高考数学重点难点01集合思想及应用

高中数学难点1集合思想及应用

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和

理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观

点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.

・难点磁场

(★★★★★)已知集合4={(》,)，)1_』+"?》一y+2=0},8={(x,y)Lr—y+l=O,且0<xW2},如果4Pl

BW0,求实数机的取值范围.

・案例探究

［例1］设A={(x,y)l)F—x—1=0},8={(》,),)|4*2+2%—2y+5=0},C={(x,y)ly=kx+b),是否存在k、

人GN,使得(AU8)CC=0,证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨

出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(AUB)CC=0转化为4CC=0且8CC=0,这

样难度就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内

涵，因而可能感觉无从下手.

技巧与方法：由集合4与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行

限制，可得到氏k的范围，又因从AdN,进而可得值.

解：V(AUB)AC=0,...Anc=0月一BCC=0

)x+l.,.Zr2x2+(2W—l).r+/?2—1=0

y=kx+b

'：AQC=0

/产(2尿一if一4炉(/-l)<0

.•.4然一4尿+1<0,此不等式有解，其充要条件是16/一16>0,即d>1①

..4x~+2.x—2y+5=0

•V

y=kx+b

：.4丁+(2—2如+(5+26)=0

2

'：Bnc=0,：.zl2=(l-jt)-4(5-2/?)<0

.•.后一2狂86—19<0,从而勖<20,即b<2.5②

由①②及beN,得b=2代入由/i<0和42<。组成的不等式组，得

4k2一班+1<0,

k2-2k-3<0

,k=1,故存在自然数&=1力=2,使得(AUB)nC=0.

［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成4的人数是全体

的五分之三，其余的不赞成，赞成8的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B

都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和

都不赞成的学生各有多少人？

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考

生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综夏杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.

解：赞成A的人数为50义：=30,赞成8的人数为30+3=33,如上图，记50名学生组

成的集合为U,赞成事件4的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合8

设对事件力、B都赞成的学生人数为x,则对A、8都不赞成的学生人数为2+1,赞成A而

3

不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-%.

Y

依题意(30—x)+(33—x)+x+(-+l)=50,解得x=21.

3

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

•锦囊妙计

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用

描述法给出的集合{xlxGP},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重

视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

2.注意空集。的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，

如AU8,则有4=0或470两种可能，此时应分类讨论.

・歼灭难点训练

一、选择题

kxTTK7T7E

1.(★★★★)集合M={x\x=-^-+—,k^Z],N=[x\x=—+—,k^Z]^K)

A.M=NB.M4NC.JWSVD.MGN=0

2.(****)已知集合A={xl—2WxW7},5={jd〃z+l<tv2m—1}且8W0,若AUB=A,则

()

A.-3WnzW4B.—3</w<4

C.2<m<4D.2</%W4

二、填空题

3.d*玄w已知集合4=3611欣2—3x+2=0,aGR},若A中元素至多有1个，则a的取

值范围是.

4.(★★★★)x>),GR4={(x,j)l^2+y2=1}.^={—-—=l,a>0力>0},当AHB只有一•个元

ab

素时，。力的关系式是.

三、解答题

22

§.(★★★★★)集合A={xl?—ax+a~19=0},B={xllog2(x-5x+8)=1},C={x\x+2x-8=0},

求当a取什么实数时，APl8云。和APlC=0同时成立.

6.(*****)已知{%}是等差数列，d为公差且不为0,田和d均为实数，它的前〃项

C1

和记作设集合4={(%,一^)1〃£1^},8={a,y)l—%2—y2=l,x,)?GR|-

n4

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

(2)An8至多有一个元素；

(3)当sWO时，一定有AClBWO.

7.(****)已知集合4={洲2—21・2,26(：},集合8={卬麻，=,",+人力61^},当4门8=8时,

2

求b的值.

8.('^'^**)设_/0)=，+0.计44={；1伙三/)»},8=*!/'EXr)]=x}.

(1)求证：AQB-,

(2)如果A={-1,3},求B.

参考答案

难点磁场

»：由卜2+如-），+2=。得入（吁1）用=0①

x-y+\=0（0<x<2）

\'AQB^0

...方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.

首先，由/=（m—if—4N0,得团》3或mW—1,当用23时，由X\+X2=~（m-1）<0及

X|X2=l>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当"?W—1时，由X[+X2=—（机-1）>0及X|X2=l>0知，方程①只有正根，且必有一根在区

间（0,1]内，从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.

故所求加的取值范围是mW—1.

歼灭难点训练

JT

—'、L解析:对M将4分成两类：k=2n或k=2n+1（nZ）,A/={x\x=n"+—,〃£Z}U{x[x=

4

n冗+任~，九£Z},对N将攵分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3（nZ）,N={x\x=n

42

WZ}U{xlt=n簿£Z}U[x\x=n"+不,〃£Z}U[x\x=nn+簿£Z}.

44

答案：C

2.解析：VAUB=A,:・Buk,又B不0,

/w+1>-2

即2VmW4.

m+\<2m-1

答案：D

9

二、3.30或。2-

8

4.解析：由AA8只有1个交点知，圆f+y2=l与直线/一上=1相切，则1=--^—,

ab正+「

即ab—>]a2+b2.

答案：ab-yja2+b2

三、5.解：Iog2（x2-5x+8）=l,由此得—5X+8=2,；.8={2,3}.由f+2x-8=0,：.C=[2,~

4},又ACC=0,...2和-4都不是关于龙的方程/-5+/-19=0的解，而4nBM0,即4

CBW0,

/.3是关于尤的方程f—〃19=0的解，可得a=5或〃=—2.

当4=5时，得4={2,3）,：.AQC={2},这与AAC=0不符合，所以〃=5（舍去）；当e

—20寸，可以求得4={3,—5},符合4cle=0,4n3茎0,/.a=~2.

6.解：（1）正确.在等差数列{6}中，5“=〃（'+%）,则&=_L⑷+斯），这表明点（瓯&）

2n2n

的坐标适合方程)=L(ix+〃D,于是点3〃，、s)均在直1线1上.

2n22

11

y=—x+—a[

(2)正确.设(x,y)G4C8,则(x,y)中的坐标应是方程组.22的解，由方程组消

1221

—X-V=I

14

去y得：2〃]尤+4/=-4("),当“1=0时，方程(*)无解，此时4rl8=0；当勾W0时，方程(*)

-4-«j2

y=^—

—4—〃2

只有一个解「，此时,方程组也只有一解1.1，故上述方程组至多有一解.

2ala-4

y=-^1—

町

/.AQB至多有一个元素.

c

(3)不正确.取a尸3=1,对一切的有〃〃=〃]+(〃-l)d=〃>0,i>0,这时集合A中的

n

元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于。尸1#0.如果AA8W0,那么据(2)

的结论’中至多有一个元素侬。)’而所三产=-|<°,疗弩=卜。,这样

的(即,如)2A,产生矛盾，故4尸1,“1时AG8=0,所以〃|W0时，一定有AC8W0是不正

确的.

r女力।1.,ZR2w-2b

7.解：