2022年中考数学专题复习：“隐形圆”-点到圆最值问题 课件

中考复习专题题“隐形圆”

——点到圆最值问题不积洼步无以至千里。引入定理不积洼步无以至千里。

隐形圆的应用是中考中的常见题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆的信息，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解。这类题目构思巧妙，综合性强，它将复杂的问题转化为圆内的求角问题，体现了转化和化归的数学思想，处理这类题目，关键在于能否把“隐形圆”找出来。探究定理不积洼步无以至千里。

平面内一定点D和圆O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，圆O半径为r)：1、

当D点在圆O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；分析：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值。理由，当三点不共线时，构成三角形，依据三角形三边关系，可证探究定理不积洼步无以至千里。

2、当D点在圆O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r(即为圆O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)；

探究定理不积洼步无以至千里。3、当D点在圆O内时，d<r，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.应用定理例1如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．不积洼步无以至千里。不积洼步无以至千里。证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB＝CD∠BAD＝∠CDA＝90°AE＝DF∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，AD＝CD∠ADG＝∠CDG＝45°DG＝DG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°，∴BE⊥AG；∴∠AHB=90°｛｛取AB的中点O为圆心画弧即：点H在弧AB上∴DH的最小值为d－r∵正方形的边长为2，OA=1=r∴d=∴DH长度的最小值O应用定理例2.某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水．于是，他主喷灌龙头的转角正好等于(即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌)，同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图，已测出，MB=10mAB=24m,∆ABM的面积为96m²;过弦AB的中点D作DE⊥AB交弧AB于点E，又测得DE=8m．请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法?为什么?不积洼步无以至千里。解：作射线ED交AM于点C∵AD=DB,ED⊥AB,弧AB为劣弧

DE=8mAB=24m∴弧AB所在圆心在射线DC上假设圆心为O，半径为r,连接OA,则r²=12²+（r-8）²解得r=13∴OD=5过点M作MN⊥AB,垂足为N∵S∆ABM=96.AB=24∴MN=8,NB=6,AN=18∵∆ADC∽∆ANM∴∴DC=OD<CD∴点O在∆AMB内部，M在圆O的内部∴M到圆上最大距离为d＋r，r=13过点O作OH⊥MN,则OH=DN=6,MH=3∴OM==d∴最大距离=d＋r=+13不积洼步无以至千里。应用定理

例3.所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在BC线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．不积洼步无以至千里。不积洼步无以至千里。解：假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，当P´、E、F、P＂在一条直线上，P´P＂即为最短距离，∵∆AP´P＂是120°等腰三角形，P´P＂=AP∴当PA最小时P´P＂也最小∵点A在圆外，PA最短=d－r∴作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝∴∠ABO＝90°，AO＝

，PA＝-∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°∵P´P＂＝

P´A＝

－9所以PE＋EF＋FP的最小值为（

－9）km．课堂检测1.已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________不积洼步无以至千里。课堂检测2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．不积洼步无以至千里。2课堂检测3.