第三章概率电子教案

第三章概率电子教案第一页，共六十六页，2022年，8月28日例2考察某地的一天的天气情况,即同时考虑最高气温、最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.

本章主要讨论二维随机变量,对于二维以上随机变量的性质都可以由二维随机变量的性质推广.第二页，共六十六页，2022年，8月28日第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布第三页，共六十六页，2022年，8月28日1定义：E是一个随机试验，样本空间S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，向量(X,Y)叫做二维随机变量.X(e)SeY(e)§3.1二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数[注]:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,且还依赖X与Y的相互关系.第四页，共六十六页，2022年，8月28日2定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。3分布函数的几何意义设则xyO(x,y)D第五页，共六十六页，2022年，8月28日1)F(x,y)是变量

x

和y

的不减函数,即对任意固定的y,当x2>x1时,有F(x2,y)

F(x1,y);对任意固定的x,当y2>y1时,有F(x,y2)

F(x,y1).4分布函数F(x,y)的性质:2)0F(x,y)1,且

F(-,y)=0,

F(x,-)=0,F(-,-)=0,

F(+,+)=1.3)F(x,y)关于

x右连续,关于y右连续.第六页，共六十六页，2022年，8月28日xOx1y2x2y1y4)对于任意x1<x2,y1<y2,有

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0第七页，共六十六页，2022年，8月28日二、二维离散型随机变量1定义：如果(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列对.则称(X,Y)是离散型的随机变量.2分布律：设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为:(xi,yj),i,j=1,2…,记则称为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律;或称为随机变量X与Y的联合分布律.第八页，共六十六页，2022年，8月28日(2)(1)3分布律的性质4表格表示分布律XY第九页，共六十六页，2022年，8月28日5二维离散型随机变量X与Y的联合分布函数具有形式例1

设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.解:X=i,i=1,2,3,4,Y=j,ji.第十页，共六十六页，2022年，8月28日123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX第十一页，共六十六页，2022年，8月28日例２

某产品８件，其中有２件次品．每次从中抽取一件，不放回，抽取两次，分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数，试求(X,Y)的分布律．YX0101解(X,Y)的所有取值为(i,j),i,j=0,1由乘法公式有第十二页，共六十六页，2022年，8月28日三、二维连续型随机变量1定义对于二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一个非负函数f(x,y)，使得对任意x,y，有

则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)称为(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密

度．此时第十三页，共六十六页，2022年，8月28日2f(x,y)的性质1) 2) 4)设G是平面上一区域3) 若在点(x,y)处连续，则第十四页，共六十六页，2022年，8月28日3常见的二维连续型随机变量的分布1°均匀分布则称(X,Y)在G上服从均匀分布，其中A为平面区域G的面积.若注:

(X,Y)在G上服从均匀分布即(X,Y)落在G内各点是等可能的.第十五页，共六十六页，2022年，8月28日2°二维正态分布若其中都是常数,且

称(X,Y)服从参数为的二维正态分布.记为第十六页，共六十六页，2022年，8月28日例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)确定常数C；(2)求概率P{X+Y1}．解(1)故C=15.(2)x+y=1x+y1Oxy1第十七页，共六十六页，2022年，8月28日(x,y)xyO解(1)例4设二维随机变量具有概率密度

求(1)分布函数F(x,y)；(2)

第十八页，共六十六页，2022年，8月28日y(2)设xO第十九页，共六十六页，2022年，8月28日(1)设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,...Xn是定义S在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn)为定义在S上的n维随机向量或n维随机变量．(2)对个任意实数，令

称为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数．(3)类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质．

三、多维随机变量第二十页，共六十六页，2022年，8月28日§3.2边缘分布一、边缘分布函数定义1

设(X,Y)为二维随机变量，其分布函数为F(x,y)(X,Y)关于X的边缘分布函数(X,Y)关于Y的边缘分布函数注：边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函数F(x,y)

唯一确定,反之不成立.事实上同理第二十一页，共六十六页，2022年，8月28日二、离散型随机变量的边缘分布律若(X,Y)分布律为

(X,Y)关于X的边缘分布律(X,Y)关于Y的边缘分布律1.边缘分布律的定义第二十二页，共六十六页，2022年，8月28日2.边缘分布律的性质(1)(2)1XY3.边缘分布律表格形式第二十三页，共六十六页，2022年，8月28日例1

设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的边缘分布律.解:X=i,i=1,2,3,4,Y=j,ji.123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX25/4813/487/483/481/41/41/41/4第二十四页，共六十六页，2022年，8月28日三、连续型随机变量的边缘概率密度(X,Y)概率密度为f(x,y)，则由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度．第二十五页，共六十六页，2022年，8月28日例2设(X,Y)在区域G:(如图)上服从均匀分布，求其边缘概率密度．x解：由于（X，Y）服从均匀分布，故其概率密度为Gr第二十六页，共六十六页，2022年，8月28日例３

设二维随机变量求(X,Y)的边缘概率密度．解：由已知条件得即X和Y的边缘分布均为正态分布，,但只有边缘分布不能确定联合分布.第二十七页，共六十六页，2022年，8月28日§3.3条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律对于固定的j,若，则称为在条件下,随机变量X的条件分布律。定义设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为对于固定的i,若，则称为在条件下,随机变量Y的条件分布律．第二十八页，共六十六页，2022年，8月28日例1

将两封信随机到往编号为1,2,3的三个信箱内投．以X表示第一个信箱内信的数目，Y表示第二个信箱内信的数目，求X和Y的联合分布律及条件分布律．解据题意(X,Y)的所有可能取值为(i,j),i,j=0,1,2012YX1/92/91/92/92/901/9000124/94/91/94/94/91/9第二十九页，共六十六页，2022年，8月28日012i1/41/21/41/21/20100P{X=i|Y=0}P{X=i|Y=1}P{X=i|Y=2}

条件分布律用表格表示:012j1/41/21/41/21/20100P{Y=j|X=0}P{Y=j|X=1}P{Y=j|X=2}

第三十页，共六十六页，2022年，8月28日例2一射手进行射击，击中目标的概率为，射击直至中目标两次为止。设以表示首次击中目标所进行的射击次数，以表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．第三十一页，共六十六页，2022年，8月28日二、连续型随机变量的条件概率密度类似地定义

1.定义给定y，设对于任意的>0，

若对于任意实数x，极限

存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X的条件分布函数,记为或第三十二页，共六十六页，2022年，8月28日设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度f(x,y)在(x,y)处连续，边缘概率密度fY(y)连续，fY(y)>0,则2.条件概率密度与联合概率密度及边缘概率密度之间的关系在条件Y=y的条件概率密度为类似可得推导第三十三页，共六十六页，2022年，8月28日返回第三十四页，共六十六页，2022年，8月28日yxO11例3

设(X,Y)在区域G(如图)上服从均匀分布，求条件概率密度.解对于任意给定的值x

(0<x<1),在X=x条件下,有第三十五页，共六十六页，2022年，8月28日对于任意给定的值y(0<y<1),在Y=y条件下,有第三十六页，共六十六页，2022年，8月28日§3.4相互独立的随机变量

定义１设F(x,y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)分布函数及边缘分布函数．若对所有x,y，有即则称随机变量X与Y是相互独立的.(1)X与Y相互独立的条件等价于

（离散型）（连续型）一、两个随机变量相互独立的概念注第三十七页，共六十六页，2022年，8月28日(3)定理设随机变量X与Y相互独立，令其中为连续函数，则U与V也相互独立．(2)二维正态随机变量X与Y相互独立第三十八页，共六十六页，2022年，8月28日例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

X

Y0100.04a

1b0.64若X和Y相互独立,则

a=_______b=_______0.160.16第三十九页，共六十六页，2022年，8月28日图例2

学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在7~9时,设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过5分钟的概率．解设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻

由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为 第四十页，共六十六页，2022年，8月28日7979GxOyG1返回第四十一页，共六十六页，2022年，8月28日例3设X和Y都服从参数的指数分布,且X与Y相互独立,求解:由已知得由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为 图第四十二页，共六十六页，2022年，8月28日xyoG第四十三页，共六十六页，2022年，8月28日二、n个随机变量的概念1.n维随机变量的分布函数定义为2.若存在非负函数，使得对任意实数，有

则称为的概率密度函数3.边缘分布函数第四十四页，共六十六页，2022年，8月28日5.设n维随机变量的分布函数为满足对任意实数，均有

则称相互独立．4.边缘概率密度第四十五页，共六十六页，2022年，8月28日则称与相互独立．6.若7.(定理)设与相互独立．则和相互独立；又若h,g是连续函数，则与相互独立.第四十六页，共六十六页，2022年，8月28日§3.5两个随机变量的函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布律5/203/202/203/206/201/20-112-12例1设(X,Y)的分布律为求X+Y及X-Y的分布律.XY第四十七页，共六十六页，2022年，8月28日解:

(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011340-2-3310(X,Y)X+YX-Y5/202/206/203/203/201/20(1)X+Y-201345/202/209/203/201/20(2)X-Y-3-20136/202/206/203/203/20第四十八页，共六十六页，2022年，8月28日(1)Z=X+Y的分布(积分区域G:x+yz)Gx+y=zyxO设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为二、二维连续型随机变量的函数的概率密度第四十九页，共六十六页，2022年，8月28日Z=X+Y的概率密度为或特别，当X,Y相互独立时,第五十页，共六十六页，2022年，8月28日Z=X+Y~N(0,2)解:例2

设X~N(0，1)，Y~N(0，1),且X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。第五十一页，共六十六页，2022年，8月28日结论：(1)若且X与Y相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且且相互独立,则(2)若(3)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布第五十二页，共六十六页，2022年，8月28日例3

在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设R1,R2相互独立，它们的概率密度均为试求总电阻的概率密度.01020z第五十三页，共六十六页，2022年，8月28日例4

设X1,X2相互独立分别服从参数为1,;2,的分布,即X1,X2的概率密度分别为

试证明X1+

X2服从参数为1+2,的分布.第五十四页，共六十六页，2022年，8月28日当z>0时,证：A亦即Z=X1+X2服从参数为1+2,的分布．第五十五页，共六十六页，2022年，8月28日A的计算：[注]：函数若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi服从参数为i,(i=1,2,…n)的的分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为1+2+...+n,的分布.推广第五十六页，共六十六页，2022年，8月28日设