（上册）第四章第1-2节正弦、余弦;正切

./年级初三学科数学版本湘教版内容标题正弦、余弦和正切编稿老师阳矩红[本讲教育信息]一.教学内容：正弦、余弦和正切［教学目标］〔一知识与技能1.了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念,能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比。2.熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值,会计算含有这三个特殊锐角的直角三角形的边长,会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3.了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4.会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。〔二过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程,在探索中总结规律,体验学习的乐趣。〔三情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性,增强学习自信心。［教学重点］1.正弦、余弦、正切的定义。2.特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。3.互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。［教学难点］1.锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2.综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。［主要内容］1.正弦、余弦、正切的定义：〔1如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比,叫做∠A的正弦。〔2在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦。〔3在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切。当锐角A确定后,这些比值都是固定值。2.特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°设BC＝k,则AB＝2k用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。3.互为余角的正弦、余弦之间的关系：∴sinA＝cosB语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4.同角的三角函数之间的关系：5.0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律：在0°～90°间的角：正弦值随角度的增大〔或减小而增大〔或减小；余弦值随角度的增大〔或减小而减小〔或增大；正弦值随角度的增大〔或减小而增大〔或减小。6.会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。[典型例题]例1.已知△ABC中,AC＝7,BC＝24,AB＝25,求sinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB分析：根据正弦、余弦、正切的定义知,应首先判断△ABC是直角三角形。解：∵AC＝7,BC＝24,AB＝25∴△ABC为直角三角形,∠C＝90°由互余角的关系得：例2.分析：可用引进参数法,也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：如图解：由勾股定理得：AC＝12k法二：解：又∠A为锐角,cosA＞0变式训练：边c的长。提示：可引进参数法。例3.计算：分析：略解：例4.分析：把条件式看作关于sinα的一元二次方程,利用解方程求出sinα,再确定α的值。解：［练习］求适合条件的锐角：答案：〔130°〔230°〔370°〔430°例5.如图在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝6。〔1求sinA,sinB的值。〔2过点C作CD⊥AB于D,求cos∠ACD的值。分析：〔1利用正弦定义来解决。∠ACD转化为∠B则非常简便。解：〔1在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝5,AC＝6〔2∵∠ACB＝90°,∴∠A＋∠B＝90°又CD⊥AB于D,∴∠ACD＋∠A＝90°∴∠B＝∠ACD例6.分析：根据条件知：△ABC不是直角三角形,应添加辅助线,构造直角三角形。解：过C点作CD⊥AB于D,设CD＝x在Rt△ACD中,∠A＝30°∴BD＝3xx＝1[模拟试题]〔答题时间：50分钟一、填空题：1.求值：___________。2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,a＝1,b＝2,则cosA＝___________。3.tan10°·tan20°·tan30°·tan70°·tan80°＝___________。4.△ABC中,∠C＝90°,若,则tanB＝___________。5.＝___________。6.＝___________。7.在Rt△ABC中,∠C＝90°,,则∠A＝___________。8.已知等腰三角形ABC的腰长为,底角为30°,则底边上的高为___________,周长为___________。二、选择题：9.在△ABC中,若,∠A、∠B都是锐角,则∠C的度数是〔A.75° B.90° C.105° D.120°10.当锐角A＞45°时,sinA的值〔A.小于 B.大于C.小于 D.大于11.已知,则＝〔A.30° B.60° C.45° D.无法确定12.下列结论中不正确的是〔A.B.中,∠C＝90°,则C.Rt△ABC中,∠C＝90°,则D.Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝b,则13.如图CD是平面镜,光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点,若入射角〔入射角等于反射角,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足为C、D,且AC＝3,BD＝6,CD＝11,则＝〔A. B. C. D.14.如果∠A为锐角,且,则〔A. B.C. D.15.如图Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,若AC＝4,BC＝3,则sin∠ACD＝〔A. B. C. D.三、解答题：16.计算：〔1〔217.如图Rt△ABC中,∠C＝90°,b＝8,∠A的平分线AD。求∠B及a、c的值。18.如图在等腰△ABC中,AB＝AC,若AB＝2BC,试求∠B的正弦值和正切值。19.Rt△ABC中,∠C＝90°,方程有两个相等的实数根,斜边为c,方程也有两个相等的实根,求这个直角三角形的三边的长。20.如图在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB＝cos∠DAC。〔1求证：AC＝BD。〔2若,求AD的长。[试题答案]一、填空题：1. 2. 3.4. 5. 6.50°7.30° 8.二、选择题：9.C 10.B 11.B 12.C13.D 14.D 15.C三、解答题：16.解：〔1〔2原式＝17.解：在Rt△ADC中,AC＝8,又∴∠DAC＝30°又AD平分∠BAC∴∠BAC＝60°,∠B＝30°又b＝8∴c＝16,a＝18.解：如图,过A点作AD⊥BC于D∵AB＝AC,AB＝2BC∴设在Rt△ABD中,∴19.解：