成思维导图，突出学习过程中运用的数学思想方法，使学生收获的不仅仅是“鱼”，更重要的是主动获取“鱼”的方法——“渔”.对于数学抽象和数学建模过程的小结，更体现了“教”是为了“不教”.教师引导语：前面问题3中提到了斐波那契数列，下面请同学们把课本翻到第11页的阅读与思考：书上介绍说斐波那契数列有很多有趣的性质，更加有趣的是，人们在自然界中发现了许多斐波那契数列.请观看视频：大自然中的斐波那契数列.6.作业布置课本8页练习2，3，4题；习题4.1第4、6题.7.板书设计板书简洁明了、重点突出，有利于提高教学效果.目标检测设计（1）已知数列,,,则该数列的第3项等于（）A.1B.C.D.强化数列递推公式的理解与应用.（2）设数列的前n项和为，求.提升学生应用数列的前n项和与通项公式的关系求通项公式的能力《普通高中数学课程标准》在课程目标中明确指出：“数学教学应让学生理解数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴藏的数学思想和方法，以及它们在后继学习中的作用；通过不同形式的自主学习、探究活动，体会数学发现和创造的过程，进而发展学生的创新意识和实践能力”.本单元以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法.课堂中注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动构建数列的概念的过程，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动地思考，能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的一般形式；能结合数列定义，认识数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法，了解数列的三种表示方法.倡导合作学习与独立思考相结合，有效地调动学生思维.启发学生通过类比、联想等思维活动来发现数列在实际生活和生产中的应用；培养学生用数学抽象，归纳概括出数列的通项公式、递推公式.通过小组探究得到数列的前n项和与数列的通项公式之间的关系.充分体现“自主探究、合作学习”.教师通过系列问题串不断提问、追问，引导学生建立新旧知识的联系，激发学生的认知冲突，教学流程层层递进，自然流畅.

4.2.1等差数列的概念（2课时，单元教学设计）铜陵市第一中学胡婷一、单元内容及其解析1.内容等差数列的概念.本单元的知识结构：等差中项定义等差中项定义通项公式表示等差通项公式表示等差数列的概念性质应用性质应用2.内容解析数列是一类特殊的函数,是必修课程中函数主题知识内容的延续。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓广。本单元的内容让学生初步感受等差数列与一次函数之间的联系，等差数列的通项公式则是函数三种表示法之一公式法的体现。结合以上的分析，确定本节课的教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式及其应用.教学难点：等差数列概念的生成，等差数列通项公式的应用.二、单元目标及其解析1.目标(1)理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断等差数列,提升数学抽象的学科素养.(2)理解并领会等差数列与一次函数的关系，掌握等差数列的通项公式，并且能够灵活应用..(3)在具体的问题情境中，能运用等差数列的通项公式解决一些一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：能从具体实例中归纳、概括出等差数列的共同特征，得到等差数列的定义，并能根据定义判断一个数列是否为等差数列.在了解等差数列的通项公式的推导过程及思想后，会求等差数列的公差及通项公式.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题.在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列.单元教学问题诊断本节内容是结合具体内容的学习进修渗透的.是基于“数列是一种特殊的函数”，通过类比函数的研究路径来解答的，在学习了数列的一般概念后，与研究函数的思路类似，要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究.本节的学习是从一类取值规律比较简单的数列开始的.本节五个例题，它们由简单到复杂，具有一定的层次性：例1、例2的目的是通过对等差数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量之间的关系.要通过例题的教学，让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式解决问题的思想方法.要注意综合运用所学的数学知识化解数学问题，从而解决本节课的教学重点与难点.课时教学设计第1课时教学内容等差数列的概念及其通项公式。教学目标(1)理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断等差数列,提升数学抽象的学科素养.(2)理解并领会等差数列与一次函数的关系，掌握等差数列的通项公式，并且能够灵活应用..教学重点、难点重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式及其应用难点：等差数列概念的生成，等差数列通项公式的应用.教学过程设计1、等差数列概念的引入问题1：以诗歌的行数为项数，每行诗歌的字数为对应的项，你能写出相应的数列吗？追问：如果还有一行，你觉得会是多少个字呢？设计意图：从具体实例中抽象出数列，引导学生观察得出数列中后项减前项的值为定值2，让学生初步感知等差数列。活动1：观察下列数列的特点，用适当的数填空.1）3,6,9，（），15，18；（），5,3,1，-1,-3，-5；2,2,2,2（），2,2,2;问题2：上述数列有什么共同点？追问：1)第四个数列能否看成前三个数列的一般形式?2)你能概括出上述数列的取值规律吗？师生活动：学生回答，教师评价。设计意图：让学生通过运算发现三个数列取值规律的共性，初步形成等差数列的概念，培养学生数学抽象的学科素养。2、等差数列概念的形成问题3：以上几个数列都叫等差数列，你能从他们的共同特征归纳出等差数列的定义吗？师生活动：学生交流并回答，教师在前面活动的基础上给出等差数列的概念。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差常用字母d表示。设计意图：让学生在具的例证基础上进行抽象概括，经历等差数列的概念生成过程，培养学生数学抽象的学科素养。3、等差数列概念的辨析问题4：你能说出上述数列的公差吗？师生活动：学生回答，教师评价.设计意图：帮助学生巩固对等差数列定义的理解。问题5：1）数列最少有几项构成？由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.根据等差数列的定义，这三个字母之间有什么样的等量关系呢？由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项．师生活动：学生回答，教师评价.设计意图：引出等差数列的概念。练一练判断下列命题是否正确。1.常数列是等差数列.()2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()（）师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，发展学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.问题6：能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．设一个等差数列的首项为，公差为根据等差数列的定义，可得 所以 于是 归纳可得当时，上式为这就是说，上式当时也成立.因此，首项为为，公差为的等差数列的通项公式为设计意图：让学生经历观察、归纳、猜想的过程，获得发现公式的体验。问题7：观察等差数列的通项公式，你认为与我们熟悉的哪类函数有关？追问：师生活动：通过小组合作讨论，教师引导学生学生发现等差数列与一次函数的关系.设计意图：进一步明确数列是特殊的函数，等差数列中的公差对应一次函数中的斜率，培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性。4、概念的巩固应用例1(1)已知等差数列的通项公式为求的公差和首项；(2)求等差数列的第20项.例2是不是等差数列的项？如果是，是第几项？师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．设计意图：通过典型例题，帮助学生理解公式中所涉及的几个基本量之间的关系，让学生形成利用等差数列的基本量建立代数关系式（方程、方程组）解决问题的思想方法，发展学生逻辑推理、数学抽象和数学运算的核心素养.5、归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习过程，让学生从知识内容和思想方法两个角度进行总结。设计意图：梳理、归纳本节课的核心内容和方法．布置作业：基础作业：课本P151、2、3、4、5探究作业：设计意图：作业的分层设计是为了让每位同学都有获得感，增强学习动力，探究作业与课堂内容相呼应，有利于拓展学生思维。目标检测设计1.给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中是等差数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.若数列的通项公式是，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列3.在等差数列()A.5B.6C.8D.94.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.设计意图：考查学生对等差数列概念的理解程度，以及应用等差数列通项公式解决问题的能力。板书设计4.2.1等差数列的概念例11.等差数列的定义2..等差数列的通项公式PPT展示区例2第2课时教学内容等差数列通项公式的应用。（二）教学目标能在具体的问题情境中发现的数列等差关系，并解决相应的问题.在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列.（三）教学重点、难点重点：等差数列的通项公式的应用难点：等差数列通项公式的灵活应用.（四）教学过程设计引导语：同学们，上节课我们留了探究作业大家有没有完成？设计意图：紧扣上节课内容，引出求数列通项公式的另一个——“累加法”，使整个知识的教学更加严谨、流畅。例1（教科书第16页例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围.师生活动：教师引导学生类比建立函数模型刻画现实世界的变化规律，再利用函数的性质解决问题的过程，发现实际问题中成等差关系变化的量，（即这套设备使用n年后的价值），并构造等差数列来刻画它.设计意图：让学生完整的经历将实际问题中的等差关系转化为等差数列的过程，使学生养成严密思考的良好习惯，培养学生数学建模素养.例2（教科书第17页例5）已知数列{}是等差数列，问题1：上述例题是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形，你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？师生活动：先由学生独立思考完成，在组织全班交流.设计意图：本例让学生体会用“基本量”表示数列中的项在证明数列问题时的重要性，等差数列中，常用首项和公差作为基本量，问题1）帮助学生从“式”和“形”两个方面来认识例题中的性质；；问题2）让学生更全面认识等差数列的性质。例3（教科书第16页例4）已知等差数列{}的首项=2，公差，在{}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由.追问：1）如果插入的公差是多少？师生活动：学生回答，教师适当引导。设计意图：本例先利用一个已知的等差数列构造了一个新数列，然后利用原有数列的性质来研究新数列的性质，追问把例题中的特殊情形推广到一般情形，培养学生思维能力。课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本单元学习的主要内容，并回答下列问题：什么是等差数列？如何判断一个数列是等差数列？等差数列的通项公式是什么?它的变形形式是什么？本节课有学习了等差数列的哪些性质？设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法.布置作业：基础作业：教科书17-18页第1,2,3,4,5题.探究作业：教科书26页第12题.目标检测设计1、已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（）A．8 B．6 C． D．32、《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺3、若数列满足，则数列（）A．是公差为1的等差数列 B．是公差为的等差数列C．是公差为的等差数列 D．不是等差数列4、在等差数列中，已知，则（）A．4 B．6 C．8 D．105、下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（）A． B．C．数列的通项公式为 D．

4.2.2等差数列的前项和公式单元教学设计）铜陵市第一中学胡婷一、单元内容及其解析1.内容等差数列前项和公式的推导与应用.首尾配对法本单元的知识结构：首尾配对法等差数列前项和公式n项和公式公式推导等差数列前项和公式n项和公式公式推导分类讨论法倒序相加法倒序相加法简单应用简单应用公式应用综合应用公式应用综合应用灵活应用灵活应用内容解析单元内容具有承上启下的作用。等差数列的前项和公式即是前面知识内容的延续，也为后面类比学习等比数列奠定基础。等差数列的前项和公式是等差数列的一个重要性质，从另一个角度进一步认识等差数列的函数特性。在公式推导中，“倒序相加法”是经典的方法。教学中以数学文化为背景，构建了从简单到复杂，从特殊到一般的过程。使学生逐渐认识到“倒序相加法”的本质。基于以上分析，确定本单元的教学重点：等差数列的前项和公式的推导及其应用.目标和目标解析1.目标了解等差数列前n项和公式发现的背景；推导并掌握等差数列前n项和公式；在具体情境中，能运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过学习，能够了解等差数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前任严谨的治学精神.（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，描述等差数列的前n项和公式的特征，以及它与相应二次函数关系.（3）学生能在具体情境中，运用等差数列的前n项和公式解决相应问题.三、教学问题诊断分析等差数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般概念，这些认知准备，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，都能起到思路引领的作用.学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”，但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对法要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）正是这种差异导致了等差数列的前n项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前n项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性关键.为了有效突破这个难点，在求和公式的教学中，构造“梯形面积”求法，让学生经历等差数列的前n项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学生的思维品质.四、课时教学设计第1课时（一）教学内容等差数列的前项和公式的推导.教学目标1.了解等差数列前n项和公式发现的背景；2.推导并掌握等差数列前n项和公式；教学重点、难点重点：等差数列的前项和公式的推导.难点：等差数列的前项和公式的推导.教学过程设计问题1：如何将下列古文翻译成现代文？今有与人钱，初一人与一钱，次一人于二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？《张邱建算经》追问：1）如何求1+2+3……+100？你听过有关于这个求和的故事吗？高斯求和时用到了上节课中哪个性质？1+2+3……+100+101又怎么求？1+2+3+……=？怎样避开分类讨论，实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”呢？师生活动：教师提问，学生回答，引导学生对公式进行变形，得到.它相当于两个相加，而结果变成个相加.设计意图：问题1通过中国北魏时期《张邱建算经》中一道数学题导入所学内容，引导学生通过观察来发现本题的实质就是求1+2+3……+100的和；追问1）引出“高斯求和”的故事，适时的渗透数学文化，让学生感受数学文化底蕴；追问2）复习旧知并引导学生思考高斯配对算法对奇数个数是否适用；追问3）将问题推广到一般情形并导学生对公式进行变形从公式“形式”角度去探求新的解决方法；追问4）直接发问，为引出“倒序相加法”做铺垫。问题2：已知等差数列{}的首项为，公差为，如何求其前？平面几何中经常出现求不规则图形的面积，对不规则图形的面积问题，常通过割补思想转化成规则图形来求解，如平行四边形可通过割补的方法转化为长方形,知道了平行四边形面积公式后，三角形、梯形我们如何求其面积？师生活动：师生共同得出等差数列的前项和公式设计意图：引出本节课的重点内容，通过预设学生的课堂活动情况，给予相应的指导.追问：你能用基本量项为和表示等差数列的前项和公式吗？师生活动：学生小组讨论得出两种方法，其一，其二，直接将公式带入，得到公式.问题3：你能从图形的角度去解释等差数列的前项和公式吗？为了更好的用图形去表示，我们不妨设为均为正数.师生活动：学生小组讨论后回答，教师评价.引导学生构造特定图形，如设计意图：从形的角度解释等差数列的前项和公式，便于学生理解和记忆。追问：1）等差数列的前项和公式与一元二次函数有什么关系？已知数列的前项和为，那么数列是等差数列吗？师生活动：教师提醒学生注意不一定是关于的二次函数，要根据参数的取值加以讨论，学生回答，教师评价.设计意图：进一步让学生体会数列与函数的关系，引导学生观察等差数列的前项和公式形式上的特点。例1已知数列是等差数列.师生活动：教师提问，学生回答。设计意图：让学生体会方程的思想，师生共同总结，对于等差数列的相关量知道三个可求另两个。例2（教科书第23页例9）已知等差数列的前项和为Sn，若＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.课堂小结、布置作业归纳总结：教师引导学生回顾本节课知识，并回答以下问题：1.等差数列前项和公式推导方法是什么？2.等差数列前项和公式的三种形式你能说出来吗？3.本节课你掌握了哪些求和方法？设计意图：从知识技能以及数学思想两个方面对本节课进行小结，通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。布置作业：基础作业：教科书P22练习1.2.3.4.探究作业：教科书P25页第7题.（五）目标检测设计1．在等差数列中，若，则的值为()A．20B．30C．40D．502．设Sn是等差数列的前项和，若则S5＝()A．5B．7C．9D．113．已知数列的前项和为，则()A．B．C．D．4.已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A．-110 B．-115 C．110 D．115第2课时(一）教学内容等差数列前项和公式的应用.（二）教学目标在具体情境中，能运用等差数列的前项和公式解决一些简单的数学问题，提升核心素养.（三）教学重点、难点重点：等差数列前项和公式的应用.难点：等差数列前项和公式的灵活应用.（四）教学过程设计引导语：上一节课中，我们导出了等差数列前项和公式，它有几种形式？在具体的问题情境中，我们又该如何选择合适的式子呢？设计意图：通过复习回顾，引出本节课教学内容。例1在一个等差数列中，已知＝10，求S19.师生活动：学生合作探究得出结论。设计意图：通过具体实例，引出公式例2（教科书第21页例7）己知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?追问：你还有其他的解决方法吗？如何求前30项的和？师生活动：学生小组讨论，得出结论。设计意图：通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。一题多解，让学生对公式进行变形，得到等差数列，拓宽学生思维.学生可利用成等差数列快速求例3（教科书第23页例8）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为等差数列的求和问题.设计意图：通过让学生解决现实世界的实际问题，让学生体会用等差数列的前项和公式解决实际问题的基本思路和方法.练习：《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推．这位公公年龄最小的儿子年龄为几岁？课堂小结：教师引导学生回顾本单元知识，并回答以下问题：（1）等差数列的前项和公式的推导过程是怎样的？其中蕴含了什么方法？（2）等差数列的前项和公式公式有哪些形式？哪种形式适用于什么题型？布置作业基础作业：教科书习题4.2第1、2、3、6、8题目标检测设计1．已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．19 B．22 C．25 D．272．等差数列​的前项和为​，则​（

）A．42 B．56 C．63 D．703．已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（

）A． B．52 C．54 D．554．设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（

）A．1 B．4 C．7 D．85．在等差数列中，其前项和为，若，则（

）A． B． C． D．

《等比数列》铜陵市第一中学潘宇琦一、单元内容和内容解析《等比数列》选自人教版选择性必修第二册第四章第三节，其主要内容包括等比数列的概念、等比中项和等比数列的通项公式以及这三者的应用。这节课有着承上启下的作用，“承上”体现在承接了等差数列的相关知识和方法，“启下”体现在为等比数列的性质和前项和的探究提供了方法和理论基础。利用数列知识的特性，利用等比数列与等差数列内容和思想方法上的相似性，加强对数学规律的探究，提高学生的观察、分析、猜想、归纳、类比的综合思维能力，发展学生的逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养。等比数列的内容与等差数列是类似的，教材对等比数列内容的编排，采用了与等差数列完全类似的研究路径和研究方法，即“通过运算探究实例中数列的共同取值规律→抽象出定义→根据定义归纳得到通项公式→利用通项公式，探究数列与相关函数的关系→利用通项公式解决问题→推导数列的前n项和公式→利用通项公式与前n项和公式解决问题”。所以，本节的内容为学生提供了很好的自主学习的机会。基于以上分析，得到了本节课的教学重点。教学重点：理解等比数列的概念；探究、掌握等比数列的通项公式。二、单元目标和目标解析内容上：通过数学史料和生活中的实例理解等比数列的概念和通项公式的意义；能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能够运用等比数列解决简单的实际问题；在这个过程中，体会到等比数列和指数函数的关系。教学上：在等比数列的教学中，引导学生通过具体事例，抽象出等比数列的概念、性质和应用，掌握等比数列中各个量之间的基本关系。需要强调的是等比数列作为一类特殊的函数在解决实际问题中的作用，突出数列的本质，引导学生通过类比的方法探索等比数列和指数函数的联系，加深对数列及函数的概念理解。并在等比数列的感悟中，认识到等比数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律的事物的数学模型。理解等比数列的概念，会用等比数列的定义判断等比数列，发展学生逻辑推理素养。通过反思、联想、归纳和探索等比数列概念的形成过程，能辨析等比数列的概念，建立等比数列的概念结构，发展学生数学抽象和数学建模素养。在学习的过程中，感受“从代数运算的角度”提出问题、解决问题的研究过程，认识研究等比数列的合理性、必要性，领悟类比、特殊与一般的数学思想方法，发展学生数学运算和逻辑推理素养。获得探索新知和交流思想的乐趣，体验数学的内在结构美，同时培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，发展学生学习能力和科学素养。教学问题诊断分析学生已经系统地学习了等差数列的基础知识，具备了研究特殊数列的基本思路和方法。对于数列中的归纳和方程的思想，在等差数列的学习中，学生已有了充分的体会。为了调动学生的探求欲望，激发学生的学习兴趣，从生活中的例子引入，加上数学文化的渗透，让学生感受到数学源于生活，充满趣味性。在与等差数列的类比中，通过教师由浅入深的问题设置，引导学生自主探究、合作交流、共享提升，完成等比数列的学习。基于以上分析，得到了本节课的教学难点。教学难点：等比数列概念的形成与理解。本节课的设计主要有以下几个环节：首先从现实生活、数学史、传统文化中选择了4个能反映等比数列本质特征的典型例子入手，引导学生通过运算发现取值规律，从获得定义；然后通过问题串的形式创建系列化学习活动，引导学生运用类比，探究、总结等比数列的概念生成和通项公式的推导过程；接着类比等差中项的概念获得等比中项的定义；最后借助希沃白板深化对概念的理解和公式的应用，帮助学生理解核心概念和其中蕴含的函数与方程、转化等数学思想方法。教学过程设计第一课时[复习回顾]问题一：回忆一类特殊数列——等差数列的学习过程，等差数列是如何发现并研究的？预设并引导：观察共性→得到概念→表示方法→性质→性质→应用。【设计意图】复习等差数列的学习过程，引导学生分析特殊数列的研究方式，为接下来发现研究等比数列作出铺垫。[情境引入]《庄子》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完，这形象地说明了事物具有无限可分性。用数学眼光来看，假设“一尺之棰”长度为“1”，那么从第一天开始，每天木棰的长度构成的数列是什么样的？两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录着下面的数列：9，92，93，…，910；100，1002，1003，…，10010；5，52，53，…，510.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是怎样的？某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是怎样的？【设计意图】从情境的实际问题抽象出若干个等比数列，展示出了若干不同公比的等比数列。《庄子》作为引例，渗透中国传统文化；古巴比伦时期的泥板记录的数列展示、细菌分裂繁殖产生的个数的探究，引起学生的探究问题的兴趣，发生思维碰撞，激发学生问题再探的兴趣；银行本利和问题让学生从中抽象出数学模型。数学史中和生活中的实例引入，从表象逐步过渡到本质，从具体抽象到一般，归纳总结引出本节课课题。新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验，所以基于以上分析，按照事实-概念-性质-应用的顺序展开教学。通过对等差数列概念的回顾和新数列与等差数列的对比，并在两个数列概念的比较中，寻找两个数列的差异，归纳出等比数列的定义。通过小组讨论，再次深化利用类比的方法，借助等差数列研究的内容和方法去研究等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和及应用，培养学生用数学的眼光看待生活，观察问题时善于从生活到数学；解决问题时善于从数学到生活，即将数学概念和定理具体化，用于认识并解决现实中的问题。[新知探究]问题二：观察刚刚发现的数列，类比等差数列的研究思路和方法，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？预设：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。问题三：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能否抽象出等比数列的概念吗？预设：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。追问：你能否给出定义的符号表示？思考：从符号表示式中，能否观察出等比数列公比q的取值范围是什么？【设计意图】让学生充分发表自己的见解，强化学生的主体地位，观察、分析、挖掘具体数列的共性，类比等差数列的概念，提炼出等比数列的定义、数学表达式以及特点，抽象出等比数列的概念，体会数学知识之间的联系，培养学生的语言表达能力，归纳总结能力，渗透特殊与一般的思想，发展学生数学抽象素养。【辨析】以下数列中哪些是等比数列？ ；1,-2,4,-8,16，…；；0,2,4,8,16,32，…；10,10,10,10,10，…；a,a2,a3,a4,a5，…【设计意图】通过辨析，让学生明白想要判断一个数列是等比数列，一定要证明出对于任意项后一项与前一项之比为同一常数，反之，只要举出反例即可。设置这样的涵盖各种情况的问题，让学生自主探究，辨析概念，进一步加强对概念的理解与认识，建立等比数列相关的模型，发展学生的数学抽象素养。问题四：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，类比，在等比数列中有什么相应的概念？如何定义呢？问题五：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？追问1：回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列的通项公式如何推导？追问2：除了归纳法以外，我们还用什么方法推导出等差数列的通项公式？累加法（等差数列）→累乘法（等比数列）【设计意图】类比等差数列的研究方法，让学生经历观察、分析、猜想、验证、证明等比数列的通项公式的研究思路，分别使用三种方法：不完全归纳法、累乘法、迭代法推导出等比数列的通项公式，培养学生归纳、类比、演绎的推理能力，探索和表述有关代数论证部分的思路和过程，发展学生的逻辑推理、数学运算素养。通过问题串的形式指出研究通项公式的合理性和必要性。引导学生类比等差数列通项公式的推导方法累加法，类比得到累乘法。类比的思想在“累乘法”的引出时得到了进一步强化。在累乘法的推导中还要注意严谨性。从发现等比数列定义及通项公式的过程中，创建系列化的学生活动，引导学生通过自主探究、合作学习来建构知识，发展技能，感悟和提炼思想方法，积累数学活动经验。问题六：在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？[典例应用]例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求数列{an}的第5项。追问1：等比数列通项公式由哪些量确定？追问2：观察所求的a5与a4、a6有什么联系？【方法归纳】(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．思考：已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an。【设计意图】通过练习，深化学生使用定义解决问题的意识，让学生深刻理解概念是解决问题的有力工具。例题的设置旨在从函数的角度来研究数列。函数思想是高中数学重要的思想之一，数列是一种特殊的函数，引导学生从函数的角度去认识数列、理解数列、灵活解题，为今后利用函数思想解决数列综合题作铺垫。[总结升华]知识→方法【设计意图】引导学生从知识和思想方法两方面进行小结。知识层面，学习了等比数列的概念、通项公式以及延伸的相关知识；方法层面，运用类比的方法研究概念和推导公式，体会其中的函数与方程、转化与化归等数学思想。作业的设置体现多样性，既有巩固课堂知识的练习题，也有课外探究题让学生感受数学源于生活，又应用于生活。[作业布置]基础性练习：课本31页：1、2、3拓展研究：试讨论等比数列的单调性[单元目标检测]1.等比数列满足，，则.2.对于数列中，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论.3.已知数列是等比数列：（1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？（2）当时，是否成等比数列？为什么？当时，是等比数列吗？五、板书设计：4.3.1等比数列的概念一、新知生成屏幕：课件情境引入：数列举例1.定义符号表示通项公式学生证