2023年高考数学大招3射影定理

大招3射影定理

大招总结

射影定理

初中我们已经学过一个射影定理，在Rt.ABC中，

ZABC=90,8。是斜边AC上的高，则有：B

BD=ADCDADC

AB2ACAD

BC?=CDAC

高中阶段,在任意三角形_ABC中，设ZA,ZB,NC的对边分别为。，仇c,则有

a=bcosC+ccosB

h-ccosA+acosC

c-acosB+bcosA

证明：

sinA=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC

根据正弦定理a=bcosC+ccosB

典型例题

例1.在二ABC中，角所对的边是”,b,c,已知a=2,则反osC+ccosB等于（）

A.1B.V2C.4D.2

ClhC

解：方法1：在.ABC中油正弦定理可得「=『=一^=2/?,

sinAsinBsinC

a=2/?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC.

/.bcosC+ccosB=2/?sirtBcosC+27?sinCcosjB=2/?(sinBcosC+sinCcosfi)

=27?sinA=a=2故选:D.

方法2:a=bcosC4-ccosB=2,故选:D.

例2.在.ABC中，三个内角A,8,C的对边分别为a,"c,且a=bcosC+6csin8,则8=()

A271e71RrTT

A.B.■—C.—D.一

3346

解:方法1:.a=6cosc+Gc、sinB,

由正弦定理可得sinA=sinBcosC+>/3sinCsinB,

又sinA=sin(B+C)=sin&osC+sinCcosB,

/.sinBcosC+>/3sinCsinB=sinBcosC+sinCcosB，即:\/3sinCsinB=sinCcosB,

C为三角形内角,sin。wO.\V3sinB=cosB，可得tanB=—,

3

jr

Be(O,»)：.8=—.故选D.

6

方法2:a=bcosC+ccos9所以V3sinB=cosB,B=—，故选:D.

6

例3.ABC中角A3,C所对边分别为若a=Z?cosC+cin氏〃=2很IJABC面积的

面积的最大值为()

A.V2+1B.2V2+1C,V3+1D.V3-1

解:方法1:A3C中,。=Z?cosC+csinB,

由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB，又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

cosBsinC=sinCsinB,XsinC0,/.sinB=cosB,XBG^0,180),

5=45;由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,BP4=a2+c2-2accos45,

整理得4=a2+c2-y/2ac；Xa2+c2..2ac（当且仅当a=c取等号）,

4..2ac-41ac,即ac„2-2（2+夜）,.・.ABC的面积为

S=—acsin45=——■---x2（2+V^）=V2+1,.\^ABC面积的最大值为V2+1.故

244'，

选:A.

7F

方法2:a=bcosC+ccosB,所以sinB=cos及B=—，剩余过程同上

4

7T

例4.在一ABC中，角A,8,C的对边分别为若。=AosC且c=6,A=^，则LABC的

6

面积（）

A.2GB.3月C.4百D.6月

解:方法1：在448c中，角AB,C的对边分别为a,b,c,

。2+从_。2

a=bcosC/.由余弦定理可得。=Zxx）sC=/?x----------，即a2+c2=b2,

2ah

77TT

：.ABC为直角三角形,8为直角4=?,。=6二可得。=2,

63

由正弦定理三=三，即，一=-^―，解得a=2百.

S1MsinCsin"sin工

63

SARC=—ac=—x6x2-73=6下）故选:D.

22

方法2:。=反05。+305-所以8=],.,.SABC=；QC=gx6x2G=6百

自我检测

1.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c.若a=/?cosC+csinB,且.ABC的

面积为1+V2.则b的最小值为

A.2B.3C,V2D.百

【解答】由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC,

在一ABC中,sinA=sin-（B+C）］=sin（B+C）,

.\sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC,

cosBsinC=sinCsinB,CG（0,zr）,sinC0,cosB=sinB,即tanB=1,

i?£（0,3=£,SABC=；acsinB-QC=1+V2,/.QC=4+2^2,

由余弦定理得到：b?=6f2+c2-2fzccosB,b1-a1+c2-y/2ac..2ac-s/2ac=4当且仅

当Q=C时取“二”，，力的最小值为2.故选：A.

2.二ABC内角A、B、C的对边分别为已知a=Z?cosC+csinB.则8=（）

A.30B.45C.60D.120

【解答】由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+siaBsinC,

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,/.sinB=cosB,即tanB=1,B为三角

TT

形的内角，・・.8==；故选：B.

3.（多选）在二ABC中，内角A,&C的对边分别为凡瓦0,则下列关系式中，一定成立的有（）

A.asmB=bsinAB.a=bcosC+ccosB

C.a2+b2-c2=2abcosCD.b=csinA+asinC

ah

【解答】对于A,由正弦定理一7二一可得6/sinB=/?sinA,故成立；

sinAsinB

对于3,由于sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosBt根据正弦定理可得

a=bcosC+ccosB,故成立；

对于C,由余弦定理可得4+〃2一。2=2出7cosc故成立；

对于D,由正弦定理可得csinA=4zsinC,可得b-csinA+asinC-2csinA不一定成

立.

综上可得：只有ABC成立，故选：ABC.

1.在三角形ABC中，角A,B.C的对边分别为a,b,c.若a=bcosC+ccosA,且

CACB=Zc=2，则三角形ABC的面积为

【解答】ci=bcosC+ccosA,由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCcosA,

/.sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=sinBtosC+sinCcosA,

sinCcosB=sinCcosA.sinC0/.cosB=cosA,.\A=B,