第一节阶行列式的定义

第一节阶行列式的定义第一页，共三十页，2022年，8月28日第二章行列式第二页，共三十页，2022年，8月28日二阶行列式的定义1三阶行列式的定义

2排列及逆序数3n阶行列式的定义4第一节行列式的定义第三页，共三十页，2022年，8月28日设二元线性方程组用消元法求解.(1)一、二阶行列式的定义第四页，共三十页，2022年，8月28日方程组的解为由方程组的四个系数确定.第五页，共三十页，2022年，8月28日

由四个数排成两行两列（横排称行、竖排称列）并定义为记为的式子叫做二阶行列式.第六页，共三十页，2022年，8月28日主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算第七页，共三十页，2022年，8月28日类似地，(2)式的分子也可写成二阶行列式：那么(2)式可写成第八页，共三十页，2022年，8月28日三元线性方程组的解问题类似得到：当系数行列式D不等于0时，解是唯一的.第九页，共三十页，2022年，8月28日并称它为三阶行列式.记为：行标定义1二、三阶行列式的定义列标第十页，共三十页，2022年，8月28日三阶行列式的计算方法——对角线法则列的三个元素的乘积再冠以正负号.三阶行列式包括3!项,每一项均为位于不同行、不同第十一页，共三十页，2022年，8月28日沙路法(或沙流氏规则）：注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．第十二页，共三十页，2022年，8月28日例计算三阶行列式第十三页，共三十页，2022年，8月28日一个n元线性方程组问题：1、D

＝？（n阶行列式如何求？）

２、D不等于0时，解是唯一的？

3、解的表达式为？第十四页，共三十页，2022年，8月28日由组成的一个有序数组称为一个n阶排列.所有排列的种数，通常用由组成的表示.显然是其中的一个排列，自然顺序，就是按从小到大的顺序排起来的；其它定义2这个排列具有的排列都或多或少地破坏了自然顺序..列标三、排列及逆序数第十五页，共三十页，2022年，8月28日在一个排列中，如果一个大数排在一n阶排列的逆序数.

简记为列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数.个小数之前，就称这两个数构成一个逆序.记为定义3一个排计算排列逆序数的方法:

分别计算出排列中每个元素后面比它小的（或前面比它大的）数码个数之和，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.第十六页，共三十页，2022年，8月28日逆序数为奇数的n阶排列称为奇排列.逆序数为偶数的n阶排列称为偶排列;在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．定义4第十七页，共三十页，2022年，8月28日对换改变排列的奇偶性．证明设排列为对换

与当

时，的逆序数增加1;经对换后的逆序数不变,经对换后的逆序数减少1，的逆序数不变.当时，显然这些元素的逆序数经过对换并不改变，先证相邻对换的情形：两个元素的逆序数将改变为：而定理1第十八页，共三十页，2022年，8月28日次相邻对换次相邻对换次相邻对换再证一般对换的情形：设排列为因此对换相邻两个元素，排列的奇偶性相反.第十九页，共三十页，2022年，8月28日奇排列调成标准排列的对换次数为奇数；

对换一个排列中的任意两个元素，其奇偶性改变.偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.推论2n阶排列中，奇偶排列各占一半.推论1第二十页，共三十页，2022年，8月28日个数,称为阶行列式，它表示数值为其中的一个排列，为这个排列的逆序数.(3)定义5(3)式简记为四、n阶行列式的定义第二十一页，共三十页，2022年，8月28日注意

(1)行列式是一个算式；第二十二页，共三十页，2022年，8月28日1.三角行列式（1）下三角行列式一些特殊的行列式第二十三页，共三十页，2022年，8月28日例第二十四页，共三十页，2022年，8月28日（2）上三角行列式第二十五页，共三十页，2022年，8月28日（3）次三角行列式第二十六页，共三十页，2022年，8月28日第二十七页，共三十页，2022年，8月28日2.对角（次