专题01集合与常用逻辑用语（考点通关）（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语考点通关【题型解读】【必备知识】1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常用数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B(1)空集φ：任何集合的子集(2)子集个数结论：①含有n个元素的集合有2n个子集；②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．3．集合间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为，全集通常用字母表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝A∩B＝∁UA＝(1)．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A(2)．奇数集：.(3).德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即∁​②交集的补集等于补集的并集，即∁​4、充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p5、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．6．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．7．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)【题型精讲】【题型一集合的概念】例1（2022·安徽·亳州高一期中）下列说法正确的是（）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的正整数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素【答案】BC【分析】根据集合的元素的特征逐一判断即可.【详解】我校爱好足球的同学不能组成一个集合；是不大于3的正整数组成的集合；集合和表示同一集合；由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有6个元素；故选：BC例2（2022·上海市进才高一期末）已知集合，且，则实数的值为________．【答案】或0【解析】若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0.【跟踪精练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列关于集合的说法正确的有（）①很小的整数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据集合的定义判断．【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．故选：A．2．（2022·江苏高邮·高一期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．【答案】【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得；【详解】因为集合，且所以或（1）当时，此时，符合题意.（2）当时，解得或当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当时，符合题意.综上可知实数的值构成的集合为故答案为：【题型二集合间的关系】例3（2022·浙江高一单元测试）已知集合，，则集合A，B之间的关系为________．【答案】A=B【解析】对于集合A，k=2n时，，当k=2n-1时，即集合A=,由B=可知A=B，故填：A=B.例4（2022·河南信阳高中高一期末）已知集合，，A⊆M⫋B，则满足条件的集合的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】，，A⊆M⫋满足条件的集合M有：，共15个.故选：C例5（2022·辉县市第二高级高一月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】根据题意得：当时，，即.当时，，解得.综上，.故答案为：.例6（2022·济南月考）设集合，，若，求实数a的值．【答案】a≤－1或a＝1.【解析】∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得解得a＝1.(2)当时，又可分为两种情况．①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.【跟踪精练】1．（2022·全国高三专题练习）若集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，时，取得所有奇数，，时，取得整数因此．故选：B．2.（2022·江苏省天一期中）设，则集合，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得，∵，∴仅当时符合题意，故.故选：C.3.（2022·上海高一期末）已知，，若，求实数的值.【答案】或【解析】，或或或；若，无解；若，无解；若，；若，；综上：或.【题型三集合的基本运算】例7（2022·六盘水市第二高一期中）设，集合，，则∁UA∩B=(A． B． C． D．【答案】B【解析】∵U=R，集合A={x∈R|}={x∈R|x＜1或x＞2}=（﹣∞，1）∪（2，+∞），∴∁UA=[1，2]；集合B={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），∴（∁UA）∩B=[1，2）．故选：B．例8（2022·黑龙江大庆实验高一月考）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，当时，，解得，符合题意；当时，或，解得或，综上所述，实数a的取值范围是.故选：B例9（2022·安徽省桐城高一月考）已知集合，.（1）若∁UA∪（2）若A∩B≠【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴∁UA=x|x<0或若∁U则3-2a≥aa⩽0（2）若，则.当时，则得当时，若则，得，综上故a的取值范围为，故A∩B≠B【跟踪精练】1．（多选）（2021·山东济宁.高一月考）已知集合，则()A． B．C． D．【答案】AD【解析】由解得，故,.故选AD.2.（2022·山西太原高一月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]【答案】B【解析】∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，又因为A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2].故选：B.3.（2022·浙江高一课时练习）设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若全集，A∩∁ U【答案】（1）或（2）（3）【解析】（1）由得，因为，所以，所以，整理得，解得或．当时，，满足；当时，，满足；故的值为或．（2）由题意，知．由，得．当集合时，关于的方程没有实数根，所以，即，解得．当集合时，若集合中只有一个元素，则，整理得，解得，此时，符合题意；若集合中有两个元素，则，所以，无解．综上，可知实数的取值范围为．（3）由A∩∁ 所以，所以．综上，实数的取值范围为．故得解.【题型四充分必要条件】例10（2022届山东省烟台市高考诊断性测试）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，解得，，解得或，“”成立，则“或”成立，而“或”成立，“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A例11（2022·浙江温州市高一期中）已知p：实数x满足a<x<4a(其中a>0)q：实数x满足2<x<5.（1）若，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）2<x<4；（2）54【解析】（1）当时，p：实数x满足1<x<4，又q：实数x满足2<x<5，因为p与q都为真命题，所以1<x<42<x<5，解得2<x<4，即x（2）记A=x|a<x<4a,a>0，B=x|2<x<5，因为p是q所以a⩽所以实数a的取值范围是a|5例12（2022·四川宜宾市高一期中）．已知，求证：的充要条件是．【答案】见解析【解析】（1）证明必要性：因为，所以．所以．（2）证明充分性：因为，即，又，所以且．因为，所以，即．综上可得当时，的充要条件是．【跟踪精练】1．（2022·山东济南高一期中）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，即，则是的充分不必要条件，故选：A.2.（2022·河南焦作市高一期中）在①A∪B＝B；②“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（Ⅱ）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}．（Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；（Ⅱ）若_______，求实数a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}；（Ⅱ）若选择①A∪B＝B，则A⊆B，因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，所以A≠∅，又B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以a-1≥-1a+1≤3，解得0≤a≤2所以实数a的取值范围是[0，2]．若选择②，“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B，因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，所以A≠∅，又B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以a-1≥-1a+1≤3，解得0≤a≤2所以实数a的取值范围是[0，2]．若选择③，A∩B＝∅，因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以a﹣1＞3或a+1＜﹣1，解得a＞4或a＜﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．3.（2022·浙江高一月考）设a,b,c∈R证明:a2+b【答案】见解析【解析】证明:(1)充分性:如果a=b=c,那么(a-∴a(2)必要性:如果a2那么a2∴(a-b)2+(b-c由(1)(2)知,a2+b【题型五全称量词和存在量词】例13（2022·河南焦作市高一期中）下列命题的否定为假命题的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】对A，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由得，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错误；对B，，，故B为假命题，其否定为真命题，故B错误；对C，，故C为假命题，其否定为真命题，故C错误；对D，存在或，使，故D为真命题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选：D.例14已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题当时，集合，符合当时，因为，所以，得对于恒成立所以，则综上，实数的取值范围为.【跟踪精练】1.（2022·全国高一课时练习）已知，，则为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因为，是全称量词命题，故为：，；故选：A．2.（2022