控制工程基础-控制系统的数学模型(2)（控制工程基础）

控制工程基础

第三讲控制系统的数学模型（2）清华大学机械工程系朱志明教授2023/3/281.控制系统的数学模型－内容物理系统的动态描述－数学模型建立系统数学模型的一般步骤非线性数学模型的线性化拉普拉斯变换控制系统的传递函数系统方块图及其变换系统信号流图2023/3/282.微分方程的求解与不足微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性；这种方法比较直观，特别是借助于计算机，可迅速准确地求得结果。然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂。在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数（由组成系统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的被控制量—输出量）影响的一般规律。一旦求得的结果不满足要求，便无法从解中找出改进方案（如何调整系统的结构和参数）。因此这种方法不便于对系统进行分析和设计。2023/3/283.拉普拉斯变换工程技术上常用傅立叶方法分析线性系统，因为任何周期函数都可展开为含有许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周期函数可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数－傅立叶变换。工程实践中，常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是求解线性微分方程的简捷工具，同时也是建立系统传递函数的数学基础。拉普拉斯变换的定义常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质常见函数拉普拉斯变换表拉普拉斯反变换利用拉氏变换解微分方程2023/3/284.傅立叶变换与反变换傅立叶变换：傅立叶反变换：2023/3/285.拉普拉斯变换的定义以时间t为自变量、定义域为t0的函数f（t）的拉氏变换定义为： 式中：s为复变量，s＝＋j；一个函数f（t）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利条件）是：在t<0时，f（t）＝0；在t0的任一有限区间内，f（t）是分段连续的；积分。即f（t）为指数级的。在工程实际中，上述条件通常是满足的。F（s）称为象函数，f（t）称为原函数。2023/3/286.常用函数的拉普拉斯变换（1）单位阶跃函数：单位阶跃函数的拉氏变换：幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为：t10u(t)2023/3/287.常用函数的拉普拉斯变换（2）单位脉冲函数：（幅值1/t0与作用时间t0的乘积等于1）单位脉冲函数的拉氏变换：当冲击函数的幅值为A/t0，与作用时间的乘积等于A时：t1/t00δ(t)t02023/3/288.常用函数的拉普拉斯变换（3）单位斜坡函数：单位斜坡函数的拉氏变换：斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：t10f(t)12023/3/289.常用函数的拉普拉斯变换（4）指数函数：指数函数的拉氏变换：2023/3/2810.常用函数的拉普拉斯变换（5）正弦函数：正弦函数的拉氏变换：余弦函数的拉氏变换：2023/3/2811.拉普拉斯变换的性质（1）-线性定理若g（t）＝f1（t）＋f2（t），则G（s）＝F1（s）＋F2（s）即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。若g（t）＝Af（t），则G（s）＝AF（s）即函数的A（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍。2023/3/2812.拉普拉斯变换的性质（2）-衰减定理若g（t）＝f（t）e－at，则G（s）＝F（s＋a）。a为实数2023/3/2813.拉普拉斯变换的性质（3）-延迟定理若g（t）＝f（t－a），则G（s）＝e－asF（s）。即一个函数是另一个函数延时a后再现，则它的象函数是另一个函数象函数的e－as倍。2023/3/2814.拉普拉斯变换的性质（4）-比例定理若g（t）＝f（t/a），则G（s）＝aF（as）。即若一个函数在时间上展宽（或压缩）a倍，则它的象函数在复平面上向原点将收缩（或伸展）a倍。当a<1时，g（t）被展宽，当a>1时，g（t）将被压缩。2023/3/2815.拉普拉斯变换的性质（5）-时间t乘函数f（t）

2023/3/2816.拉普拉斯变换的性质（6）-微分定理若，则。

当初始条件f（0）＝0时，G（s）＝sF（s）。2023/3/2817.拉普拉斯变换的性质（6）-微分定理若，则当f（0）＝0，f（1）（0）＝0，…，f（n－1）（0）＝0时，2023/3/2818.拉普拉斯变换的性质（7）-积分定理若，则。

当初始条件g（0）＝0时，。2023/3/2819.拉普拉斯变换的性质（7）-积分定理若则f－1（0）－在t＝0处的值；f－2（0）－在t＝0处的值；2023/3/2820.拉普拉斯变换的性质（8）-初值定理若函数f（t）在t＝0处无脉冲分量，则函数的初值为：2023/3/2821.拉普拉斯变换的性质（9）-终值定理若函数F（s）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在，则原函数的终值为：2023/3/2822.拉普拉斯变换的性质（10）-卷积定理若函数f1（t）与f2（t）当t<0时都等于零，则称积分为f1（t）卷积f2（t），记作f1（t）*f2（t）；同样称积分为f2（t）卷积f1（t），记作f2（t）*f1（t）。若f1（t）与f2（t）均满足狄里赫利条件，则卷积的拉氏变换等于两函数拉氏变换之积。即2023/3/2823.拉普拉斯变换的性质（10）-卷积定理

2023/3/2824.常见函数拉氏变换对照表（1）

2023/3/2825.常见函数拉氏变换对照表（2）

2023/3/2826.拉普拉斯反变换（1）由拉氏变换的象函数F（s）求原函数f（t）的运算称拉氏反变换。求解复杂，不便于工程应用。对于大多数控制系统，可避免积分，而是利用部分分式展开，化象函数为拉氏变换表中包含的形式，查表得到原函数。2023/3/2827.拉普拉斯反变换（2）在控制系统中，拉氏变换F（s）可写成下列一般形式：因式分解：只包含不同实极点的情况包含共轭复数极点的情况包含多重极点的情况2023/3/2828.拉普拉斯反变换－只包含不同实极点（1）实例：2023/3/2829.拉普拉斯反变换－只包含不同实极点（2）

2023/3/2830.拉普拉斯反变换－包含共轭复数极点（1）

实例：2023/3/2831.拉普拉斯反变换－包含共轭复数极点（2）

2023/3/2832.拉普拉斯反变换－包含多重极点（1）2023/3/2833.拉普拉斯反变换－包含多重极点（2）

2023/3/2834.利用拉氏变换求解微分方程（1）考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数方程。求解代数方程，得到微分方程在s域的解。求s域的拉氏反变换，即得到微分方程的解。微分方程解（T域）求解代数方程解（s域）求解正变换反变换2023/3/2835.利用拉氏变换求解微分方程（2）例：求解：2023/3/2836.控制系统的数学模型－内容物理系统的动态描述－数学模型建立系统数学模型的一般步骤非线性数学模型的线性化拉普拉斯变换控制系统的传递函数系统方块图及其变换系统信号流图2023/3/2837.控制系统的传递函数对一个线性定常系统（或元件），在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值，叫做该系统（或该元件）的传递函数。R-L-C电路的传递函数机械平移系统的传递函数恒定磁场他激直流电动机的传递函数2023/3/2838.R-L-C电路的传递函数微分方程：设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：R-L-C电路的传递函数：2023/3/2839.机械平移系统的传递函数微分方程：设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：传递函数：2023/3/2840.恒定磁场他激直流电动机的传递函数微分方程：设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：传递函数：2023/3/2841.控制系统的传递函数在拉氏变换的基础上，引入描述线性定常系统（或元件）在复数域中的数学模型－传递函数，不仅可以表征系统的动态性能，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在传递函数基础上建立起来的。一般系统的传递函数传递函数的性质典型环节的传递函数2023/3/2842.一般系统的传递函数一般系统的微分方程：拉氏变换（零初始条件）：系统的传递函数：D(s)－特征多项式；系统的阶次为n。2023/3/2843.传递函数的方块图系统的输入输出与传递函数的关系：传递函数的方块图：G(S)R(S)Y(S)传递函数的方块图2023/3/2844.传递函数的性质（1）系统（或元件）的传递函数也是描述其动态特性的数学模型的一种，它和系统（元件）的运动方程式是相互一一对应的。若给定了系统（或元件）的运动方程式，则与之对应的系统的传递函数便可唯一地确定。传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统固有的特性，与输入信号类型及大小无关，与初始条件无关。传递函数和微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，它只反映系统中输出信号和输入信号之间的变化规律，而不表征系统的物理结构。2023/3/2845.传递函数的性质（2）不同物理结构的系统，可以有相同的传递函数。同一个系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。由于传递函数的分子分母多项式的各项系数是由系统的物理参数组成的，而物理参数总是实数，所以各多项式的系数均为实数。由于实际系统总是有惯性的，且系统信号的能量总是有限的，因此实际系统中总有nm。2023/3/2846.传递函数的性质（3）传递函数的零极点形式：传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。R(s)=L[（t）]＝1，C(s)=G(s)R(s)=G(s)，L-1[C(s)]=L-1[G(s)]=g(t)系统的脉冲响应g(t)与系统的传递函数G(s)有单值对应关系，都可以用于表征系统的动态特性。2023/3/2847.典型环节的传递函数（1）线性系统的传递函数：分子、分母具有零根：分母sv；分子、分母具有实数根：2023/3/2848.典型环节的传递函数（2）分子、分母具有共轭复根：2023/3/2849.典型环节的传递函数（3）系统传递函数：2023/3/2850.典型环节的传递函数（4）－典型环节放大环节（比例）：

K一阶微分环节：二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：2023/3/2851.典型环节的传递函数（5）－比例环节输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。运动方程式：传递函数：实例：电位器：输入电压－输出电压共射极晶体管放大器：输入电流－输出电流集成运算放大器：输入电压－输出电压测速机：转速－电压齿轮箱：主动轴转速－从动轴转速2023/3/2852.典型环节的传递函数（6）－惯性环节输出量变化落后于输入量变化（含有储能元件）运动方程式：传递函数：实例：悬臂弹簧：左端输入位移－右端输出位移RC滤波器：电源电压－电容电压他激直流发电机：激磁电压－电势恒定磁场他激直流电动机：输出转速－电枢电压2023/3/2853.恒定磁场他激直流电动机的传递函数微分方程：设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：传递函数：2023/3/2854.典型环节的传递函数（7）－积分环节输出量的变化速度和输入量成正比，即输出量与输入量呈积分关系。微分方程式：传递函数：实例：传动轴：转速－转角齿轮齿条传动：齿轮转速－齿条位移积分器：输入电流－输出电压2023/3/2855.典型环节的传递函数（8）－振荡环节包含两种储能元件，所储能量相互转换。如：位能和动能、电能和磁能。微分方程：传递函数：实例1：RLC振荡电路：输入电压－输出电压实例2：质量－弹簧－阻尼器系统：外力－质量的位移