2010年以前几代习题课若当形参

PAGEPAGE1Exercise1 σ3V的一个线性变换，它关于V的某个基的矩阵是 −3 −110−5σm(x)m(xR[x]内分解为两个首项系数为1的不可约多项式的乘积：m(x)=12；Wi={ξ∈V|mi(σ)ξ=0},i=12，证明：Wiσ间，并且WiVσ3个非零元素。σfA(λ)=(λ221)，从而可以知道

mA(x)=(x−+

1)x2,221∀α∈11σσ=σ1σ=0，即σα∈1间。下面来证2已知存在u(x),v(x)使得1)+v2)=1，即 Bezout不等σ1σ)+vσ2σ)=α=σ1σα+vσ2σ2σσ1σ=u(σ)m(σ)α=1σvσ2σ)=v(σ)m(σ)α=故有σ1σα∈vσ2σ1α1212VTT

2=εβ=σ1σβ+vσ2σβ=

W⊕ ={0}

−1 00+I=0，所001。0—1023 −1

，即σ

=3K2σ3σσ22=2 所以任取2 ∈2，令3=σ2 ∈2， 1取1 21

123001。00Exercise2σnV上的线性变换，试证明存在可对角化的线性变换τ和幂零变换υ，使得σ=τ+τυυτσV31222 σVAf(λ)=(λ−1···(λ−1g12λinii=12sDPg1I,2IλsI)P1=Pg—1IA2−2I...,As−λsI)P1并设D所对应的线性变换为τ，N所对应的线性变换为υτ可对角化。n1,2ns)，则Nn0，即υ是幂零变换。通过它στυτυυτ。31给定方阵A 22 2 λ=1对应的特征向量 ，λ=2对应的特征向量只 解方程(A−2I)x ，得到x 211

20于是P 11 0 P1的2101 00 1

00000,0,3=0,4=Exercise3σnV5阶矩阵为例，说明σ的r(≤n)维不变子空间的一般方法。n维复线性空间V上的线性变换σ一定有n个特征根，设它在12···αn下的矩阵是上三角阵Aaij)，其中aij=0i>j，则12···,αr)就构成了V的一个r维不变子空间。这是因σ11··rr11··rr122·rr2·rrr1211A 311通过观察，可以得出5)为一维不变子空间1,2,34为二维不变子空间1,2,5,34,5为三维不变子空间(1,2,3,4为不变子空间，V为五维不变子空间。Exercise4 Am=InA（m是某个正整注意到AmI=0xm1是化零多项式。又xm1=0是Axm−1Axm−10AA可以对角化。定理Exercise5σn维复线性空间V上的线性变换，σ12··αnA1=4阶矩阵的例子，算一下。设V0是包含1的不变子空间，则必有A1∈02∈0···。因而1,1,···,11∈0。又∀k≥n,Akα必可由11···,11线性表出，所以1,1,···,11就是包含1的最小不变子空间。实际上，取11···,11与上面的方法类似，但是要首先写出α在12···,αn下的坐标，然后再计算1,1,···,11。σ1

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1A 101 令α 则首先要写出α在123α4下的

然后计算Aα ，2α ，3α 由于2线性无关而232出两个4阶幂零矩阵说明之。000101 0000002 0

0 2Exercise76Af(xx2)2(x3)4，m(x)x2)(x3)3AJordan标准形。如果极小多项式为m(x)=(x2)(x3)2，AJordan标准形有几种可能的形22 2 Exercise

6−1

A 1

易见，λ=−1是一个特征值，对应的特征向量 6−1 即