2021-2022学年湖南省常德市大湖口中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省常德市大湖口中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，给出下列四个命题，其中正确的命题为

（

）①若②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称；⑤当时，的值域为

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④参考答案：D2.设全集，集合{或}，，则

A．B．

C．

D．参考答案：B略3.下列函数既是奇函数，又在区间(-1，1)内是减函数的是(

)．

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B4.在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.5.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．3π B． C． D．4π参考答案：B【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径r=2、高是2，圆柱的底面圆的半径r=2、高是1，所以此几何体的体积V==，故选B．6.设向量，，若，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：D7.已知平面区域在区域内随机选取一点M，且点恰好在区域上的概率为，若，则的取值范围为（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B【知识点】几何概型．解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合D1所表示的平面区域是三角形与D2所表示的平面区域是阴影部分的三角形（如图），由图可知D1=，由于，则0＜D2≤2．由于直线恒过点（0，2），则的斜率k＞0的取值范围是：（0，1]．故选B【思路点拨】找出D1、D2对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．在解题过程中，注意三角形面积的应用．8.执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（

）A．9

B．10

C.11

D．12参考答案：C执行程序框图过程如下：第一次循环，是；第二次循环，是；第三次循环，是；…第九次循环,是；第十次循环，否，结束循环.输出，故选C.

9.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（）参考答案：A.解析：考虑在y轴上的截距应为的两倍.10.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

A．

B.

C．

D．参考答案：【知识点】奇偶性与单调性的综合．B3B4

【答案解析】C解析：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选C．【思路点拨】根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________.参考答案：2【分析】根据均值不等式得到，再计算得到答案.【详解】，当且时等号成立，即时等号成立.，实数的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力.12.已知实数满足则的最大值为；参考答案：

13.如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=_________.参考答案：3014.已知函数则,则实数的值等于

. 参考答案：-3或115.不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为

。参考答案：由a2+8b2≥λb(a+b)得a2+8b2-λb(a+b)≥0变成a2-λba-(λ-8)b2≥0

则Δ=λ2+4(λ-8)=λ2+4λ-32<=0

(λ+8)(λ-4)<=0

所以λ∈[-8,4]。16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段AA1的中点，M是平面BB1D1D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，则点M在平面BB1D1D内形成的轨迹的面积等于

．参考答案：【考点】向量在几何中的应用．【专题】运动思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；（2）设点E在平面BB1D1D的射影为O，则EO=AC=，令ME=1，则△EMO是直角三角形，所以点M在平面BB1D1D上的轨迹为圆，有勾股定理求得OM=，即点M的轨迹半径为，代入圆面积公式即可求得面积．【解答】解：连接AC交BD于N，连接MN，MC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，连接EC，∴线段EC的长就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．过E作平面BB1D1D的垂线，垂足为O，则EO=AN=AC=，令EM=1，则M的轨迹是以O为圆心，以OM为半径的圆，∴OM==，∴S=π?（）2=．故答案为，【点评】本题考查了空间几何中的最值问题，找到MA与MC的相等关系是本题的关键．17.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD，则其侧视图的面积为______．参考答案：

解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距离为：侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为：．所以侧视图的面积为：．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本大题12分）

已知定义在上的奇函数，当时，.

（Ⅰ）当时，讨论在上的单调性；

（Ⅱ）若在上为单调递减函数，求的取值范围.参考答案：当时，

（1）递增；递减

（2）

19.如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB的大小．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD?AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）。曲线C2的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线C1交于点M，射线与曲线C2交于点N，求的面积（其中O为坐标原点）.参考答案：解：（1）由曲线：（为参数），消去参数得：化简极坐标方程为：曲线：（为参数）消去参数得：化简极坐标方程为：（2）联立即联立即故

21.在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当三点共线时，试确定直线的斜率.参考答案：（1）由题意知，直线的方程为，即，

……2分右焦点到直线的距离为，，

………4分又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，椭圆的方程为；

……………6分（2）由（1）知，，直线的方程为，

……………8分联立方程组，解得或（舍），即，…12分直线的斜率.

……………14分其他方法：方法二:由（1）知，，直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，所以,，当三点共线时有，，即，解得或，又由题意知，得或，所以.22.（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣