高考数学新设计大一轮复习第四章三角函数解三角形第7节解三角形应用举例习题理含解析新人教A

第7节解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与丈量、几何计算相关的实质问题.知识梳理仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视野在水平视野上方叫仰角，目标视线在水平视野下方叫俯角(如图1).方向角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方向角.如B点的方向角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.5.解决与平面几何相关的计算问题重点是找清各量之间的关系，进而应用正、余弦定理求解.[微点提示]1.不要搞错各样角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.在实质问题中，可能会碰到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样办理起来既清楚又不简单出现错误.1基础自测判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )0，π(3)俯角是铅垂线与视野所成的角，其范围为2.( )(4)方向角与方向角其实质是同样的，均是确立察看点与目标点之间的地点关系.( )分析(2)α＝β；(3)俯角是视野与水平线所组成的角.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(必修5P11例1改编)如下图，设A，B两点在河的两岸，一丈量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就能够计算出A，B两点的距离为( )A.502mB.503mC.252mD.2522m分析由正弦定理得ABAC＝，sin∠ACBsin∠CBA又∵∠＝30°，CBA22∴＝ACsin∠ACB50×2＝50(m).＝ABsin∠CBA122答案A3.(必修5P15练习T3改编)如下图，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.分析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，13AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝2AD＝2a.3答案2a4.(2019·雅礼中学月考)如图，两座灯塔A和B与海岸察看站C的距离相等，灯塔A在察看站南偏西40°，灯塔B在察看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°分析由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，3所以灯塔A在灯塔B的南偏西80°.答案D5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创办的“割圆术”能够估量圆周率π，理论上能把π的值计算到随意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精准到小数点后七位，其结果当先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.分析如图，连结正六边形的对角线，将正六边形分红六个边长为1的正三角形，进而S61233＝6×2×1×sin60°＝2.33答案2226.(2018·福州模拟)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________.分析因为sin∠22⊥，＝，且BAC3ADACπ22所以sin2＋∠BAD＝3，22所以cos∠BAD＝3，在△BAD中，由余弦定理，得BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD2（32）2＋32－2×32×3×3＝3.4答案3考点一求距离、高度问题多维研究角度1丈量高度问题【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后抵达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.分析由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.BC又AB＝600m，故由正弦定理得sin45°＝sin30°，解得BC＝3002(m).3在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×3＝1006(m).答案1006规律方法1.在办理相关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是重点.在实质问题中，可能会碰到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样办理起来既清楚又不简单搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转变为平面问题.【训练1】如图，丈量河对岸的塔高AB时能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高5AB等于( )A.56B.153C.52D.156分析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.BC30由正弦定理得sin30°＝sin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.答案D角度2丈量距离问题【例1－2】如下图，某旅行景点有一座景色艳丽的山岳，山上有一条笔挺的山路BC和一条索道，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步登攀，已知∠ABCAC＝120°，∠＝150°，＝1km，＝3km.假定小王和小李徒步登攀的速度为每小时1ADCBDAC250米，请问：两位爬山喜好者可否在2个小时内徒步登上山岳？(即从B点出发抵达C点)解在△中，由题意知，∠＝∠＝30°，ABDADBBAD所以AB＝BD＝1km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得ABAD3sin＝，解得AD＝∠ADBsin∠ABDkm，6在△ACD中，222由AC＝AD＋CD－2AD·CD·cos150°，23得9＝3＋CD＋23×2CD，233－3负值舍去)，即CD＋3CD－6＝0，解得CD＝km(2BC＝BD＋CD＝33－1km，2两个小时小王和小李可徒步登攀1250×2＝2500米，33－136－15即2.5千米，而2<2＝2＝2.5，所以两位爬山喜好者能够在两个小时内徒步登上山岳.规律方法1.选定或确立要创立的三角形，第一确立所求量所在的三角形，若其余量已知则直接求解；如有未知量，则把未知量放在另一确立三角形中求解.2.确立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】海轮“和睦号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和睦号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.分析设海轮“和睦号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0，25解得x＝3或x＝－12(舍).72所以海轮“和睦号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为3小时.答案

23考点二丈量角度问题【例2】已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰巧用0.5小时能截住该走私船？5333参照数据：sin38°≈14，sin22°＝14解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得222°，BC＝AB＋AC－2AB·ACcos1202所以BC＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.5×3AC·sin∠BAC253又由正弦定理得sin∠ABC＝BC＝7＝14，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，8故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰巧用0.5小时截住该走私船.规律方法1.丈量角度问题的重点是在弄清题意的基础上，画出表示实质问题的图形，并在图形中标出相关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转变为实质问题的解.2.方向角是相关于某点而言的，所以在确立方向角时，一定先弄清楚是哪一个点的方向角.【训练3】如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°分析依题意可得＝2010m，＝305m，ADAC又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠＝AC2＋AD2－CD2（305）2＋（2010）2－502＝CAD2AC·AD2×305×20106000260002＝2，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案B考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用92π︵【例3】(2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝3，半径为42，若点C是AB上的一动点(不与点A，B重合).︵若弦BC＝4(3－1)，求BC的长；求四边形OACB面积的最大值.解(1)在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝42，所以由余弦定理得cos∠＝OB2＋OC2－BC23＝，BOC2OB·OC2π所以∠BOC＝6，︵π22于是BC的长为6×42＝3π.(2)设∠AOCθ，θ∈3BOC3θ，＝0，2π，则∠＝2π－四边形OACB△AOC△BOC112π－θS＝S＋S＝2×42×42sinθ＋2×42×42·sin3＝24sinθ＋83cosθ＝163sinπθ＋6，2π因为θ∈0，3，ππ5π所以θ＋6∈6，6，当θ＝π时，四边形的面积获得最大值163.3OACB规律方法1.把所供给的平面图形拆分红若干个三角形，而后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.2.找寻各个三角形之间的联系，交错使用公共条件，求出结果，求解时要灵巧利用平面几何10的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机联合起来.【训练4】(2019·成都诊疗)如图，在平面四边形中，已知＝π，＝2π，＝6.ABCDA2B3AB2π在AB边上取点E，使得BE＝1，连结EC，ED.若∠CED＝3，EC＝7.求sin∠BCE的值；求CD的长.解(1)在△中，由正弦定理，知BE＝CE，BECsin∠BCEsinB2π因为B＝3，BE＝1，CE＝7，3所以sin∠BCE＝BE·sinB221.CE＝＝714(2)因为∠＝＝2π，所以∠＝∠，CEDB3DEABCE357所以cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－28＝14.π因为A＝2，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝AE＝5＝27.7cos∠DEA514在△CED中，2221CD＝CE＋DE－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－2＝49.所以CD＝7.11[思想升华]利用解三角形解决实质问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出表示图，成立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方向角、方向角等观点；(3)三角函数模型中，要确立相应参数和自变量范围，最后还要查验问题的实质意义.[易错防备]在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系互相限制，推理题中的隐含条件.基础稳固题组(建议用时：40分钟)一、选择题在相距2km的A，B两点处丈量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )A.6kmB.2kmC.3kmD.2km分析如图，在△中，由已知可得∠＝45°，∴AC＝2，ABCACBsin60°sin45°3∴AC＝22×2＝6(km).答案A2.如下图，为了丈量某湖泊双侧A，B间的距离，李宁同学第一选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，而后给出了三种丈量方案：①丈量A，C，b；②丈量a，b，C；③丈量A，B，a.则必定能确立A，B间的距离的全部方案的序号为( )12A.①②B.②③C.①③D.①②③分析关于①③能够利用正弦定理确立独一的A，B两点间的距离，关于②直接利用余弦定理即可确立A，B两点间的距离.答案D3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后抵达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处察看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处察看灯塔，其方向是北偏东65°，那么，C两点间的距离是()BA.102海里B.103海里C.203海里D.202海里分析如下图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，BCAB依据正弦定理得sin30°＝sin45°，解得BC＝102(海里).答案A4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为( )4004003A.3mB.3m132003200C.3mD.3m分析如下图.在Rt△ACD中可得CD＝20033＝BE，ABBE在△ABE中，由正弦定理得sin30°＝sin60°，200200400则AB＝3，所以DE＝BC＝200－3＝3(m).答案A如图，从气球A上测得正前面的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m分析如图，14∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△中，＝AD＝60＝603(m)，ACDCDtan∠ACDtan30°在Rt△ABD中，BD＝AD60＝60＝60(2－3)(m)，＝tan∠ABDtan75°2＋3∴＝－＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m).BCCDBD答案C二、填空题如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.分析在△ACD中，由余弦定理可得49＋9－2511cosC＝2×7×3＝14，3则sinC＝14.在△ABC中，由正弦定理可得ABACsinC＝sinB，53ACsinC7×1456则AB＝sinB＝2＝2.256答案2如图，某住所小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个进出口，且小区里有一条平行于AO的小道CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若这人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.15分析连结OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2··cos60°，即＝507.CODOCCDODCDODOC答案5078.如下图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等候营救.信息中心立刻把信息见告在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前去B处营救，则cosθ的值为________.分析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得2227.BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20由正弦定理，得ABBC＝sin∠ACBsin∠BAC∠＝AB21?sin·sin∠BAC＝7.ACBBC27由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝7.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)21cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝14.答案

211416三、解答题9.如图，航空丈量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞翔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的高度为多少米？(取2＝1.4，3＝1.7)解如图，作CD垂直于AB的延伸线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB30°，AB＝50×420＝21000(m).又在△ABC中，BCAB＝，sinAsin∠ACB所以BC＝21000×sin15°＝10500(6－2).12因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(6－2)×2＝10500(3－1)27350(m).故山顶的高度为10000－7350＝2650(m).3π在△ABC中，A＝4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.解设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得2＝b2＋c2－2bccos∠＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π＝18＋36－(－aBAC436)＝90，17所以a＝310.又由正弦定理，得sinB＝bsin∠BAC310＝＝，a31010π由题设知0<B<4，所以cosB＝1－sin2B＝1－131010＝10.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠＝∠，所以∠＝π－2.ABDBADADBB由正弦定理，得＝AB·sinB＝6sinB＝3＝.ADsin（π－2B）2sinBcosBcosB10能力提高题组(建议用时：20分钟)11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观察仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平川面下方，O为CH与水平川面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平川面上两个察看点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，此中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( )A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米222分析由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC＝BA＋CA2BA·CA·cos∠BAC，18即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH＝AC.sin∠CAHsin∠AHCsin∠CAH可得CH＝AC·＝1406(米).sin∠AHC答案B12.校运动会开幕式上举行升旗仪