第四节幂级数

第四节幂级数第一页，共四十二页，2022年，8月28日（1）（2）对于每一个确定的代入（1）式得若（2）收敛，则称为函数项级数（1）的收敛点，若（2）发散，则称为函数项级数（1）的发散点，所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为散点的全体称为（1）的发散域，记为所有发常数项级数都收敛，其和记为第二页，共四十二页，2022年，8月28日（1）所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为散点的全体称为（1）的发散域，记为所有发常数项级数都收敛，其和记为即称s(x)为（1）的和函数，和函数的定义域即为I。两个基本问题：（1）如何确定（1）的收敛域？（2）如何在收敛域上求（1）的和函数？第三页，共四十二页，2022年，8月28日二、幂级数及收敛性（1）当（2）在变量代换的幂级数，时，上述幂级数成为下，（1）就化为（2）了形如的函数项级数称为第四页，共四十二页，2022年，8月28日（2）对于幂级数（2），（1）如何确定它的收敛域

I；（2）在收敛域内，如何求它的和函数

s(x)。主要有两个问题:第五页，共四十二页，2022年，8月28日考察幂级数这是公比为x的几何级数，（1）当|x|<1时，级数收敛，（2）当|x|1时，级数发散，（1）所以（1）的收敛域为（1）的发散域为在收敛域内，（1）的和函数为即（1）的收敛域是一个以原点为中心的对称区间。第六页，共四十二页，2022年，8月28日又例：解：将该幂级数看成参数为x的任意项常数级数，并用常数项级数收敛性判别法进行判别。结论：当|x|<1时，级数收敛，当|x|>1时发散当x=–1时，级数收敛。当x=1时级数发散。特点：除去端点–1外，收敛域I是以原点为中心的对称区间。收敛域为收敛域的上述特点对一般的幂级数也成立的。第七页，共四十二页，2022年，8月28日定理1（阿贝尔定理）：如果级数时收敛，时，反之，如果级数当则当幂级数绝对收敛当时发散，时，则当幂级数发散。定理1的几何解释：（1）幂级数的收敛点都集中在以原点为中心的左右两侧。（2）第八页，共四十二页，2022年，8月28日推论：如果级数使得（1）当|x|<R时，不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必有一个确定的正数R

绝对收敛，（2）当|x|>R时，发散，（3）当x=

R时，可能收敛，也可能发散第九页，共四十二页，2022年，8月28日称上述R为收敛区间的收敛半径，为收敛区间+收敛的端点规定：仅在x=0处收敛，则（2）若在整个数轴上收敛，则=收敛域（1）若问题：如何求的收敛半径？第十页，共四十二页，2022年，8月28日定理2：考虑幂级数如果其中，是级数相邻两项的系数，则第十一页，共四十二页，2022年，8月28日求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R

处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。及收敛区间第十二页，共四十二页，2022年，8月28日例1：当x=–1时，当x=1时，交错级数且收敛，所以，所求收敛域为：发散解：第十三页，共四十二页，2022年，8月28日例2：求幂级数的收敛域解：第十四页，共四十二页，2022年，8月28日例3：求幂级数的收敛域解：t=–1，交错级数且收敛，t=1，调和级数且发散第十五页，共四十二页，2022年，8月28日例4：求幂级数的收敛域解：当x=2时，原级数成为发散，故×理由：原级数中缺少偶数次幂的项：所以R=2，实际上第十六页，共四十二页，2022年，8月28日解：因原级数为缺项级数，定理2不能直接应用。此时要用任意常数项级数的比值判别法来求例4：求幂级数的收敛域当即当即时，级数收敛时，时，发散，时，第十七页，共四十二页，2022年，8月28日解：例4：求幂级数的收敛域当即当即时，级数收敛时，时，发散，时，当发散所以原级数的收敛域为时，原级数成为第十八页，共四十二页，2022年，8月28日解：例5：求幂级数的收敛域幂级数缺少奇次幂的项，所以原级数的收敛域为原级数成为也可先作变量替换：可按例4的方法处理这是关于t的幂级数，且没有缺项可直接用定理2求收敛半径和收敛域：第十九页，共四十二页，2022年，8月28日三、幂级数的运算及性质（一）幂级数的运算收敛半径收敛半径（1）加法第二十页，共四十二页，2022年，8月28日（2）乘法收敛半径收敛半径第二十一页，共四十二页，2022年，8月28日（3）除法收敛半径收敛半径其中系数可通过下面等式来确定相除后的幂级数，其收敛区间可能比原级数小的多。第二十二页，共四十二页，2022年，8月28日（二）幂级数性质性质1：如果两个幂级数的收敛半径分别为则有且收敛半径R满足：第二十三页，共四十二页，2022年，8月28日性质2：幂级数的和函数s(x)在收敛域I上连续；例如：收敛域为：故其和函数s(x)在上连续第二十四页，共四十二页，2022年，8月28日性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数s(x)在收敛域I上可积，并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。第二十五页，共四十二页，2022年，8月28日并求常数项级数解：级数成为发散所以收敛域为例1：求的收敛域及和函数，的和。设幂级数在I上的和函数为s(x),则第二十六页，共四十二页，2022年，8月28日例1：求并求常数项级数解：的收敛域及和函数，的和。第二十七页，共四十二页，2022年，8月28日例1：求并求常数项级数解：的收敛域及和函数，的和。第二十八页，共四十二页，2022年，8月28日例1：求并求常数项级数解：的收敛域及和函数，的和。第二十九页，共四十二页，2022年，8月28日性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数s(x)在收敛区间内可导，并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。第三十页，共四十二页，2022年，8月28日例2：求的和函数解：必须先求出收敛域：设在收敛域I上，和函数为s(x),则第三十一页，共四十二页，2022年，8月28日例2：求的和函数解：必须先求出收敛域：设在收敛域I上，和函数为s(x),则第三十二页，共四十二页，2022年，8月28日解：必须先求出收敛域：设在收敛域I上，和函数为s(x),则例3：求的和函数，并求的和第三十三页，共四十二页，2022年，8月28日例3：求的和函数，解：必须先求出收敛域：并求的和第三十四页，共四十二页，2022年，8月28日例3：求的和函数，解：必须先求出收敛域：并求的和取第三十五页，共四十二页，2022年，8月28日习题114:1(1,2,8),3(1,3)

第十一章第四节:作业第三十六页，共四十二页，2022年，8月28日例5：求的收敛区间及和函数解：（1）先求级数的收敛区间I

当x=1时，一般项不趋于0，级数发散，第三十七页，共四十二页，2022年，8月28日对每一个级数的前n项部分和为（2）在收敛区间内求级数的和函数例5：求的收敛区间及和函数解：（1）第三十八页，共四十二页，2022年，8月28日例5：求的收敛区间及和函数解：（1）先求级数的收敛区间I

当x=1时，一般项不趋于0，级数发散，第三十九页，共四十二页，2022年，8月28日对每一个级数的前n项部分和为（2）在收敛区间内求