高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第六讲导数应用(二)能力训练理

第六讲导数的应用（二）11．(2018·山西八校联考)已知函数f(x)＝x－1－alnx(a∈R)，g(x)＝x.当a＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若a<0，且对随意x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，务实数的取值范围．分析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x－1＋2lnx，′( )＝1＋2，(1)＝0，切线的斜率k＝f′(1)＝3，fxxf故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－3＝0.a(2)对x∈(0,1]，当a<0时，f′(x)＝1－x>0，∴f(x)在(0,1]上单一递加，易知g(x)1＝x在(0,1]上单一递减，不如设x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，f(x1)<f(x2)，g(x1)>g(x2)，f(x2)－f(x1)<4×[g(x1)－g(x2)]，即f(x1)＋4>f(x2)＋4.1x24令h(x)＝f(x)＋x，则当x1<x2时，有h(x1)>h(x2)，∴h(x)在(0,1]上单一递减，a4x2－ax－4∴h′(x)＝1－x－x2＝x2≤0在(0,1]上恒建立，24∴x－ax－4≤0在(0,1]上恒建立，等价于a≥x－x在(0,1]上恒建立，4max∴只要a≥(x－x).4∵y＝x－x在(0,1]上单一递加，∴ymax＝－3，∴－3≤a<0，故实数a的取值范围为[－3,0)．1－x2.(2018·兰州诊疗)已知函数f(x)＝ax＋lnx在(1，＋∞)上是增函数，且a>0.(1)求a的取值范围；1＋ba(2)若b>0，试证明a＋b<lnb<b.1ax－1分析：(1)f′(x)＝－ax2＋x＝ax2，由于在(1，＋∞)上f′(x)≥0，且a>0，1因此ax－1≥0，即x≥1a，1因此a≤1，即a≥1.故a的取值范围为[1，＋∞)．a＋b证明：由于b>0，a≥1，因此b>1，1－xx在(1，＋∞)上是增函数，又f(x)＝＋lnaxa＋b因此fa＋b，即1－b＋lna＋bb>f(l)＋>0，abba·ba＋b化简得a＋b<lnb，a＋baa＋baaalnb<b等价于lnb－b＝ln1＋b－b<0，令g(x)＝ln(1＋x)－x(x∈(0，＋∞))，－x则g′(x)＝1＋x－1＝1＋x<0，因此函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，aaaa＋baa＋ba因此gb＝ln1＋b－b＝lnb－b<g(0)＝0，即lnb<b.a＋ba综上，a＋b<lnb<b.3．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)(a∈R).(1)若＝1，求函数f(x)的图象在点(1，(1))处的切线方程；af1(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：f(x2)>－.2分析：(1)由已知得，f(x)＝x(lnx－x)，当x＝1时，f(x)＝－1，′( )＝ln＋1－2x，当x＝1时，′( )＝－1，因此所求切线方程为y＋1＝－(xfxxfx1)，即x＋y＝0.证明：由已知条件可得f′(x)＝lnx＋1－2ax有两个不一样的零点，且两零点的左、右双侧邻近的函数值符号相反，1令f′(x)＝h(x),则h′(x)＝x－2a(x>0)，若a≤0，则h′(x)>0，h(x)单一递加，f′(x)不行能有两个零点；若a>0，2令h′(x)＝1，可知h(x)在(0，11，＋∞)上单一递减，0得x＝22)上单一递加，在(2aaa11令f′( )>0，解得0<a<，2a21112a此时<，f′( )＝－<0，e2aee1>11)＝－2ln2，f′(a＋1－<0，22a2aaa1因此当0<a<2时，函数f(x)有两个极值点x1，x2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(0，x)x1(x，x)x2(x，＋∞)1122′( )－0＋0－fxf(x)f(x1)f(x2)由于f′(1)＝1－2a>0，因此0<<1<，(x)在[1，x]上单一递加，122因此f2124．(2018·南宁二中、柳州一中联考)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.议论f(x)的单一性；x1＋x2(2)设f(x)的两个零点分别是x1，x2，求证：f′(2)<0.分析：(1)函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x的定义域为(0，＋∞)，′( )＝1－2＋(2－)＝－ax－12x＋1，fxxaxax①当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单一递加；②当>0时，若x1f′( )>0，若∈(1f′( )<0，则f(x)在∈(0，)，则，＋∞)，则aaxxax11(0，a)上单一递加，在(a，＋∞)上单一递减．11(2)证明：由(1)易知a>0，且f(x)在(0，a)上单一递加，在(a，＋∞)上单一递减，不1妨设0<x1<a<x2，1＋2x1＋x212x1＋22>?x1＋)<0，只要证x1＋x2>即可．f′(2)<0?2x2>，故要证f′(2aaa结构函数()＝(x)－(2)，1－∈(0，)，Fxffaxxa3222axax－2＋2F′(x)＝f′(x)－[f(a－x)]′＝f′(x)＋f′(a－x)＝x2－ax＝2ax－12，x2－ax12ax－121∵x∈(0，a)，∴F′(x)＝x2－ax>0，∴F(x)在(0，a)上单一递加，1121F(x)<F(a)＝f(a)－f(a－a)