北京市朝阳区2012届高三上学期期中考试理科数学试题

北京市旭日区2011-2012学年度高三年级第一学期期中一致考试数学测试题（理工类）2011.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分注意事项：1．答第一部分前，考生务势必自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．第一部分每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号.第二部分不可以答在试题卷上，请答在答题卡上.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.1.设会合Mxx2x60，Nx1x3，则MN等于（）A．2,3B．1,2C．2,3D．1,22.已知向量a，b知足|a|=8，|b|=6，a·=24，则a与b的夹角为（）．30．60b．120B．90ACD3.已知函数f(x)2sin(x)(0,0π)的图象如下图，则等于()A．1B．233C．1D．24.在各项均为正数的数列an中，对随意m,nN都有amnaman．若a664，则a9等于（）A．256B．510C．512D．10245.“a1”是“对随意的正数x，不等式2xa1建立”的（）xA．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件6.设x0是函数f(x)(1xlog2x的零点．若0ax0，则f(a)的值知足)（）3A．f(a)0B．f(a)0C．f(a)0D．f(a)的符号不确立7.已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，其图象上两点的横坐标x1，x2知足x1x2,且x1x21a,则有()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)f(x2)D．f(x1),f(x2)的大小不确立8.设会合SA,A,A,A，在S上定义运算：AiAjAk，此中k为ij被4除的0123余数，i,j0,1,2,3，则使关系式(AiAi)AjA0建立的有序数对(i,j)的组数为（）A．4B．3C．2D．1第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.已知π3,则tan(π．52410.已知等差数列an的前n项和为Sn．若a22，a1a58，则S6__．11.在ABC中，Aπ3，AB6，则C__；sinB3，BC．12.在ABC中，已知AB(2k3,3k1)，AC(3,k)(kR)，则BC=__；若B90，则k=___．13.已知函数f(x)log1(x),4x0,__2若方程f(x)a有解，则实数a的取值范围是2cosx,0x.．_14.设函数f(x)x1(Q)的定义域为b,aa,b，此中0ab．若函数f(x)在区间a,b上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间b,a上的最大值与最小值的和为．___三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（本小题满分13分）设对于x的不等式x(xa1)0(aR)的解集为M，不等式x22x30的解集为N.（Ⅰ）当a1时,求会合M；（Ⅱ）若MN,务实数a的取值范围.（本小题满分13分）已知向量a=(sinx,cos(πx))，b=(2cosx,2cosx)，函数f(x)ab+1.（Ⅰ）求f(π)的值；4（Ⅱ）求函数f(x)在区间0,π上的最大值和最小值，并求出相应的x值.2（本小题满分13分）设数列an的前n项和为Sn，且2anSn2n1(nN).（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列an2是等比数列；（Ⅲ）求数列nan的前n项和Tn.18.（本小题满分13分）在3ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB．4（Ⅰ）求sin2Bcos2AC的值；2（Ⅱ）若b3，求ABC面积的最大值.（本小题满分14分）设函数f(x)1ax31bx2cx(a,b,cR,a0)的图象在点x,f(x)处的切线的斜率32为k(x)，且函数g(x)1x为偶函数.若函数k(x)知足以下条件：①k(1)0；②对k(x)2一确实数x，不等式k(x)1x21恒建立.22（Ⅰ）求函数k(x)的表达式；（Ⅱ）求证：1112nN).k(1)k(2)k(n)n(n2（本小题满分14分）已知函数f(x)lnx1ax2(a1)x（aR且a0）.2（Ⅰ）求函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）记函数yF(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不一样两点.假如在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0x1x2；②曲线C在点M处的切线2平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)能否存在“中值相依切线”，请说明原因.北京市旭日区2011-2012学年度高三年级第一学期期中一致考试数学测试题答案（理工类）2011.11一、：号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBBCACCA二、填空：号（9）（10）（11）（12）（13）（14）1π；62(2k,2k1)；答案302,5或97414k1或103分，第一空2分）（注：两空的填空，第一空三、解答：（15）（本小分13分）解：(Ⅰ)当a1,由已知得x(x2)0.解得0x2.因此M{x|0x2}.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(Ⅱ)由已知得Nx1x3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分①当a1,因a10，因此M{x|a1x0}.因MN，因此1a10，解得2a1;⋯⋯⋯⋯⋯8分②若a1,M，然有MN，因此a1建立;⋯⋯⋯⋯⋯10分③若a1,因a10，因此M{x|0xa1}.又Nx1x3，因MN，因此0a131a2.,解得⋯⋯⋯⋯⋯12分上所述,a的取范是[2,2].⋯⋯⋯⋯⋯13分（16）（本小分13分）解：（I）因f(x)ab+1=2sinxcosxcos(πx)2cosx12sinxcosx2cos2x1=sin2xcos2x,⋯⋯⋯⋯4分因此f(π1.⋯⋯⋯⋯⋯6分)4（II）由（I）得，f(x)=sin2xcos2x=2sin(2x).⋯⋯⋯⋯8分4因x0,π，因此2x4π,3π.⋯⋯⋯⋯9分244因此当2x4，即x8，f(x)的最大是2；⋯⋯⋯⋯11分2当2x，即x0，f(x)的最小是1.⋯⋯⋯⋯13分417）（本小分13分）解：（I）由意，当n1，得2a1a13，解得a13.当n2，得2a2(a1a2)5，解得a28.当n3，得2a3(a1a2a3)7，解得a318.因此a13，a28，a318所求.⋯⋯⋯⋯⋯3分(Ⅱ)因2anSn2n1，因此有2an1Sn12n3建立.两式相减得：2an12anan12.因此an12an2(nN)，即an122(an2).⋯⋯⋯⋯5分因此数列an2是以a125首，公比2的等比数列.⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅲ）由(Ⅱ)得：an252n1，即an52n12(nN).nan5n2n12n(nN).⋯⋯⋯⋯⋯8分数列5n2n1的前n和Pn,Pn512052215322...5(n1)2n25n2n1，因此2Pn512152225323...5(n1)2n15n2n，因此Pn5(12122...2n1)5n2n，即Pn(5n5)2n5(nN).⋯⋯⋯⋯⋯11分因此数列nan的前n和Tn=(5n5)2n52n(n1)，2整理得，Tn(5n5)2nn2n5(nN).⋯⋯⋯⋯⋯13分（18）（本小分13分）3，因此sinB7⋯⋯⋯⋯1分解：（I）因cosB.44又sin2Bcos2AC2sinBcosBcos2πB2122sinBcosB(1cosB)2=273+1137⋯⋯⋯⋯⋯6分44=8.8（II）由已知得cosBa2c2b23⋯⋯⋯⋯7分2ac，4又因b3，因此a2c233ac.⋯⋯⋯⋯8分32又因a2c2ac32ac，2因此ac6，当且当ac6，ac获得最大.⋯⋯⋯⋯11分此SABC1acsinB16737.2244因此ABC的面的最大37.⋯⋯⋯⋯⋯13分4（19）（本小分14分）（Ⅰ）解：由已知得：k(x)f(x)ax2bxc.⋯⋯⋯⋯⋯1分由g(x)k(x)1x偶函数，得g(x)ax2bxc1x偶函数，22然有b1.⋯⋯⋯⋯2分2又k(1)0，因此abc0，即ac1⋯⋯⋯⋯3分.2又因k(x)1x21全部数x恒建立，22即全部数x，不等式(a1)x21xc10恒建立.⋯⋯⋯⋯4分222然，当a1⋯⋯⋯⋯5分，不切合意.2当a1，足2a10,21114(a)(c)0.422注意到a1，解得a1cc.24因此k(x)1x21x1.424（Ⅱ）明：因k(n)n22n1(n1)44

⋯⋯⋯⋯7分⋯⋯⋯⋯⋯8分214.⋯⋯⋯9分，因此(n1)2k(n)要不等式1112n建立,k(1)k(2)k(n)n2即1111)2n.⋯⋯⋯⋯10分2232(n2n4因1111⋯⋯⋯⋯12分(n1)2(n1)(n2)n1n,2因此1111111112232(n1)22334n1n211n.2n22n4因此1112n建立.⋯⋯⋯⋯⋯14分k(1)k(2)k(n)n2（20）（本小分14分）解：(Ⅰ)然函数f(x)的定域是(0,).⋯⋯⋯⋯1分1a(x1)(x1)由已知得，f'(x)axa1a.⋯⋯⋯⋯2分xx⑴当a0,令f'(x)0,解得0x1;令f'(x)0,解得x1.因此函数f(x)在(0,1)上增,在(1,)上减.⋯⋯⋯⋯3分⑵当a0，①当11,令f'(x)0,解得01或x1;1，即axa1a令f'(x)0,解得x1.a1)和(1,)上增,在(1因此，函数f(x)在(0,,1)上减;aa4分②当11时，即a1时,明显，函数f(x)在(0,)上单一递加；5分a③当11时，即1a0时,令f'(x)0,解得0x1或x1;aa1令f'(x)0,解得1x.a11因此，函数f(x)在(0,1)和(,)上单一递加,在(1,)上单一递减.aa6分综上所述，⑴当a0时,函数f(x)在(0,1)上单一递加,在(1,)上单一递减；⑵当⑶当

a1时,函数f(x)在11(0,)和(1,),(,1)上单一递减；a上单一递加在aa1时,函数f(x)在(0,)上单一递加；⑷当1a0时,函数f(x)在(0,1)和(1,)上单一递加,在(1,1)上单一递减.aa7分(Ⅱ)假定函数f(x)存在“中值相依切线”.设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线yf(x)上的不一样两点，且0x1x2，则y1lnx11ax12(a1)x1，y2lnx21ax22(a1)x2.22y2y1(lnx2lnx1)1a(x22x12)(a1)(x2x1)2kABx1x2x1x2lnx2lnx11a(x1x2)(a1)8分x2x12曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率kf(x0)f(x1x2)2ax1x2(a1)，9分2x1x22依题意得：lnx2lnx11a(x1x2)(a1)2ax1x2(a1).x2x12x1x22化简可得：l