高中数学 三角函数 第9课时

人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章三角函数——5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）执教人：王莉（滁州市第二中学）一、课时内容分析（一）课时教学内容本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质.本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的性质，由先前学习函数的经验，通过函数图象，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题.而在三角函数的性质中，周期性是最特别和最重要的，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上的性质就完全清楚了，因此教科书将周期性的研究放在了首位.另外奇偶性也可以起到简化研究函数性质的作用，同时周期性和奇偶性的综合可以加深对正弦曲线和余弦曲线的对称性的认识，因此教科书安排了这两个性质作为第一课时的学习内容.（二）教学内容解析1.在知识体系中本节起着承上启下的作用，一是因为在学习本章之前已经学习了任意角的三角函数和诱导公式，和正弦函数、余弦函数的图象，对正弦函数、余弦函数的性质有了初步的几何直观的感受，二是由于基于本节之后的正弦函数、余弦函数性质的学习，周期性和奇偶性的作用为下一课时研究正弦函数、余弦函数的单调性、最大值和最小值的探究埋下伏笔.从这个意义上说，正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性既是已学知识的延续，又是即将学习的知识的基础.2.教材从观察图象以及公式验证两种方法得出正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，这种多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理等数学素养.3.周期性也是培养学生数学思维的好素材,教材把周期性作为三角函数的第一条性质,足见其重要性.周期现象在现实生活中比比皆是,教科书也在章头引言中列举了大量现实中存在的周期变化现象,可见研究周期性是很有实用价值的.（三）课时教学重点正弦函数、余弦函数的周期性.研究正弦函数、余弦函数的一般思路.突破方法：借助教科书的“探究”，唤醒学生的已有知识经验，引发冲突，激发学生探究的兴趣，引导学生明确函数性质的研究内容，选择恰当的研究方法.二、学生学情分析（一）认识基础分析学生虽然是第一次接触具有周期性的概念,但之前已学过单调性、奇偶性等函数的性质,已经初步掌握了研究函数性质的方法,而且又刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象,学生无论是在方法储备上还是知识储备上都达到了一定的高度，正式研究正弦函数、余弦函数的性质的大好时机.（二）学习障碍预测学生在学习完正弦函数、余弦函数图象之后进行性质的学习，应该说具备了自主探究的知识储备与探究能力,但是类比已有的函数性质，周期性却是三角函数独有的，因此无法只从类比中得到.需要教师引导学生除了利用正弦曲线、余弦曲线，也可以借助单位圆直观想象，多角度的联系.（三）课时教学难点周期函数、最小正周期的意义.突破方法：概念抽象需要典型丰富的实例,以问题逻辑链的设计方式让学生通过实例逐级、逐段地进行概括抽象,让学生感悟概念生成过程,对概念的属性有深刻的理解.三、课时教学目标：（一）课时教学目标1.借助教科书的“探究”，唤醒学生的已有知识经验，引导学生明确函数性质的研究内容，选择恰当的研究方法.明确研究正弦函数、余弦函数的一般思路.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.2.让学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构周期性的定义,理解正弦函数、余弦函数的周期性及最小正周期的含义,会求简单三角函数的最小正周期,能运用定义解决简单的求周期问题.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度,提升学生的数学核心素养.（二）教学目标解析教学目标知识与技能（学什么）学习活动（怎么学）课标要求期望表现（能做什么）了解理解掌握运用目标1正弦函数、余弦函数的周期性结合图形直观想象，到概括归纳√能体会数学中的数形结合思想，并会将之加以应用目标2周期函数的概念从特殊到抽象的探究过程√能在教师的问题指引下自主抽象概括出概念中的核心思想.四、教学评价量表教学目标水平一水平二水平三目标1能结合图象概括出正弦函数、余弦函数的周期以及不唯一性能结合图象概括出正弦函数、余弦函数的周期，但是不能感知到不唯一性只能根据图象感受图象的周而复始的特征，但是不会想到定量表达目标2能由两种特殊周期函数的表达式的共同规律抽象出周期函数的概念，并会思考深化概念的严谨性，能对非零常数和任意，存在加以思考能抽象出周期函数概念的主要特征，但是思维考虑不到概念中的关键字观察总结不出表达式的特征，不会比较自变量和函数值的特征，概括不出五、教学策略与手段（一）研究路径分析1.本节课研究正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性这两个性质，但终归是函数性质的研究，于是我们依旧利用研究函数的基本路径，即由函数的定义——函数的图象——函数的性质.利用图象为切入口，层层深入，针对地设计问题组，循循善诱，引导学生自主探究.2.本节课研究的周期函数的定义和理解，采用由从研究正弦函数、余弦函数这两种特殊的周期函数为切入口，让学生经历特殊到一般的抽象过程，引导学生探究数学概念，并通过问题拓展，延伸学生的数学思维.（二）外部条件支持借助信息技术助力，通过PowerPoint和GeoGebra的演示实现探究与发现,让学生能直观地感知正弦函数、余弦函数的性质，有助于多角度的对知识理解和掌握.能够直观感知和发现形如和的函数中三个变量对周期性以及奇偶性的影响.为后续章节的学习作出铺垫.（三）教学策略分析课题引入环节，通过复习回顾，借助技术助力，唤醒学生借助单位圆直观感受正弦函数、余弦函数的性质的经验，并引发认知冲突——如何用符号语言定量描述这些性质呢？同时也定下本节课由定性到定量的基本研究基调.周期函数的概念的初形成、再完善到终生成环节，采用基于知识发生过程的数学深度学习教学策略，通过设计严密的，层层递进的，小阶梯式的问题逻辑链的方式，指导型的教学方法，避免数学概念的注入式教学.过程中能延伸学生的思维，引导学生关注数学的本质和数学的美，潜移默化地培养学生的数学思维品质，和探究数学的质疑和严谨精神.3.概念应用环节，利用由简到繁的符合学生的认知规律的例题设计,激发学生可持续的学习兴趣,同时引导学生从具体数据中发现规律,培养学生数据分析能力和数学抽象的能力.而大胆地猜想、小心地求证,则再现了人类发现数学定理的过程,在无形中培养了学生研究数学问题的一般方法.六、教学过程设计环节一联系旧知，自然过渡通过前面章节的学习，通过5.4.1的学习中，（GeoGebra动图结合直观演示--教材208页）在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边从轴的正半轴开始逆时针旋转时，点P的横坐标按的规律连续、周而复始地变化；点P的纵坐标按的规律连续、周而复始地变化.让我们初步地感知到了正弦函数、余弦函数的周而复始地规律，以及对称性、单调性和最值等特征.这些规律性和不变性就是性质.这些图象直观感受到的性质，究竟如何用符号语言定量地去描述呢？点出课题——5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第一课时).【学生预期表现】唤醒已有知识经验，明确函数性质的研究内容.【设计意图】唤醒学生的已有知识经验，引发冲突，激发学生探究的兴趣，引导学生明确函数性质的研究内容，选择恰当的研究方法.同时借助单位圆变化的规律性对性质的把握有个“形”的感官.环节二：数形结合，探求新知活动一周期函数概念初形成问题1相比较之前学习过的指数函数、对数函数和幂函数，你们觉得三角函数最特别的特征是什么？【学生预期表现】周而复始我们先从“周而复始”的性质开始研究.GeoGebra动图展示5.4.1正弦曲线的成图过程，角的终边每转一圈，图象就会重复出现.【设计意图】学生在学习完正弦函数和余弦函数图象之后进行性质的学习，应该说具备了自主探究的知识储备与探究能力.但是类比已有的函数性质，周期性却是三角函数独有的，因此无法只从类比中得到，我认为这个需要引导学生回忆正弦曲线作图过程，以及单位圆变化的规律性而得出.问题2正弦函数图象为什么会重复出现？【学生预期表现】角的终边每旋转整数圈终边会回到原来的位置，终边与单位圆交点的纵坐标都是相等的，即正弦值相等.追问1如果将角的终边绕着坐标原点逆时针转一圈，角的变化是怎样的？终边与单位圆交点的横坐标相等吗？追问2【学生预期表现】角到角追问3可以用数学表达式表示这样的特征吗？【学生预期表现】追问3两个等式成立的与的取值有关吗？【学生预期表现】无关.问题3如果将角的终边绕坐标原点按逆时针方向继续旋转2周，3周,更多周，又会得到哪些角？它们的正弦函数值和余弦函数值有何关系？【学生预期表现】问题4如果将角的终边绕坐标原点按顺时针方向旋转1周,2周，更多周，你能得到什么结论？【学生预期表现】问题5从你所得出的等式来看，能发现什么样的规律？【学生预期表现】自变量每增加一定的值，函数值就重复出现.追问你所说的“一定的值”可以是多少？【学生预期表现】这里的一定值可以是，也可以是.问题6满足“自变量每增加一定的值，函数值就重复出现”的函数，数学中称为周期函数，这个一定的值称为它的周期.称这个函数具有周期性.正弦函数、余弦函数都是周期函数.请同学们看下以下两个函数，是周期函数吗？【学生预期表现】能顺利回答出问题.追问上面我们对正弦函数和余弦函数所具有的周期性进行了探究，除了这两种函数之外，可能还会有其他函数也具有类似的性质，为了给这一类函数下一个定义，请思考:如果将中的和抽象成一般的函数，你会用什么符号表示？上述等式又如何表示？【学生预期表现】用表示一般函数，上述等式可表示为追问对于和，是每增加函数值重复出现，如果把数进行抽象，你会怎样表示？这组式子又可以怎样表示？【学生预期表现】常数.追问不妨设为，同学们能形成周期函数的概念了吗?【学生预期表现】概念初形成：把这些常数抽象成，这组等式可写成.则称函数是周期函数,且周期为.【设计意图】这是一个从“形”的感官认识上升到“数”的抽象认识的过程,采用指导型探究为主要教学方法，以问题解决为主线，设计层层递进的小阶梯式问题逻辑链，符合学生的认知特征和思维水平，也能培养学生用数学的方法研究问题的能力.从具体的正弦函数抽象出一般的周期函数的概念,培养学生数学抽象、归纳的能力,同时,也使学生对周期性的概念有了一个初步的理性认识.活动二周期函数概念完善生成问题1任何一个数学概念的形成，都经过了漫长的探究过程,才能加以使用.所以一定要严谨.大家对这个概念有质疑吗？请同学们讨论.【学生预期表现】学生提出问题：这个常数可以为零吗？毕竟也是成立的呀.学生解决：不可以.举出反例，例如但是并不是周期函数.【设计意图】通过反例可以让学生换一个角度剔除概念的非本质属性，不仅可以弥补正例教学的不足，而且可以提升学生的思辨能力，从而获取对数学概念的本质理解.追问那么能将定义完善一些吗？【学生预期表现】对于函数，如果存在一个非零常数，使得，则称函数是周期函数,且周期为.问题2是否可以认为也是正弦函数的周期？追问这种情况与之前说是正弦函数的周期有什么不同？【学生预期表现】学生活动，举反例。表明这些式子对定义域内的任意都成立.请同学们再一次完善定义.【学生预期表现】生成概念：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，这个非零常数就叫做这个函数的周期.【设计意图】通过两个典型的反例帮助学生对定义进行推敲修正,提醒其对“非零”和“任意”的重视,培育了学生思维的严谨性,让学生学会用批判的眼光看问题.这个过程也让学生明白,任何数学的概念形成过程并非一蹴而就的,需要不断地修正和完善,是个螺旋上升的过程,这个过程其实就是数学概念发展史的一个缩影活动三周期函数概念深化理解问题1：辨析下列函数是不是周期函数？【学生预期表现】函数的周期性还是要看定义域解决，定义域对函数的影响是巨大的.周期函数的定义域必定是无穷的.【设计意图】此题既可以让学生从形的角度来研究,培养学生直观想象的能力,亦可以从数的角度来思考,利用周期性的定义来判断,培养学生概念的运用能力.通过此题的探究,学生感悟到周期函数的定义域必定是无穷的,但不一定是连续的,让学生对周期性的概念有一个更深度的理解.问题2正弦函数和余弦函数的周期是什么？【学生预期表现】都是，可以说.问题3一般地，如果是的周期，那么除之外还有其他周期吗？【学生预期表现】问题4在众多的周期中,存在一个最小的正数,我们称之为最小正周期.追问1是否所有的周期函数都有最小正周期?【学生预期表现】这个函数符合周期函数定义,它是周期函数,但所有正的常数都是它的周期,因此它没有最小正周期.追问2正弦函数、余弦函数的最小正周期存在吗？是多少？【学生预期表现】【设计意图】引出最小正周期的概念,同时培养学生严谨、批判的治学态度.纠正学生“周期函数必有最小正周期”这个错误的认知,加深学生对最小正周期的理解,培养学生严谨的治学态度.环节三：例题解答，透彻理解【学生预期表现】学生活动，展示学生活动结果.思考：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？能发现怎样的关系呢?比如函数,其最小正周期是多少?【学生预期表现】.思考求函数的周期.【学生预期表现】通过这个思考和练习，把公式修正为.【设计意图】通过“示错”,让学生自主发现问题,并修正公式,这种“授人以渔”的方法不但让学生对公式的理解更加到位,也让学生明白了公式的来龙去脉,体会到数学公式产生的自然性.追问可以证明吗？活动后GeoGebra动态演示这几个函数图象，直观给学生们感受到参数对图象的影响，也会后期的学习做铺垫.【设计意图】由简到繁的例题设计符合学生的认知规律,能更好地激发学生可持续的学习兴趣,有助于培养学生灵活多变地运用定义的能力.从具体数据中发现规律,并归纳、抽象出正弦函数周期计算公式,培养了学生数据分析能力和数学抽象的能力.而大胆地猜想、小心地求证,则再现了人类发现数学定理的过程,在无形中培养了学生研究数学问题的一般方法.环节四：新知学习，类比掌握问题类比我们的研究路径，同学们能说一说正弦函数、余弦函数的奇偶性吗？【学生预期表现】从图象上：正弦函数的图象关于原点对称，是奇函数；余弦函数的图象关于y轴对称，是偶函数.代数角度：【设计意图】再一次让学生感受研究函数性质的一般路径.思考知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？环节五：归纳概括，课堂小结知识层面思想方法层面【学生预期表现】本节课通过类比之前研究函数的经验，学习了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，以及周期函数的定义和理解.数学抽象，数形结合，特殊到一般环节六：作业布置1.教材203页练习；2.阅读和学习教材203页探究与发现.板书计划