高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆位置关系讲义理含解析新人教A

第4节直线与圆、圆与圆的地点关系考试要求1.能依据给定直线、圆的方程判断直线与圆的地点关系；能依据给定两个圆的方程判断两圆的地点关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步认识用代数方法办理几何问题的思想.知识梳理直线与圆的地点关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，x－a）2＋（y－b）2＝r2，由Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，获得对于x(或y)的一元二次方程，其鉴别式为.方法地点几何法代数法关系订交d<r>0相切d＝r＝0相离d>r<0圆与圆的地点关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的地点关系可用下表来表示：地点关系相离外切订交内切内含1R－r＜几何特点d＞R＋rd＝R＋rd＝R－rd＜R－rd＜R＋r代数特点无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210[微点提示]关注一个直角三角形当直线与圆订交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.圆的切线方程常用结论(1)22200002.过圆x＋y＝r上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(yb)＝r2.(3)过圆2＋22(，)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为＋＝xy＝r外一点yxxyy0000r2.基础自测判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1订交”的必需不充分条件.( )(2)假如两个圆的方程构成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )(3)假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆订交.( )(4)22200A，B，则O，P，A，B过圆O：x＋y＝r外一点P(x，y)作圆的两条切线，切点分别为2四点共圆且直线的方程是0＋0＝r2.( )ABxxyy分析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1订交”的充分不用要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0订交于A，B两点，则|AB|＝________.分析由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝5.|3－2－6|10|AB|2222又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝9＋1＝2，由2＝r－d，得|AB|＝10，即|AB|＝10.答案103.(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.x2＋y2－4＝0，x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝分析由＋y2－4x＋4y－12＝0，得两圆公共弦所在直线方程x24的圆心到直线x－＋2＝0的距离为2＝.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝，所y222以，所求弦长为22.答案224.(2019·大连双基测试)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为()A.±333B.±3C.±2D.±1分析由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2，30)，半径r＝2，又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝|2m|m2＋1＝2，解得m＝±1.答案D5.(2018·西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为( )A.(－3，3)B.[－3，3]3333C.(－3，3)D.－3，3分析数形联合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1，0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径|2k|≤1，解得－3≤k≤31，即33.1＋k2答案D6.(2019·北京海淀区模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )D.－11分析圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝25－m(m<25).进而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9.答案C考点一直线与圆的地点关系【例1】(1)(2019·青岛测试)已知点(，)在圆：x2＋y2＝1外，则直线ax＋＝1与MabOby圆O的地点关系是()A.相切B.订交C.相离D.不确立4已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A察看点B，要使视野不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)4343B.(－∞，－3)∪(3，＋∞)2323C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)4343D.(－3，3)分析(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1|a·0＋b·0－1|1O订交.的距离d＝a2＋b2＝＜1，故直线与圆a2＋b2易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线.设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0.|0－0－2|由d＝＝1，得k＝±3.1＋k2∴切线方程为y＝±3x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为(－433，2)，(433，2).故要使视野不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是4343(－∞，－3)∪(3，＋∞).答案(1)B(2)B规律方法判断直线与圆的地点关系的常有方法几何法：利用d与r的关系.代数法：联立方程以后利用判断.点与圆的地点关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆订交.5上述方法中最常用的是几何法，点与圆的地点关系法合用于动直线问题.【训练1】(1)“＝3”是“直线y＝＋4与圆(－)2＋(－3)2＝8相切”的()axxayA.充分不用要条件B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的地点关系为( )A.相离B.相切C.订交D.以上都有可能分析(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|＝22，即|a＋21|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8必定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不用要条件.直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0订交.答案(1)A(2)C考点二圆的切线、弦长问题多维研究角度1圆的弦长问题【例2－1】(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|________.分析由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心|1＋1|2，所以|AB|＝222－（2）2＝22.到直线y＝x＋1的距离d＝＝2答案226角度2圆的切线问题【例2－2】过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )3131A.y＝－4B.y＝－2C.y＝－2D.y＝－4分析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径为1，以|PC|＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，1将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－2.答案B角度3与弦长相关的最值和范围问题【例2－3】(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋＋2＝0分别与x轴、y轴交于，B两点，点P在yA圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A.[2，6]B.[4，8]C.[2，32]D.[22，32]分析|2＋0＋2|＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32].圆心(2，0)到直线的距离d＝2依据直线的方程可知，两点的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)，所以||＝2，所以ABAB21△ABP的面积S＝2|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].答案A规律方法1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后获得一个一元二次方程.在鉴别式＞0的前提下，利用根与系数的关系，依据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.7过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以考证.【训练2】(1)已知过点(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－＋1＝0Pay平行，则a＝________.(2)(2019·杭州测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，此中最短弦的长为________.分析(1)因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2，2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线方程为(2－1)(x－1)＋2y＝5，即x＋2y－6＝0，由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，＝－2.a(2)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝2，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝22.PC答案(1)－2(2)22考点三圆与圆的地点关系【例3】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.m取何值时两圆外切？m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m，当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m，得m＝25＋1011.当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，8解得m＝25－1011.由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.故两圆的公共弦的长为|4×1＋3×3－23|242＋32＝2.规律方法1.判断两圆的地点关系经常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采纳代数法.2.若两圆订交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项获得.【训练3】(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆与圆：(x－1)2＋(y－1)2＝1的地点关系是( )MNA.内切B.订交C.外切D.相离(2)(2018·安阳模拟)已知圆1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所CC在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是()11A.0，4B.0，4C.－∞，1D.－∞，144分析(1)由题意得圆的标准方程为2＋(y－)2＝2，圆心(0，)到直线x＋y＝0的距离Mxaaaaa2d＝2，所以2a2－2＝22，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆订交.(2)将圆C与圆C的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx＋(k－2)y－4＝0，即k(x＋y)122y＋4＝0，x＝2，－(2y＋4)＝0，由得y＝－2，x＋y＝09即(2，－2)，所以2＋2－2＝0，∴＋＝1，则≤m＋n211时2＝，当且仅当＝＝Pmnmnmn4mn21取等号，∴mn的取值范围是－∞，4.答案(1)B(2)D[思想升华]1.解决相关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l)222＋d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转变为对于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2|x－x|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝121|y1－y2|＝1.1＋k21＋k2（y1＋y2）2－4y1y22.求过一点的圆的切线方程时，第一要判断此点能否在圆上，而后设出切线方程.注意：斜率不存在的情况.[易错防备]求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，能够用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程能否正确外，还要考虑斜率不存在的状况，以防漏解.基础稳固题组(建议用时：40分钟)10一、选择题1.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝0分析∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝1－01＝，3－12∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.答案B2.(2018·佛山调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，假如这两个圆有且只有一个公共点，那么a的全部取值构成的会合是( )A.{1，－1，3，－3}B.{5，－5，3，－3}C.{1，－1}D.{3，－3}分析由题意得两圆的圆心距＝||＝2＋1＝3或＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或＝－3dada或a＝1或a＝－1，所以a的全部取值构成的会合是{1，－1，3，－3}.答案A3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析圆的方程化为(＋1)2＋(＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离＝|－1－2＋1|＝22，半径是22，联合图形可知有3个切合条件的点.答案C114.(2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2订交于A，B两点(O为坐标原点)，且△为等腰直角三角形，则实数a的值为( )AOBA.6或－6B.5或－5C.6D.5分析因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2订交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得

|a|12＋（－2）2＝1，所以a＝±5.答案B5.(2019·济南二模)直线l：－＋＋1＝0与圆x2＋y2＝8交于，两点，且||＝4，kxykABAB2过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，是|MN|等于()A.222D.8分析|AB|＝42为圆的直径，所以直线AB过圆心(0，0)，所以k＝－1，则直线l的方程为y＝－x，所以两条垂线的斜率均为1，倾斜角45°，联合图象易知|MN|＝2×2×22＝8.答案D二、填空题6.(2019·天津河西区一模)若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.分析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，12|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.答案87.已知圆C的圆心是直线x－＋1＝0与x轴的交点，且圆与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外yC切，则圆C的方程为________________.分析由题意知圆心C(－1，0)，其到已知圆圆心(2，3)的距离d＝32，由两圆相外切可得R＋22＝d＝32，即圆C的半径R＝2，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案(x＋1)2＋y2＝2已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为，则||＝________.BAB分析因为直线x＋ay－1＝0是圆：2＋y2－4－2＋1＝0的对称轴，Cxxy则圆心C(2，1)知足直线方程x＋ay－1＝0，所以2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以A点坐标为(－4，－1).进而|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.即|AB|＝6.答案6三、解答题9.已知圆C经过点(2，－1)，和直线＋＝1相切，且圆心在直线y＝－2上.Axyx求圆C的方程；已知直线l经过原点，而且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.13解(1)设圆心的坐标为(，－2)，Caa则（a－2）2＋（－2a＋1）2＝|a－2a－1|.2化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.所以C点坐标为(1，－2)，半径r＝|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝2.故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，知足条件.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，|k＋2|3由题意得1＋k2＝1，解得k＝－4，3则直线l的方程为y＝－4x.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；→→(2)若OM·ON＝12，此中O为坐标原点，求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以|2k－3＋1|<1.1＋k2解得4－7<k<4＋7.3314所以k的取值范围为4－7，4＋7.33(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.12＝4（1＋k）127所以x＋x1＋k2，xx＝1＋k2.→→x＋yy1212(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k（1＋k）＋8.1＋k24k（1＋k）由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.能力提高题组(建议用时：20分钟)11.(2019·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20订交于A，B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是( )A.3B.4C.23D.8分析连结1，2，因为⊙1与⊙2在点处的切线相互垂直，所以1⊥2，所以|122OOAOOOAOAOAOA2225＝|O1A|＋|O2A|，即m＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝5，∴在Rt△中，||＝||·sin∠AOO＝2×＝2，∴||＝2||＝4.515答案B12.(2018·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为( )A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0分析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立得方程组x＝0，x＝0，x＝0，∴|AB|＝23，切合题意.当直线解得或x2＋y2－2x－2y－2＝0，y＝1－3y＝1＋3，的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝|k－1＋3|＝|k＋2||AB|2，∵d2＋＝r2，k2＋1k2＋12（k＋2）233∴k2＋1＋3＝4，解得k＝－4，∴直线l的方程为y＝－4x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.答案B13.(2019·上海崇明区模拟)直线ax＋by＋c＝0与圆C：