第22讲自相关序列与正则方程

2023/4/1现代数字信号处理江汉理工大学通信工程学院无线通信系通信对抗教研室2023/4/1第22讲自相关序列与正则方程时间序列模型AR过程MA过程ARMA过程

正则方程（Yule-Walker方程）2023/4/10、复习：有理功率谱如果平稳随机过程的功率谱密度为有理函数，表示为其中，多项式和的根位于平面的单位圆内。那么根据白噪声序列产生随机过程的线性滤波器也是有理函数，可表示为2023/4/1对于具有式给定的有理系统函数的线性系统，输出和输入通过如下差分方程相联系：区分三种特定情况：自回归（AR）过程。，这种情况下，线性滤波器是一个全极点滤波器，表示输入输出关系的差分方程为即产生修正过程的噪声白化滤波器是一个全零点滤波器

0、复习：有理功率谱2023/4/1滑动平均（MA）过程。。这种情况下，线性滤波器是一个全零点滤波器，表示输入输出关系的差分方程为

MA过程的噪声白化滤波器是一个全极点滤波器。自回归滑动平均（ARMA）过程。这种情况下，线性滤波器在平面内既有极点也有零点。从产生修正过程的逆系统也是一个形如的极点-零点系统。0、复习：有理功率谱1、时间序列信号模型三种时间序列模型假设信号模型用一个P阶差分方程描述:x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p)

=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)(***)式中,w(n)是零均值、方差为σ2w的白噪声;x(n)是我们要研究的随机序列。根据系数取值情况，将模型分成以下三种。1、时间序列信号模型

1.滑动平均模型（MovingAverage，简称MA模型）当上式中ai=0,i=1,2,3,…,p时,该模型称为MA模型。模型差分方程和系统函数分别用下式表示：x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q…上式表明该模型只有零点,没有除原点以外的极点，因此此模型也称为全零点模型。如果模型全部零点都在单位圆内部，则是一个最小相位系统，且模型是可逆的。1、时间序列信号模型

2.自回归模型（Autoregressive,简称AR模型）当（***）式中bi=0,i=1,2,3,…，q时，该模型称为AR模型。模型差分方程和系统函数分别用下式表示：x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n)A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p

上式表明该模型只有极点,没有除原点以外的零点，因此该模型也称为全极点模型。只有当全部极点都在单位圆内部时，模型才稳定。1、时间序列信号模型3.自回归-滑动平均模型（简称ARMA模型）该模型的差分方程用（****）式描述，系统函数用下式表示：式中，分子部分称为MA部分，分母部分称为AR部分，这两部分无公共因子，应分别满足稳定性和可逆性的条件。1、时间序列信号模型

(1)沃尔德(Wold)分解定理：任意一个实平稳随机序列x(n)均可以分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是确定性信号,v(n)是具有连续谱分布函数的平稳随机MA序列。这里确定性部分可以不存在或者事先去掉，MA部分常常是有限阶的。

2、三种模型的关系如何证明？

（2）任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或者用阶数足够大的AR信号模型近似表示。2、三种模型的关系如何证明？B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+…

b0=1对上式进行Z变换得到X(z)=B(z)W(z)式中，B(z)是MA信号模型的系统函数，或者说是bi(i=1,2,3,…)序列的Z变换。设MA信号模型满足可逆性条件，即B-1(z)存在，令证明如下：设MA序列为这样X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+…)X(z)=W(z)对上式进行Z反变换，得到x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n)上式表示的就是x(n)的AR信号模型差分方程，因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示时，也可以用无限阶的AR模型表示，对于ARMA模型也同样可以证明。2、三种模型的关系例如,ARMA模型系统函数为设AR模型系统函数用HAR(z)表示：令HAR(z)=H(z),即可以求出ci系数2、三种模型的关系

以上说明MA和ARMA模型可以用无限阶AR模型表示。反过来的结论也正确。例如：用MA模型表示：i=0i≥12、三种模型的关系表明三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性。

2、三种模型的关系AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号；MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰的信号；ARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况。如果信号的功率谱有尖峰而没有深谷，用具有极点的AR模型表示将比用MA模型表示用的系数少，即效率高。如何选择？2023/4/13、滤波器参数和自相关序列的关系一般的ARMA过程差分方程：2023/4/1当平稳随机过程的功率谱密为有理函数时，自相关序列和通过白噪声序列滤波产生过程的线性滤器的参数和存在基本关系。其中，

是

和

之间的互相关序列，为：

3、滤波器参数和自相关序列的关系2023/4/13、滤波器参数和自相关序列的关系

和参数，之间的非线性关系为：一般来说，式中的关系式适用于ARMA过程。对于AR过程可简化为式；对于MA过程情况下可简化为式，见课本。

2023/4/13、滤波器参数和自相关序列的关系AR过程可以简化为：把这些方程写成矩阵的形式，就称为Yule-Walker方程2023/4/13、滤波器参数和自相关序列的关系Yule-Walker方程则样求解正则方程？2023/4/