四面体外接球的球心、半径求法2218

创作时间：二零二一年六月三十日四面体外接球的球心、半径求法之吉白夕凡创作创作时间：二零二一年六月三十日在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点,对学生来说这是一个难点情况下无从下手题.,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的,不知道球心在什么位置,半径是几多而无法解本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径年夜小的问题.呈现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体.一、【原理】：长方体中从一个极点动身的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为la2bc2,几何体的外接球直径2R为体对角线2a2b2c2长l即R2【例题】：在四面体中,共极点的三条棱两两垂直,其长度ABCD分别为1，6,3,若该四面体的四个极点在一个球面上,求这个球的概况积.解：D因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长E即：4R2AB2AC2AD2AC4R21232616所以R22B球的概况积为S4R216二、呈现两个垂直关系,利用直角三角形结论.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日【原理】：直角三角形斜边中线即是斜边一半.球心为直角三角形斜边中点.【例题】：已知三棱锥的四个极点都在球的球面上,ABBCO且,,,,求球的体积.PA7PB5PC51AC10O解：且,ABBC,,,PA7PB5PC51AC10因为所以知PCPA2275110222AC2所以所以可得图形为：PAPCP在RtABC中斜边为AC在中斜边为ACRtPACB取斜边的中点O,在中RtABCOAOBOCACO在中RtPACOPOBOC所以在几何体中OPOBOCOA,即为该四面体的外接球的球O心4所以该外接球的体积为500VR333【总结】斜边一般为四面体中除直角极点以外的两个点连线.呈现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求三、解【例题】：已知在三棱锥ABCD中,,,AD面ABCBAC120zABADAC2,求该棱锥的外接球半径.D解：由已知建立空间直角坐标系由平面知识得ACy创作时间：二零二一年六月三十日xBAOBOCODOyzxy(z2)222222223解得x1yz13R1（3）212213所以半径为23【结论】：空间两点间距离公式：PQ(xx)2(yy)2(zz)2121212四面体是正四面体四、处置球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点,但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊.解决这类题目时要认真分析图形,明确切点和接点的位置及球心的位置,画好截面图是关键,可使这类问题迎刃而解.一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的和内切球的半径是几多？运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,关系解之.解：如图1所示,设点是外接球分析：通过点、线、面内切球的球心,正四面O体棱长为a．由图形的对称性知,点O也是外接球的球心．设内切球半径为r,外接球半径为R．图13．S4a23a2表4133a2正四面体的体积VABCDa342AE12ABBE2223123a3133VABCD6a,rSrV表12ABCDSa2表236R4在RtBEO中,BO2BE2EO,即,得a,得2R2ar23R3r【点评】由于正四面体自己的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为h(h为正四面体的高),且外接球的半径3h,从而可以通过44截面图中建立棱长与半径之间的关系.RtOBE例2．设棱锥MABCD的底面是正方形,且MAMD,MAAB,如果的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最年夜球的半径.AMD解：ABAD,ABMA,AB平面MAD,由此,面面.记是的中点,MADACEAD从而MEAD.ME平面AC,MEEF设球是与平面、平面、平面都相切AC图2OMADMBC的球.如图2,得截面图及内切圆OMEF无妨设平面,于是是的内心.OMEFOMEF2SMEF设球的半径为,则Or,设rEFEMMFADEFa,S1.AMDEM2,MFa2r22a2221222,aa2a222aa2当且仅当,即时,等号成立.aa2a∴那时,满足条件的球最年夜半径为21.ADME2练习：一个正四面体内切球的概况积为3,求正四面体的棱长.（谜底为：2）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键.二、球与棱柱的组合体问题1．正方体的内切球：图3图4图5球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心.设正方体的棱长为a,球半径为R.如图3,截面图为正方形EFGH的内切圆,得Ra；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切,切2．点为各棱的中点,如图4作截面图,圆O为正方形EFGH的外接圆,2易得Ra.23．正方体的外接球：正方体的八个极点都在球面上,如图5,以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易O3得a.1RAO2例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PAPBPCa解：由已知可得PA、PB、PC实际上,那么这个球的概况积是______.就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径,连结过点的C一条对角线CD,则CD过球心O,对角线23CD3aS4a3a22球表面积练习：一棱长为的2a框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积.3（谜底为6a32）V2a344．构造直三角形,巧解正正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一极点构成的直角三角形即可得球半径.棱柱与球的组合问题的六个极点在球上O1,又知球与此正三棱柱的5O2ABCABC111个面都相切,求球与球的体积之比与概况积之比.OO12分析：先画出过球心的截面图,求探半径之间的关系.解：如图6,由题意得两球心O、O是重合的,过正三棱柱的12一条侧棱AA和它们的球心作截面,设1图6创作时间：二零二一年六月三十日3正三棱柱底面边长为a,则a,正三棱柱的高为2R63,由中,得RtADO11h2R2a332aR323a5a2,R122a62331225aS:SR2:R25:1V:V55:1,R112121212练习：正四棱柱的各极点都在半径为的球面RABCDABCD1111上,求正四棱柱的正面积的最年夜值.