(新课标)高考数学第三章三角函数解三角形37正弦定理和余弦定理课时规范练文(含解析)新人教A版

3-7正弦定理和余弦定理课时规范练A组基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，2cosA＝3，则b＝(D)A.2B.3C．2D.32．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(D)A．10B.9C．8D.513．钝角三角形ABC的面积是2，AB＝1，BC＝2，则AC＝(B)A．5B.5C．2D.11分析：∵钝角三角形ABC的面积是2，AB＝c＝1，BC＝a＝2，112∴S＝2acsinB＝2，即sinB＝2，当B为钝角时，cos＝－1－sin2＝－2，BB2利用余弦定理得2＝2＋2－2··cos＝1＋2＋2＝5，即＝5，ACABBCABBCBAC22当B为锐角时，cosB＝1－sinB＝2，利用余弦定理得222B＝1＋2－2＝1，即AC＝1，AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos222此时AB＋AC＝BC，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC＝5.应选B.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为

a，b，c.若△ABC为锐角三角形，

且知足

sin

B(1＋2cos

C)＝2sin

Acos

C＋cos

Asin

C，则以下等式建立的是

(

A)A．a＝2b

B.b＝2aC．A＝2B

D.B＝2A5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，且

bsin

A＝

3acos

B，则

B＝(

C)π

πA.

6

B.

4ππC.3D.26．(2018·衡阳联考)已知△的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2ABC倍，则最小内角的余弦值是(B)23A.3B.45D.7C.106分析：设三边长挨次是x－1，x，x＋1，此中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，x－1x＋1A＝2sinx＋1由正弦定理，有sinA＝sin2AcosA，∴cosA＝x＋1，x－由余弦定理，有cosA＝x2＋x＋2－x－2，2xx＋x＋1x2＋x＋2－x－2x＋1x2＋4xx＋4∴x－＝2xx＋，即x－1＝x2＋x＝x＋1，整理得(x＋1)2＝(x－1)(x＋4)，解得x＝5，三边长为4,5,6，52＋62－423则cosA＝2×5×6＝4.7．(2018·西安模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccos＝sin，且sin2＝sin2，则△的形状为(D)BaABCABCA．等腰三角形B.锐角三角形C．直角三角形D.等腰直角三角形分析：由于bcos＋cos＝sin，CcBaA因此由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，因此sin(B＋C)＝sin2A，因此sin＝sin2.AA由于0<A<π，因此sinA≠0，因此sinA＝1.因此A＝π.2由于sin2B＝sin2C，因此由正弦定理得b2＝c2.由于>0，>0，bc因此b＝c.因此△ABC是等腰直角三角形．综上所述，应选D.8．(2016·高考北京卷)在△中，∠＝2π，＝3c，则b＝__1__.c39．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数挨次是__45°，30°，105°__.10．在△ABC中，A＝30°，AB＝4，知足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为__(2,4)__．分析：由正弦定理可得BC＝AB，sinAsinCAB·sinA2∴BC＝sinC＝sinC，∵△ABC有两个解，30°＜C＜150°，且C≠90°，12＜sinC＜1，∴＝2∈(2,4)．BCsinC11．已知△，＝＝4，＝2.点D为AB延伸线上一点，＝2，连结，则△ABCABACBCBDCDBDC的面积是15，cos∠BDC＝10.24分析：如图，取BC中点E，DC中点F，由题意知AE⊥BC，BF⊥CD.在Rt△ABE中，cos∠ABE＝BE1＝，AB41115∴cos∠DBC＝－4，sin∠DBC＝1－16＝4.115∴S△BCD＝2×BD×BC×sin∠DBC＝2.21为锐角，∴sin∠10∵cos∠＝1－2sin∠＝－，且∠＝.DBCDBF4DBFDBF410在Rt△BDF中，cos∠BDF＝sin∠DBF＝4.1510综上可得，△BCD的面积是2，cos∠BDC＝4.12．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.求C和BD；求四边形ABCD的面积．分析：(1)由题设及余弦定理得222BD＝BC＋CD－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①222BD＝AB＋DA－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②1由①②得cosC＝2，故C＝60°，BD＝7.四边形ABCD的面积11S＝2AB·DAsinA＋2BC·CDsinC112×1×2＋2×3×2sin60°23.13．△ABC中，D是BC上的点，AD均分∠BAC，BD＝2DC.sinB(1)求sinC；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.分析：(1)由正弦定理，得ADBDADDC＝，＝.sinBsin∠BADsinCsin∠CAD由于AD均分∠BAC，BD＝2DC，因此sinBDC1.sin＝＝CBD2由于∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，1因此sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝2cosB＋2sinB.3由(1)知2sinB＝sinC，因此tanB＝3，即∠B＝30°.B组能力提高练1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(A)77A.25B.－25724C．±25D.25sinC分析：由C＝2B，得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c，得cosB＝2sinBc4＝＝，2b52427因此cosC＝cos2B＝2cosB－1＝2×5－1＝25.应选A.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝3bc，且b＝3a，则以下关系必定不建立的是(B)A．a＝cB.b＝cC．2a＝cD.a2＋b2＝c2分析：由余弦定理，得cosb2＋c2－a23bc3＝30°.又b＝3，由正弦定＝＝＝，则A2bc2bc2Aa理得sinB＝3sinA＝3sin30°＝3，因此B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为2直角三角形，且2a＝c，可知C，D建立；当B＝120°时，C＝30°，因此A＝C，即a＝c，可知A建立，应选B.3．在△中，角，，的对边分别为a，，.若知足c＝2，cos＝sinA的△ABCABCABCbcaCc有两个，则边长BC的取值范围是(D)A．(1，2)B.(1，3)C．(3，2)D.(2，2)分析：由于acosC＝csinA，由正弦定理得sinAcosC＝sinCsinA，易知sinA≠0，故tan＝1，因此＝π.过点B作边上的高(图略)，垂足为，则＝2，要使满CC4ACBDDBD2BC2足条件的△ABC有两个，则BC>2>2BC，解得2<BC<2.应选D.4．在△中，已知2cos＝，sinsin·(2－cos)＝sin2C＋1，则△为(D)ABCaBcABC22ABCA．等边三角形B.钝角三角形C．锐角非等边三角形D.等腰直角三角形分析：由2acos2＋c2－2B＝c?2a·ab＝c?a2＝b2，2ac因此a＝b.由于sinAsinB(2－cosC)＝sin2C12＋2，因此2sinsin(2－cos)－2＋1－2sin2C＝0，因此2sinsin(2－cos)－2＋cosCABC2ABC＝0，因此(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，121π由于cosC≠2，因此sinAsinB＝2，由于a＝b，因此sinA＝2，因此A＝B＝4，因此Cπ＝，因此△ABC是等腰直角三角形，应选D.5．已知

a，b，c

分别为△

ABC三个内角

A，B，C的对边，

a＝2，且(2＋b)(sin

A－sin

B)＝(c－b)sin

C，则△ABC面积的最大值为

3.分析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2b2＋c2－a21π222＝bc，因此cosA＝2bc＝2，又A∈(0，π)，因此A＝3，又b＋c－a＝bc≥2bc－1134，当且仅当b＝c＝2时，等号建立，即bc≤4，故S△ABC＝2bcsinA≤2×4×2＝3，则△ABC面积的最大值为3.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝π.3分析：由正弦定理可得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB?cosB＝1?＝π.2B37．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－3acosB＝0，且2a＋cb＝ac，则的值为__2__.分析：由题意及正弦定理得sinBsinA－3sinAcosB＝0，由于sinA≠0，因此sinB3cosB＝0，因此tanB＝3，又0<B<π，因此B＝π3.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos2222222a＋cB＝a＋c－ac，即b＝(a＋c)－3ac，又b＝ac，因此4b＝(a＋c)，解得b＝2.32228．(2018·高考北京卷)若△ABC的面积为4(a＋c－b)，且∠C为钝角，则∠B＝__60°__；ca的取值范围是__(2，＋∞)__．分析：∵△ABC＝3(a2＋c2－b2)＝1sin，S42acBa2＋c2－b2sinB∴2ac＝3，sinBsinBπ即cosB＝3，∴cosB＝3，∠B＝3，2π31csinCsin3－A2cosA－－2·sinA311则＝sin＝sinA＝＝·tan＋，aAsinA2A2∴∠C为钝角，∠＝π，∴0<∠<π，B3A631A∈(3，＋∞)，∴tanA∈0，3，tanc故a∈(2，＋∞)．9．在△中，内角，，C所对的边分别为a，，，已知cos2＋cos＝1－coscos.ABCABbcBBAC求证：a，b，c成等比数列；若b＝2，求△ABC的面积的最大值．分析：(1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，∴－sin

2B－(cos

Acos

C－sin

Asin

C)＝－cos

Acos

C，化简，得

sin

2B＝sin

Asin

C.由正弦定理，得

b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．由(1)及题设条件，得ac＝4.a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1则cosB＝2ac＝≥2ac＝，2ac2当且仅当＝c时，等号建立．a2123∵0<B<π，∴sinB＝1－cosB≤1－2＝2，113∴S△＝2acsinB≤2×4×2ABC即△的面积的最大值为3.ABC10．(2018·海口调研)在△中，角，，C的对边分别是a，，，已知(－3)cosCABCABbcab＝c(3cosB－cosA