圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用(老师)知识分享

学习资料圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相， 题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题， 也有作为大题进行考查的。 本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用， 与大家交流。定理1已知点 是离心率为 的圆锥曲线 的焦点，过点 的弦 与 的焦点所在的轴的夹角为 ，且 。（1）当焦点 内分弦 时，有 ；（2）当焦点 外分弦 时（此时曲线为双曲线），有 。证明 设直线 是焦点 所对应的准线，点 在直线 上的射影分别为 ，点 在直线 上的射影为 。由圆锥曲线的统一定义得， ，又，所以 。（1） 当焦点 内分弦 时。如图 1， ，所以。各种学习资料，仅供学习与交流学习资料图1（2） 当焦点 外分弦 时（此时曲线为双曲线）。如图2， ，所以。图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ）各种学习资料，仅供学习与交流学习资料解这里 ，所以 ，又 ，代入公式得 ，所以 ，故选 。例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第 12题）已知椭圆 的离心率为 。过右焦点且斜率为 的直线于 相交于 两点，若 ，则（ ）解这里 ， ，设直线 的倾斜角为 ，代入公式得 ，所以，所以 ，故选 。例3（08高考江西卷理科第 15题）过抛物线 的焦点 作倾斜角为的直线，与抛物线交于 两点（点 在 轴左侧），则有 ＿＿＿＿图3各种学习资料，仅供学习与交流学习资料解如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时，设 ，又 ，代入公式得 ，解得 ，所以 。例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第 16题）已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ，且 ，则 的离心率为＿＿＿解设直线 与焦点所在的轴的夹角为 ，则 ，又 ，代入公式得 ，所以 。例5（自编题）已知双曲线 的离心率为 ，过左焦点且斜率为 的直线交 的两支于 两点。若 ，则 ＿＿＿解这里 ， ，因直线 与左右两支相交，故应选择公式 ，代入公式得 ，所以 所以 ，所以 。定理 2已知点 和直线 是离心率为 的圆锥曲线 的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为 。过点 的弦 与曲线 的焦点所在的轴的夹角为，则有 。各种学习资料，仅供学习与交流学习资料证明 设点 在准线 上的射影分别为 ，过点 作轴 的垂线交直线于点 ，交直线 于点 。由圆锥曲线的统一定义得， ，所以。图4（1）当焦点内分弦时。如图4，，。，所以较长焦半径 ，较短焦半径 。所以 。（2）当焦点 外分弦 时（此时曲线为双曲线）。各种学习资料，仅供学习与交流学习资料图5如图5， ， 。所以 ，所以较长焦半径 ，较短焦半径 。所以 。综合（1）（2）知，较长焦半径 ，较短焦半径 。焦点弦的弦长公式为 。特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距 就是径之半，较长焦半径，较短焦半径 ，焦点弦的弦长公式为 。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为 。各种学习资料，仅供学习与交流学习资料注由上可得，当焦点 内分弦 时，有 。当焦点 外分弦 时，有 。例6（2009年高考福建卷理科第 13题）过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 两点，若线段 的长为8，则 ＿＿＿解由抛物线焦点弦的弦长公式为 得， ，解得 。例（72010年高考辽宁卷理科第 20题）已知椭圆 的右焦点为 ，经过 且倾斜角为 的直线 与椭圆相交于不同两点 ，已知 。（1）求椭圆的离心率；（ 2）若 ，求椭圆方程。解（1）这里 ， ，由定理 1的公式得 ，解得 。（2）将 ，代入焦点弦的弦长公式得， ，解得 ，即 ，所以 ①，又 ，设 ，代入①得 ，所以 ，所以 ，故所求椭圆方程为 。各种学习资料，仅供学习与交流学习资料例8（2007年重庆卷第 16题）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为＿＿＿解 易知 均在右支上，因为 ，离心率 ，点准距，因倾斜角为 ，所以 。由焦半径公式得，。例9（由2007年重庆卷第 16题改编）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为的直线，交双曲线于 两点，则 的值为＿＿＿解因为 ，离心率 ，点准距 ，因倾斜角为 ，所以 。注意到 分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得， 。例10（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 。求四边形面积的最小值。各种学习