四川省成都市棠湖中学实验学校2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

四川省成都市棠湖中学实验学校2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，，，点P为△ABC内（包含边界）的点，且满足（其中x，y为正实数），则当xy最大时，的值是（

）A．

B．1

C.2

D．与∠A的大小有关参考答案：B过点P分别作AB,AC的平行线，与AB,AC的公共点分别是P,Q．首先，对于固定的角A，要使得最大，仅需最大，即最大，即平行四边形AMPN的面积最大，显然P需与B，C共线，此时．由基本不等式，知，当且仅当时，取到等号，此时．故答案为：B.

2.已知函数是定义在内的单调函数，且对，给出下面四个命题：①不等式恒成立②函数存在唯一零点，且③方程有两个根④方程（其中为自然对数的底数）有唯一解，且.其中正确的命题个数为（

）A.个

B.个

C.个

D.个

参考答案：B试题分析：令,则,注意到的任意性可得.由于当时,,因此①是正确的；由于,即函数是单调递增函数,且,因此函数在上存在唯一的零点,故②是正确的；设,则,即函数是单调递增函数,且只有一个零点,故答案③是错误的；令,因,故是单调递增函数,且,因此④是错误的.故应选B.考点：函数的定义及对应法则及函数的图象和性质的综合运用.【易错点晴】本题是一道以函数满足的条件为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合性应用问题.解答本题的关键是如何理解这一条件进行等价转化化归与利用.求解时依据题设条件先构造函数,则,然后逐一对所提供的四个答案进行分析推证,从而使得问题最终获解.3.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则

A．

B．

C．

D．参考答案：D考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。4.观察下列不等式：①；②；③；...请写出第个不等式_____________.参考答案：略5.已知i为虚数单位，且若为实数，则实数m的值为（

）A．2

B．－2

C．

D．参考答案：D因为且是实数,所以,则，故选D.

6.已知集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣） B．（，0），（﹣，0） C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．8.下列说法正确的是

（

）

A.命题“使得”的否定是：“”B.“”是“在上为增函数”的充要条件C.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D.命题p：“”，则p是真命题参考答案：B9.已知，，，，那么a，b，c的大小关系是(

)A．a>c>b

B．c>a>b

C．b>c>a

D．c>b>a参考答案：D10.设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为()A．1

B．－1C．1或－1

D．1，－1或0参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有

个．参考答案：23【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．12.圆心在原点，并与直线相切的圆的方程为

.参考答案：圆心到直线的距离，即圆的半径为，所以圆的标准方程为。13.定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是

．参考答案：（）【考点】简单线性规划的应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则∈（，3）；故答案为：（）．14.（几何证明选讲选做题）如图ACB=90°，CD⊥AB于点D．以BD为直径的圆与BC交于点E．下面的结论正确的是

． ①CE·CB=AD·DB;

②CE·CB=AD·AB;

③AD·AB=CD2参考答案：15.已知点在直线上，则的最小值为

.参考答案：16.若的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项是______。参考答案：

略17.已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．参考答案：，若，则，，此时，即的值域是。若，则，。因为当或时，，所以要使的值域是，则有，即，所以，即的取值范围是。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=l，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面积．参考答案：解：（1）∵函数的最大值为2，∴A=2又∵函数的周期T=4（﹣）=π，∴ω==2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）∵f（）=2为函数的最大值，∴2×+φ=+2π（k∈Z）结合|φ|＜，取k=0得φ=∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）（2）由（1）得f（A）=2sin（2A+）=1，∵A∈（0，π），∴2A+=，得A=根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cos），即1=22﹣2bc（1+cos），解之得bc==3（2﹣）因此，△ABC的面积S=bcsinA=3（2﹣）×sin=略19.（14分）

如图，在直三棱柱中，，D、E分别是AA1、B1C的中点.(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小；(Ⅲ)求二面角C-B1D-B的大小.参考答案：解析：方法一：（Ⅰ）证明：如图，设G为BC的中点，连接EG，AG，在中，，

，且，

又，且，

，

四边形为平行四边形，

，

------------------------2分

又平面ABC，平面ABC，

平面.

--------------------------4分（Ⅱ）解：如图，设F为BB1的中点，连接AF，CF，

直三棱柱，且D是AA1的中点，

，

为异面直线与所成的角或其补角.

-------------------7分

在Rt中，，AB=1，BF=1，

，同理，

在中，，

在中，，.

异面直线与所成的角为.

----------------------9分（Ⅲ）解：直三棱柱，，

又，平面.

----------------------10分如图，连接BD，在中，，，即，是CD在平面内的射影，，为二面角C-B1D-B的平面角.

--------------------12分在中,,BC=1,，,二面角C-B1D-B的大小为.

--------------------14分

方法二：（Ⅰ）同方法一.

----------------------4分（Ⅱ）如图，以B为原点，BC、BA、BB1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

则，

,

----------------------6分，异面直线与所成的角为.

----------------------9分（Ⅲ）解：直三棱柱，，

又，平面.

---------------------------10分

如图，连接BD，在中，，，即，是CD在平面内的射影，，

为二面角C-B1D-B的平面角.

-----------------------12分，，

二面角C-B1D-B的大小为.

------------------------14分

20.（本小题满分13分）已知函数，其中．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）当时，证明：存在实数，使得对于任意的实数，都有成立；（3）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论).参考答案：（1）；（2）详见解析；（3）当与时，均不存在满足题意的实数.试题解析：（1）当时，函数，其定义域为，求导得，∵，，∴函数的图象在点处的切线方程为；（2）当时，的定义域为，求导，得，令，解得，，当变化时，与的变化情况如下表：

∴函数在，上单调递增，在上单调递减，又∵，当时，，当时，，∴当时，，当时，，记，其中为两数，中较大的数，综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式恒成立；（3）当时，等价于，令，则，∴当时，，∴在，上单调递增，而，，当时，，当时，，当时，，∴在上的值域为，即方程不可能只有负根，满意题意的实数不存在，同理可知当时，满足题意的实数也不存在.考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.分类讨论的数学思想.21.某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。参考答案：解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.