第3章-薛定谔方程的建立

当前1页，总共69页。§3.1波粒二象性光的波动性：光的干涉、衍射、偏振现象证明了光具有波动性;

光的粒子性：光电效应、康普顿效应和黑体辐射说明了光具有粒子性。

光的本质是什么？究竟是波还是粒子？

光的波粒二象性：光同时具有波动和粒子二重性，就是说光既粒子也是波，是粒子和波动两重性矛盾的统一。

光有时表现出其中的矛盾主要方面，或者是粒子或者是波。但波粒二象性更能本质地描述光的特性。光的波粒二象性当前2页，总共69页。描述粒子性的时，爱因斯坦用了一个简单的公式来描述光子：式中，E为光子能量；ν为光子的频率；ω为圆频率；h为普朗克常数，，此式称为爱因斯坦关系。通过这个关系式爱因斯坦把描述光的粒子性和波动性的两个特征量——能量和（圆）频率联系起来了。它很好地解释了光电效应和康普顿效应。请回忆一下，光波波长和频率的关系：其中c是光速，而光的静止质量为零，则。由上述爱因斯坦关系，得到光的波长与动量或波矢量大小之间的关系当前3页，总共69页。德布罗意关系：与粒子相联系的物质波的波长德布罗意物质波实验验证：戴维孙-革末实验和汤姆孙实验。微观粒子的波粒二象性用爱因斯坦关系和德布罗意关系定量描述，它们把描述粒子性的能量、动量与描述波动性的频率、波长联系在一起，其中有一个重要的常数是普朗克常数h。上述表达式仅对于光才适合吗？答案是否定的。

德布罗意的物质波假设：一切实物粒子都具有波动性

微观粒子的波粒二象性此式称为德布罗意关系。当前4页，总共69页。§3.2波函数的态与叠加原理（一）波函数及其统计解释波函数：概率波的数学表达形式,描述微观客体的运动状态。

描述微观粒子的函数一般用表示，按照玻恩的统计解释：表示时刻t在位置r出现的概率密度。若知道了体系的波函数，就可以知道体系的全部性质。本身则表示概率幅。注意：波函数的数学形式一般说来是复数域中的函数，即复数函数。当前5页，总共69页。概率密度：单位体积内粒子出现的概率在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不变。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即:此式被称为波函数的归一化条件。注意这里的积分体积微元的具体形式会因坐标系的不同而不同，常用的三维空间坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，请分别自行写出。（二）波函数的统计解释——玻恩诠释当前6页，总共69页。波函数与描述同一粒子的相对概率密度相等，即

因此，描述同一粒子之间的波函数之间允许相差一个常数因子。

一般地说，任一波函数的模方在全空间的积分值并非等于1，而是一个有限的数值A，即显然:当前7页，总共69页。波函数标准条件：连续，单值，有限。单值：任意时刻和任一确定位置粒子出现的概率是确定的。有限:

全空间找到粒子的概率为1，则任意时刻和任一位置的波函数（或概率幅）的数值为有限值，而且其模方可积。连续：由粒子概率的连续方程（稍后给出）所决定，即描述粒子的波函数处处连续。另外，粒子处于连续变化或有限阶跃势场中的波函数，其一阶导数也连续。这样，波函数就是归一化的波函数。但它与只差一个常数因子，它们描述同一个粒子的概率波。

当前8页，总共69页。（二）态的叠加原理用波函数来描述微观粒子的量子态。当给定后，则粒子出现的概率率密度为。

波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。

经典波：遵从叠加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。描述微观粒子的波是概率波，是否可叠加？意义是否与经典相同？当前9页，总共69页。

经典物理中，光波或声波遵守态叠加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的叠加原理加以说明的。量子力学中，如果Ψ1与Ψ2是体系的可能波函数（或状态函数，简称态），那么它们的线性叠加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2是否也是这个体系的一个可能状态？

当前10页，总共69页。若Ψ1与Ψ2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，表示粒子既可能处于Ψ1态又可能处于Ψ2态，处于这两个态的概率分别为。态的叠加原理描述粒子状态的波函数和态的叠加原理是量子力学的一个基本假设。当前11页，总共69页。自由粒子：不受外力场的作用，在空间中其动量和能量都不随时间变化的粒子。（一）自由粒子薛定谔方程的建立如何确定自由粒子的波函数呢？回顾一下电磁学中平面电磁波的数学描述。即平面电磁波的数学表达式更方便地写为以下指数形式因为在求解电磁场方程组时涉及到对上述函数的一阶或二阶偏导数运算，最后的结果取其实部，由此为计算带来方便。§3.3薛定谔方程的建立及其性质当前12页，总共69页。试分析一下平面电磁波和自由粒子的波函数有何异同？平面电磁波和自由粒子的能量和动量都不随时间和空间变化，二者在空间中的运动都是“自由的”。

它们分别需要一个代表波的数学函数来描述。平面电磁波是一种纯粹的经典波，而微观粒子的波与粒子属性密切联系。在波函数的数学形式上应当有相似之处，但粒子的波函数应当包含其粒子性，即通过波粒二象性来联系——爱因斯坦关系与德布罗意关系。薛定谔的创造性思维：利用爱因斯坦关系和德布罗意关系，把平面电磁波表达式中表述波属性的物理量波矢量与圆频率用动量和能量替换，便得到自由粒子的波函数当前13页，总共69页。自由粒子薛定谔方程的建立自由粒子能量与动量之间的关系自由粒子薛定谔方程的建立对自由粒子波函数分别求出关于时间一阶偏导数和空间的二阶偏导数，可以得到由此可以得到当前14页，总共69页。即以上方程便是自由粒子波函数随时间演化的方程，称为自由粒子的薛定谔方程。注意！以上过程并非薛定谔方程的推导，而是通过简单的微分运算建立起自由粒子波函数的时间与空间的演化关系，从而得到一个“抛物型”的拟线性偏微分方程。这是薛定谔的一个重要的思维突破。若引进以下两个算符：当前15页，总共69页。把上述算符替代能量与动量关系，并作用于波函数就可得到自由粒子的薛定谔方程。

其中有两个算符：梯度算符与拉普拉斯算符在直角坐标系下的表达式为注意！自由粒子的波函数形式是薛定谔方程的一个解，但不是唯一解。因为按照态的叠加原理，任意一个波包可以通过傅里叶变化展开为平面波的叠加，即此波函数也满足薛定谔方程。请自己证明。当前16页，总共69页。（二）一般形式的薛定谔方程按照一般经典粒子的能量公式，粒子除了动能外还应当有势能，即对自由粒子的薛定谔方程进行推广，就可以得到如下一般形式下的薛定谔方程：当前17页，总共69页。把单粒子的情况推广到多粒子体系，则多粒子体系的薛定谔方程为势能动能电子之间排斥能其中，电子之间的排斥势能可以进一步写为自此，有了多粒子体系的薛定谔方程，加上初始条件和边界条件，原则上可以求解出波函数和体系的能量。但能得到精确解析解的问题非常少，大多数问题需要借助计算机求解。后续的章节针对一些简单的体系或常见的量子力学问题开展进一步的学习和研究。当前18页，总共69页。关于薛定谔方程的讨论如果已知粒子质量m及势函数V的具体形式,则可以写出具体的薛定谔方程。这是一个二阶偏微分方程，若给定初始条件和边界条件即可求解。薛定谔方程是建立，不是导出，薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，是否正确，由实验检验。薛定谔方程的适用范围：非相对论情况。当前19页，总共69页。（三）定域的概率守恒描述微观粒子的波函数Ψ，粒子在空间某点出现的概率密度为在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭现象所以在随时间演化的过程中粒子数保持不变。

粒子在一定空间区域内出现的概率怎样随时间变化？当前20页，总共69页。薛定谔方程为

由，得取其复共轭得

对上式在封闭空间内积分，根据Gauss定理，得到当前21页，总共69页。引人两个量：——————概率密度——————概率流密度矢量当前22页，总共69页。j的物理意义：粒子在单位时间内沿S曲面法向流过单位面积的概率。粒子数守恒定律的物理意义：在一个定域的封闭区域中找到粒子的总概率在单位时间内的增量等于从该封闭表面流入该区域的粒子概率。积分号前的负号表示粒子的流入，反之正号表示粒子的流出。引进两个重要的物理量：概率密度和概率流密度其中，Im表示取复数的虚部，则得此式即为定域粒子的概率守恒方程的积分形式，又称粒子数守恒定律。当前23页，总共69页。粒子数守恒定律的微分形式粒子数守恒律的积分中再次使用Gauss定理，把面积分化成体积分，得到此式即粒子数守恒定律的微分形式。其物理意义：空间某点及其附近的概率随时间的增加（或减少）等于外界流入到该点（或由该点流出）的粒子概率。若把定域范围拓展到全空间，按照波函数有界性的要求，粒子在无穷远处的概率为零，由积分形式的概率守恒方程，有表示全空间找到粒子的概率为1，即常数，不会随时间变化，粒子既不会产生或湮灭。当前24页，总共69页。解：由定义：概率密度

概率流密度当前25页，总共69页。（四）能量本征方程和本征态在很多实际问题中，作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是势能V(r,t)=V(r)。在这种情况下，可以用分离变量法来求解方程，波函数有较简单的形式代入薛定谔方程得请思考：为什么这个常数设成能量E，而不是其它的物理量?当前26页，总共69页。上述一阶常微分方程的解C为任一常数，把它包含在中，得到薛定谔方程的特解为把C包含在中是完全可以的，最后要归一化。当前27页，总共69页。定态波函数①波函数为一个空间坐标的函数与一个时间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由因子决定。②定态：量子力学体系的波函数用所描写的状态称为定态，处于定态时，体系中粒子的概率密度、概率流密度和力学量的平均值均不随时间变化。

③粒子处于定态，概率密度不随时间而改变，空间概率分布是稳定不变的。当前28页，总共69页。算符：表示某种运算的符号；本征方程：具有形式的方程；本征值：

满足本征方程的常数；本征函数:满足本征方程的函数。量子力学中的许多问题都是求解体系的力学量算符的本征方程。找出其本征值和本征函数，从而确定体系力学量的各种可能的取值。本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值条件造成）。算符的本征方程请思考：在数学中，哪个地方学过本征方程的概念？它们之间有何区别？当前29页，总共69页。不随时间变化的经典哈密顿算符哈密顿算符能量本征方程：不含时间变量t，称为定态薛定谔方程，实际上是哈密顿算符的本征方程。能量E是体系的能量本征值。波函数称为体系的能量本征函数。能量本征方程即当前30页，总共69页。§3.4一维定态薛定谔方程在一维势场V(x)中粒子运动满足定态薛定谔方程为这是一个（可能是变系数的？）二阶常微分方程，给出势函数V(x)的具体表达形式，解这个常微分方程就可以得到能量本征值和本征函数。当前31页，总共69页。用薛定谔方程处理问题的步骤根据具体问题列出定态薛定谔方程求出薛定谔方程的通解——波函数根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数对量子力学处理的结果进行分析与讨论当前32页，总共69页。（一）一维无限深势阱在许多情况中，如金属中的电子，原子中的电子，原子核中的质子和中子等粒子的运动都有一个共同特点，即粒子的运动都被限制在一个很小的空间范围以内，或者说，粒子处于束缚态。当前33页，总共69页。物理模型假设微观粒子被关在一个具有理想反射壁的方匣里，在匣内不受其它外力的作用，则粒子将不能穿过匣壁而在匣内自由运动。为了讨论方便，考虑一维运动情况，势函数表示为：a表示势阱的宽度，V(x)

表示势阱的深度，在阱内势能等于零，在阱外势能为无穷大。当前34页，总共69页。在阱内在阱外波函数连续性决定的边界条件为波函数有界的要求粒子无法穿过无限深的势阱，阱外的解求解过程当前35页，总共69页。n取零无物理意义当前36页，总共69页。粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列离散值，即它的能量是量子化的。每一个值对应于一个能级，这些能量值称为能量本征值，而n称为量子数。粒子最低能量称为基态能量。粒子最小能量的存在意味着物质世界不可能有绝对静止状态。相邻两能级的间隔：1.能级和能级差结果讨论与分析当前37页，总共69页。①相邻能级间的差值，随量子数n的增加而增加，随粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小。

②对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，E

很小，故其能量可看作是连续变化的。

③对微观粒子，若在宏观范围内运动则E很小，其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则E

很大，能量量子化就很明显。④当n→∞,ΔEn/E≈2/n→0,能级分布可视为连续的。当前38页，总共69页。2.波函数归一化因子一维无限深方势阱中运动粒子的归一化波函数当前39页，总共69页。3.粒子在势阱中的概率密度不同量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率不同。n-1个节点，当n→∞时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。当前40页，总共69页。例：在核内的质子和中子可粗略地当成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？核的线度按1.0×10-14m计。解：质子基态能量为第一激发态的能量为从第一激发态转变到基态所放出的能量为实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几个MeV的量级。当前41页，总共69页。（二）势垒的贯穿——量子隧道效应物理模型势能突增的空间区域形象化地称为势垒。例如，金属表面以外的区域对于内部电子所形成的突增势能就是一个势垒。势垒对粒子的作用一般表现为散射作用。对于一维情况，粒子被势垒散射后，或者穿过势垒，或者被反射。解决势垒问题的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的动量和能量作为已知量为前提的。当前42页，总共69页。薛定谔方程及其求解过程粒子能量E<U0的情况：当前43页，总共69页。1)势垒外两个特解。假设粒子从左入射I区内表示入射波；表示反射波III区内，只有透射波。入射波的波幅取为1，反射波和透射波的波幅分别为R、S。当前44页，总共69页。几个定义入射粒子流密度反射粒子流密度透射粒子流密度反射系数和透射系数当前45页，总共69页。2)势垒内通解为利用在边界x=0处，波函数及其导数的连续性条件当前46页，总共69页。利用在边界x=a处，波函数及其导数的连续性条件由上面的四个式子中消去A、B，得到关于R、S的方程组当前47页，总共69页。透射系数和反射系数为当前48页，总共69页。从Ⅰ区入射的粒子，部分被反射回去，其余的贯穿势垒区（Ⅱ区）而透射到Ⅲ区。透射系数T不为零。即使微观粒子的能量E小于势垒高度U0，被散射的粒子也有穿透势垒的可能性，并且穿透后的能量E不变。这种现象称为隧道效应。隧道效应是量子力学中特有的物理现象，是微观粒子波动性的表现，在经典物理中是不可能发生的。当前49页，总共69页。例：求动能E为3eV的电子隧穿高度U0=10eV，宽度a=0.4nm和a=0.8nm势垒的概率？电子换成质子的结果？解：说明电子的隧穿概率对势垒宽度a，质量m非常敏感。当前50页，总共69页。当m、U0-E以及a为微观尺度时,（特别是对于电子）穿透系数有一定的值；当m及a增加时，T则大幅度降低。如果m及a为宏观尺度，T将趋于零而实际上无法测量，势垒贯穿是一种微观效应，是微观粒子波动性典型表现。当前51页，总共69页。粒子能量E>U0的情况当粒子的能量E大于势垒高度U0时，经典力学给出，粒子将无一例外的越过势垒而不被反射，但是，运用量子力学理论，通过与上述完全类似的推导，可以得出粒子也有被反射的可能性。总之，不论微观粒子的能量E是否大于势垒，当它受到势垒的散射时，将同时存在着反射和透射，并且各自按照一定的概率出现。这正像光在不同介质分界面上必定同时产生反射和透射一样。这反映了微观粒子的波动性。当前52页，总共69页。任意形状的势垒U(x)右图所示为一任意形状的势垒，可以把这个势垒看作是许多方形势垒组成的，每个方形势垒宽为dx,高为U(x)。整个势垒的穿透系数就是无限小方形势垒穿透系数的乘积。能量为E的粒子在x=a处射入势垒U(x)，在x=b处射出，即U(a)=U(b)=E。上述推导不够严格，但与更严格的方法推导的结果一致。当前53页，总共69页。隧道效应应用宾尼（GBinnig）罗赫尔（H.Rohrer）

瑞士苏黎世IBM公司的两位科学家宾尼和罗赫尔研制成了STM，可以很精确地观察材料表面结构，成了研究表面物理和其他实验研究的重要显微工具，二人与电子显微镜的发明者鲁斯卡分享了1986年诺贝尔物理学奖。当前54页，总共69页。1990年，IBM公司的科学家展示了一项令世人瞠目结舌的成果，他们在金属镍表面用35个惰性气体氙原子组成“IBM”三个英文字母。纳米技术正式诞生。这是中国科学院化学所的科技人员利用纳米加工技术在石墨表面通过搬迁碳原子而绘制出的世界上最小的中国地图。当前55页，总共69页。（三）一维谐振子两原子间的势能可近似用线性谐振子表示。自然界的任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究无论在理论上还是在应用上都是很重要的。当前56页，总共69页。经典弹簧振子经典力学中，劲度系数为K的弹簧放在光滑的水平桌面上，一端固定不动，另一端系着一个质量为m的物体，就构成了一维简谐振子。选择平衡位置为水平x轴的零点，其弹性回复力为相应的势能为当前57页，总共69页。在

处，动能为零，谐振子能量，谐振子运动仅限于区域运动，且能量E可以取任何值。谐振子简谐运动坐标与时间的关系式圆频率为当前58页，总共69页。量子力学中谐振子1）问题求解：哈密顿算符定态薛定谔方程变系数的二阶常微分方程，为了求解方便，引入两个无量纲的参量定态薛定谔变为当前59页，总共69页。讨论方程在近似解，λ略去