2021年和2020年全部高校强基计划数学试题

2021年和2020年全部高校强基计划数学试题（北大，清华，复旦，交大，中科大等）2021年北京大学强基计划数学试题本试卷共20题，部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.已知为的外心，、与的外接圆交于、．若，则________．2．方程的正整数解的组数为________．3．若实数，，，满足，则的最小值为________．4．（微信公众号：乐思数学研究）已知，则的个位数字是________．若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为________．6．已知实数．数列满足：若，则，若，则．现知，则可能的的个数为________．7．设．若，则的最小值为________．8．已知、、是三个不全相等的实数且满足、、．则________．9．如图，为中的平分线．过作的垂线，过作交于点．若与交于点，且，，．则________．10．如果一个十位数的各位数字之和为81，则称是一个“小猿数”．则小猿数的个数为________．设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前项和为的前项和为．则的值为________．12．设正整数，且是完全平方数．则可能的的个数为________．13．方程的整数解的组数为________．14．现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则，，这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是________．15．设正整数，均不大于2021，且．则这样的数组个数为________．16．（微信公众号：乐思数学研究）有三个给定的经过原点的平面．过原点作第四个平面，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等．则这样的的个数是________．17．若，，为非负实数，且，则的最小值为________．18．已知数列满足，．数列满足，．若正整数满足，则的最小值为________．19．若为非负整数，则方程的解有________组．20．已知，且，求的最小值．2021年清华大学强基计划数学试题部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.1．甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、1分．比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（）．A．第三名不超过9分B．第三名可能获得其中一场比赛的第一名C．最后一名不超过6分D．第四名可能一项比赛拿到3分2．定义，则（）．3．已知，则（）．A．B．C．D．4．恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（）．A． B． C． D．5．已知为高斯函数，解的组数为（）．A．30 B．40 C．50 D．606．已知，最大公约数为，最小公倍数为，数对的组数为（）．A． B． C． D．7．设为常数，，，则（）．A． B．恒成立C． D．满足条件的不止一个8．已知四面体中，，则体积的最大值为（）．A． B． C． D．9．在中，为的中点，，则的最大值为（）．A． B． C． D．10．已知非负实数，，满足，则的最大值为（）．11．已知十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（）．A．60 B．45 C．40 D．5012．已知，，设的最大值为，最小值为，则（）．A． B． C． D．13．已知集合，，且中任意两项相加不是5的倍数，求的元素个数最大值．14．将函数的图象逆时针方向旋转，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为（）．A． B． C． D．15．（微信公众号：乐思数学研究）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．16．已知，过做拋物线两条切线，交轴于，两点，则外接圆方程为（）．A． B．C． D．17．椭圆，，过作直线交椭圆于、，、交于、，下面正确的有（） A．定值 B．为定值 C．可能为2 D．可能为218．如图，四边形为圆外接四边形，，为直径：若，，则________．19.，，，为互不相等的正实数，，，，为其一个排列，，，则的概率是________．20.（微信公众号：乐思数学研究）有个质点，每个质点的质量为，则质心位置；对于一杆，长，放于间，且线密度满足，则质心位于（）． A． B． C． D．21.有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于，则该数列最多可有________项．2021复旦大学强基计划数学试题1．（微信公众号：乐思数学研究）命题：“的内心与外心重合”是命题：“是正三角形”的什么条件？2．已知周期为1，则命题：“”是命题：“恒为1”的什么条件？3．是的角平分线，，，，求的长．4．求的常数项．5．已知，，则________．6．已知，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，延长到点，满足．的中点为，则下列两个结论是否正确：结论1：；结论2：为椭圆的切线．7．若，，解不等式．8．方程的正整数解有多少组？9．确定曲线的类型．10．求由曲线，围成的面积．11．（微信公众号：乐思数学研究）求极坐标的曲线轨迹．12．若数列满足，求．13．求展开式中的常数项．2021上海交大强基计划数学试题已知中，，求最大值．求边长为1的正五边形的对角线长．3．实数，，满足，求的值．4．2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为几份?5．（微信公众号：乐思数学研究）求方程的实根个数．2021年中科大强基计划数学试题1．已知正实数，二次函数，若任意长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1，则的最小值为________．2．已知正实数满足，则的最小值为________．3．（微信公众号：乐思数学研究）已知正实数，，满足，则的取值范围为________．4．抛物线上有，两点，，则中点的轨迹方程为________．5．抛掷一个均匀的骰子次，记该过程中出现的最大数字为，则________．6．有边长为1的正，在边上，在边上，，沿折起，求四棱锥体积的最大值．7．已知的整数部分，证明：．8．已知，求的范围．9.，，为实系数多项式，且两两互素，，证明：或2．2021年中国科学技术大学强基计划数学试题（广东）一、填空题1．求________．2．设抛物线与相切，则________．3．写出一个函数________，使得对于任意的恒成立．4．（微信公众号：乐思数学研究）设空间区域中存在四个点两两距离都是，则的是大值为________．5．设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球彺甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为________．二、解答题6．求函数的取值范围．7．设，，是正整数，是素数，且整除，证明：整除．8．设数列满足，且对任意正整数，均有．求的通项公式．9.设是次实系数多项式，其中，．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数．2021年南京大学强基计划数学试题及其解析求．2．已知，，，求的最值．2020年北京大学强基计划数学试题共20道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得5分，选错或不选得0分．1.（微信公众号：乐思数学研究）已知均为正实数，且满足和，则的最小值等于（）A. B. C.D.前三个答案都不对2．在的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）．A．16 B．31 C．32D．前三个答案都不对3．已知整数列（）满足，，且对任意有，则的个位数字是（）．A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对4.设，，，是方程的4个复根，则的值为（）． B． C． D．前三个答案都不对5．设等边的边长为1，过点作以为直径的圆的切线，交的延长线于点，，则的面积为（）．A． B． C． D．前三个答案都不对6．设，，均不为，其中为整数，已知，，成等差数列，则依然成等差数列的是（）．A．，， B．，，C．，， D．前三个答案都不对7．（微信公众号：乐思数学研究）方程的整数解个数为（）．A．4 B．8 C．16 D．前三个答案都不对8．从圆上的点向椭圆：引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（）．A． B． C． D．前三个答案都不对9．使得对所有正实数，都成立的实数的最小值为（）．A．8 B．9 C．10 D．前三个答案都不对10．（微信公众号：乐思数学研究）设P为单位立方体的面对角线上的一点，则的最小值为（）．A． B． C． D．前三个答案都不对11．设数列满足，，且对任意有，其前项和为，则的最大值等于（）．A．28 B．35 C．47 D．前三个答案都不对12．设直线与椭圆交于，两点，坐标原点，则面积的最大值为（）．A．8 B．10 C．12 D．前三个答案都不对13．正整数称为理想的，若存在正整数使得，，构成等差数列，其中为组合数，则不超过2020的理想数个数为（）．A．40 B．41 C．42 D．前三个答案都不对14．在中，，，，…，依次为边上的点，且．设，，…，，，则的值为（）．A． B． C． D．前三个答案都不对15．函数的最大值为（）．A． B． C． D．前三个答案都不对16．（微信公众号：乐思数学研究）方程的实根个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．前三个答案都不对17．凸五边形的对角线分别与对角线和交于点和，已知，，，和分别为和的面积，则等于（）．A．8：15 B．2：3 C．11：23 D．前三个答案都不对18．设，均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式的个数为（）．A．99 B．133 C．150 D．前三个答案都不对19．满足对任意有且严格递增的数列的个数为（）．A．0 B．1 C．无穷个 D．前三个答案都不对20．设函数，其中，，均为正实数，则有（）．A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但无最小值C．有最小值但无最大值 D．前三个答案都不对2020年清华大学强基计划数学试题共35道选择题，为不定项选择题．1．若，则的取值范围是（）．A． B． C． D．2．设，，为正实数，若一元二次方程有实根，则（）A． B．C． D．在非等边中，，若和分别为的外心和内心，在线段上，且满足，则下列选项正确的是（）．A．，，，四点共圆 B．C． D．4．已知集合，且，则有序集合组的个数是（）．A． B． C． D．5．已知数列满足，，则的值可能是（）．A．0 B．2 C．10 D．126．（微信公众号：乐思数学研究）已知点在椭圆上，，，则的最大值是（）．A．4 B． C． D．67．已知为双曲线上一点（非顶点），，，令，，下列表达式为定值的是（）．A． B．C． D．8．甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（）．A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了D．无法确定谁做对了9．在中，，，，，则下列说法正确的是（）．A． B． C． D．10．求值：（）．A． B． C． D．11．从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以等于0），则的概率为（）．A． B． C． D．随机变量，，满足，且，则（）．A． B． C． D．13．已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（）．A．的最大值为 B．最大值为C．的最小值为0 D．的最小值为214．若存在，，使得与均为完全平方数，则正整数可能取值为（）．A．2 B．4 C．5 D．615．（）．A．0 B． C． D．116．已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为，侧棱与底面夹角为，则（）．A． B．C． D．17．已知函数，则的最大值与最小值的和是（）．A．2 B． C．3 D．4（微信公众号：乐思数学研究）已知函数的图像如图所示，的图像与直线，，轴围成图形的面积为，则下列说法正确的是（）．A． B．C． D．19．我们称数列为“好数列”，若对任意存在，使得，其中，则下列说法正确的是（）．A．若，则数列为“好数列”B．若（为常数），则数列为“好数列”C．若，均为“好数列”，则为等差数列D．对任意等差数列，存在“好数列”，，使20．（微信公众号：乐思数学研究）（）．A． B． C． D．21.在中，，，，设为中点，现将沿折起，使得四面体的体积为，则折起后的长度可能为（）A．1 B． C． D．222．设复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，若，，则的面积为（）A．1 B． C．2 D．23．使得成立的最小正整数等于（）A．3 B．4 C．5 D．624．已知实数，，满足，则（）A．有1组 B．有4组 C．，，均为有理数 D．，，均为无理数25．设实数满足，则的最大值为（）A．110 B．120 C．220 D．24026．（微信公众号：乐思数学研究）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（）A．10 B．11 C．12 D．1327．设复数满足，则的（）A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为28．设，为锐角，且，则的最大值为（）A． B． C．1 D．29．已知函数在区间上存在零点，则的最小值为（）A． B． C． D．30．设，分别是轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A． B． C． D．31．（微信公众号：乐思数学研究）已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（）A．为单元素集 B．为有限集，但不是单元素集C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界32．已知数列的前项和，且实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．33．（微信公众号：乐思数学研究）《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》和《西游记》四部书分列在四层架子的书柜的不同层上．小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部．现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层．则（）A．《水浒传》一定陈列在第二层 B．《西游记》一定陈列在第一层C．小孙借阅的一定是第三层的书籍D．小李借阅的一定是第四层的书籍设多项式的各项系数都是非负实数，且，则的常数项的最小值为（）A． B． C． D．35．已知，则（）A．存在实数解B．共有20个不同的复数解C．复数解的模长均为1D．存在模长大于1的复数解2020年复旦大学强基计划数学试题1．设抛物线，过焦点作直线，交抛物线于，两点，满足．过点作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交轴于点，若，则_______________．2．（微信公众号：乐思数学研究）已知实数，，满足，求的最小值．已知，若，则在，，，中能确定的参数是_________．若三次方程有一个根是纯虚数，则_______________．在的展开式中，常数项为_______________．_________．点绕点按顺时针方向旋转60度，所得的点的坐标为_____．方程所表示的曲线形状是________．设，，若则_______．实数，满足，若的值与，无关，则的取值范围是_______．在中，，若为的内心，且满足，则的最大值为_________．12．已知直线：和：，则有（）．A．与可能重合B．与不可能垂直C．直线上存在一点，使得直线以为中心旋转后与重合D．以上都不对cta3213.如图15-2所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，点处的切线与夹角为30度，则点横坐标为________．14．已知为直线上一点，且到和的距离相同，则点坐标为________．已知，且，连接原点和，两点，则的概率为_______．________．17．已知三棱锥的体积为10.5，且，，，则的长度为__________．18．在中，，，，则边上中线的长________．19．若，则的图象大致为_______．（微信公众号：乐思数学研究）定义令，已知，，则______．21．方程的非负整数解的组数为______．22．已知，，且，若满足，则_______．23．若四边形是凸四边形，则是的______条件．24．设函数的反函数为，则在上的最大值和最小值的和为_____．25．若，（微信公众号：乐思数学研究）直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是______．26．已知，，，四点共圆，且，，，，为，的交点，则的长度为______．27．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数，又有偶函数的概率为________．28．下列不等式恒成立的是（）．A． B．C．D.29．向量数列满足，且满足，，令，则当取最大值时，的值为______．某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任务，每人负责天已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有________种．31．直线，交于点，为平面上任意一点，（微信公众号：乐思数学研究）若，分别为点到直线，的距离，则称为点的距离坐标．已知非负常数，，下列三个命题正确的个数是________．（1）若，则距离坐标为的点有且仅有1个．（2）若，且，则距离坐标为的点有且仅有1个．（3）若，则距离坐标为的点有且仅有4个．Giventwosetsand,thentheintersectionsetofAandBis（）．A．B．C．D.33．Whichnumberofthatnumber5isthecubicrootof?（）A．3 B．5C．25D.1252020年上海交通大学强基计划数学试题已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为_______________．已知方程，则下列判断：方程没有正数解；方程有数多个解；方程有一个正数解；方程的实根小于1．其中错误的判断有_______________．3．（微信公众号：乐思数学研究）在小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有_______________个．4．已知边长为的正三角形，，分别在边，上，满足，连接，，则与的夹角为_______________．5．已知的顶点坐标分别为，，，则角的平分线所在的直线方程为_______________．从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_______________种不同的取法．（微信公众号：乐思数学研究）已知曲线过点，，则_________．8．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，横坐标之和为5，则直线的条数为_______________．9．用同样大小的正边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则的值为_______________．10．若三条直线：，：，：将平面划分成6个部分，则可能的取值情况是（）．A．只有唯一值B．有两个不同的值C有三个不同的值 D．无数个值11．已知非零实数，，，若，，成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）．A． B． C． D．12．（微信公众号：乐思数学研究）函数的定义域为，若对于任意的，都存在唯的，使得，则称在上的和为4，给出下列函数：（1），；（2），；（3），；（4）．其中和为4的有_______________个．13．若集合中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）的运算结果都在中，则称是封闭集合，下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）．其中封闭集合的序号为_______________．14．方程的正整数解有_______________．15．若，，且满足，则_______________．16．（微信公众号：乐思数学研究）若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为_________．17．设是函数在区间上的最大值，则的最小值为______．18．在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对．19．若空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有_______________条．20．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形则此六边形周长的最小值为_______________．21．（微信公众号：乐思数学研究）已知矩形的边，过，作直线的垂线，垂足分别为，，且，分别为的三等分点，沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则的长度为______．22．（微信公众号：乐思数学研究）平面上给定五个点，任意三个点不共线，过任意两个点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过五个点中任意一个点向另外四个点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的五点）个数至多有_____个．23．若实数，满足，，则_________．24．甲、乙、丙三人的职业分别是，，，乙的年龄比大，丙的年龄和不同，比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）．25．函数，的最小值是_______．2020年中国科学技术大学创新班初试数学试题若，则的取值范围是_______________．若，则其围成图形的面积_______________．的离心率是_______________．若，，，则_______________．若，，为正整数，为素数，则_______________．若，，，则，，的大小顺序是_______________．若，且，，，，，为三角形的三边，则的取值范围是_______________．已知为的排列，若且，则为顺序对，设为的顺序对的个数，则_______________．9．已知，求的取值范围．10．（微信公众号：乐思数学研究）已知，求所有，使得对，恒成立．11．已知，证明：当时，不等式成立，且当时，该不等式不成立．2020年武汉大学强基计划数学试题不定项选择题：共15小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分.1