2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（）A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣＝0 B．3x2＝1 C．2x﹣y＝5 D．y2+x+2＝03．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（）A．3π B．6π C．12π D．24π4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣8）2＝21 B．（x﹣8）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝115．如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（）A．4 B．3 C． D．6．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．方程x2＝9的根是．8．关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是．9．已知一扇形的半径为2cm，其弧长为3πcm，则该扇形的面积是cm2．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为．11．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m﹣2022的值是．12．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长是．13．某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程．14．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．若P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．⊙C的半径长为1，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17．解方程x2﹣2x﹣1＝0．18．解方程（x+2）2＝3（x+2）．19．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．（1）若∠ABC＝70°，求∠BAD的度数；（2）求证：＝．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O过点B、C且与AB、AC分别相交于点D、E．求证：BD＝CE．22．如图所示，面积为4500m2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10m，求绿化区的面积．23．已知α、β是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0的两个实数根．（1）若α＝β，则m与n满足关系；（2）若β＜α＜0，求m+n的范围．24．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．25．商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？26．【习题再现】（教材P74第10题）如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？（1）完成原习题；【逆向思考】（2）如图②，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC，求证：I为△ABC的内心．【迁移运用】（3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的动点，AC＝6，BC＝8，经过C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合．（1）若点D运动到AB的中点．①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；②如图②，连接MN，若MN∥AB，求线段MN的长；（2）如图③，点D在运动过程中，⊙O半径r的范围为．

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（）A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．解：∵⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，∴点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣＝0 B．3x2＝1 C．2x﹣y＝5 D．y2+x+2＝0【分析】一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程．解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C．该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；D．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．3．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（）A．3π B．6π C．12π D．24π【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．4．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣8）2＝21 B．（x﹣8）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．解：x2﹣8x+5＝0，x2﹣8x＝﹣5，x2﹣8x+16＝﹣5+16，（x﹣4）2＝11，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．5．如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为（）A．4 B．3 C． D．【分析】如图，连接OC，设OC＝OE＝OF＝r．利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．解：如图，连接OC，设OC＝OE＝OF＝r．∵EF⊥CD，EF是直径，∴CM＝MD＝1，在Rt△COM中，OC2＝OM2+CM2，∴r2＝12+（5﹣r）2，∴r＝，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠OBF＝∠ABC＝30°，∴OB＝＝＝，∴△ABC的外接圆的半径为；B、∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，∵AB＝AC＝10，∴＝，BD＝CD＝BC＝2，∴AE是⊙O的直径，AD＝＝＝4，∴∠ABE＝∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠EAB，∴△ADB∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴外接圆半径为；C、作AD⊥BC于点D，作直径AE，连接CE，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，解得BD＝，由勾股定理得，AD＝＝，∵AE为圆的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，∴＝，即＝，解得AE＝，则外接圆半径＝，D、∵62+82＝102，∴此三角形是直角三角形，∴此三角形外接圆的半径为5，∴其外接圆半径最小的是A选项，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．方程x2＝9的根是x1＝3，x2＝﹣3．【分析】利用直接开平方法解方程即可．解：x2＝9，x＝±3，所以x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．8．关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是a≥1．【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2＝a﹣1有实数根，∴a﹣1≥0，解得a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查了一元二次方程根的条件，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．9．已知一扇形的半径为2cm，其弧长为3πcm，则该扇形的面积是3πcm2．【分析】扇形的面积＝弧长×半径．解：利用扇形面积公式可知该扇形的面积是＝3πcm2．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为35°．【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝55°，∴∠DAB＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠DAB＝35°．故答案为：35°．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．11．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m﹣2022的值是﹣2021．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m﹣2的值．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m﹣2022＝1﹣2022＝﹣2021．故答案为：﹣2021．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长是1+．【分析】如图，连接AD．在Rt△ABD与Rt△ACD中，利用勾股定理分别求得BD、CD的长度，然后易求BC＝BD+CD．解：如图，设线段BC与⊙O相切于点D，连接AD．∵BC是⊙O的切线，D是切点，∴AD⊥BC，AD＝1．∴在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝1，∠ADB＝90°，BD＝＝＝．在Rt△ACD中，AC＝，AD＝1，∠ADC＝90°，CD＝＝＝1．∴BC＝BD+CD＝1+．故答案是：1+．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．13．某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程2000（1+x）2＝2420．【分析】设年平均增长率为x，则2021年人均收入为20000（1+x）万元，2022年则为20000（1+x）（1+x）万元，再由条件“2022年盈利2420万元”进而可得方程．解：设年平均增长率为x，根据题意：2000（1+x）2＝2420，故答案为：2000（1+x）2＝2420．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．14．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．若P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是3﹣．【分析】在AB、CD上分别截取BE＝CF＝BC＝2，连接CE、BF，两线交于点O，连接EF，则四边形BCFE为正方形，作四边形BCFE的外接圆⊙O，则所有符合条件的点P形成的区域为边AD、AE、DF、围成的封闭图形，根据矩形的面积公式，扇形面积公式，弓形面积公式进行计算便可．解：在AB、CD上分别截取BE＝CF＝BC＝2，连接CE、BF，两线交于点O，连接EF，则四边形BCFE为正方形，作四边形BCFE的外接圆⊙O，∴∠BOC＝90°，当点P在上时，∠BPC＝45°，∵P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，∴所有符合条件的点P形成的区域为边AD、AE、DF、围成的封闭图形，∴所有符合条件的点P形成的区域的面积为：S矩形ADFE﹣S弓形EPF＝2×1﹣（）＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】本题主要考查了矩形的性质，圆的性质，扇形的面积公式，弓形面积公式，关键是构造辅助圆确定P点运动区域．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．⊙C的半径长为1，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，则m的取值范围是＜m＜．【分析】作CE⊥AB于点E，作EF切⊙C于点F，连接CF，先由勾股定理求得AB＝4，列面积等式×4CE＝×2×2＝S△ABC，求得CE＝，再根据勾股定理求得EF＝，作BD切⊙C于点D，连接BD，求得BD＝，观察图形可知，点P的位置有4个需要满足的条件是EF＜m＜BD，即可求得＜m＜．解：作CE⊥AB于点E，作EF切⊙C于点F，连接CF，则CF＝1，∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，∴AB＝＝＝4，∴×4CE＝×2×2＝S△ABC，∴CE＝，∵EF⊥OF，∴∠CFE＝90°，∴EF＝＝＝；作BD切⊙C于点D，连接BD，则CD＝1，∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴BD＝＝＝，观察图形可知，点P的位置有4个需要满足的条件是EF＜m＜BD，∴m的取值范围是＜m＜，故答案为：＜m＜．【点评】此题重点考查圆的切线的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【分析】先把常数项﹣1移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x﹣1＝0，移项，得x2﹣2x＝1，配方，得x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．18．解方程（x+2）2＝3（x+2）．【分析】提公因式法因式分解解方程即可．解：（x+2）2＝3（x+2），移项，得（x+2）2﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x+2﹣3）＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．19．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）＞0，然后解不等式即可；（2）利用k的取值范围得到k的正整数为1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程即可．解：（1）根据题意得Δ＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）＞0，解得k＜2，所以k的取值范围为k＜2；（2）∵k为正整数，∴k＝1，此时方程化为x2+2x＝0，x（x+2）＝0，x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．（1）若∠ABC＝70°，求∠BAD的度数；（2）求证：＝．【分析】（1）根据OA＝OB，∠ABC＝70°可得∠ABO＝∠BAO＝70°，根据三角形的内角和定理得出∠BOA＝40°，根据平行线的性质求出∠C＝∠BOA＝40°，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数即可；（2）连接OD，根据OC＝OD，可得∠ODC＝∠OCD，根据平行线的性质可得∠AOB＝∠AOD，从而证得结论．【解答】（1）解：∵OA＝OB，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝∠BAO＝70°，∴∠BOA＝40°，∵OA∥CD，∴∠C＝∠BOA＝40°，∵四边形ABCD是O的内接四边形，∴∠C+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝140°；（2）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵OA∥CD，∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，∴∠AOB＝∠AOD，∴．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O过点B、C且与AB、AC分别相交于点D、E．求证：BD＝CE．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而可得＝，然后利用等式的性质可得＝，即可解答．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝，∴BD＝EC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．22．如图所示，面积为4500m2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10m，求绿化区的面积．【分析】设小正方形的边长为xm，则大正方形的边长为（x+10）m，绿化区的面积为10xm2，根据矩形广场的面积为4500m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入10x中即可求出绿化区的面积．解：设小正方形的边长为xm，则大正方形的边长为（x+10）m，绿化区的面积为10xm2，依题意得：（x+10+x）（x+10）＝4500，整理得：x2+15x﹣2200＝0，解得：x1＝40，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴10x＝10×40＝400．答：绿化区的面积为400m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．已知α、β是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0的两个实数根．（1）若α＝β，则m与n满足关系m＝n+2；（2）若β＜α＜0，求m+n的范围．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根分别为m，n+2，结合方程的两根相等，即可得出m＝n+2；（2）由（1）可得出方程的两根分别为m，n+2，结合方程的两根α，β满足β＜α＜0，可得出m+n+2＜0，解之即可得出结论．解：（1）∵（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0，∴（x﹣m）（x﹣n﹣2）＝0，∴方程的两根分别为m，n+2．∵α、β是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）﹣2（x﹣m）＝0的两个实数根，且α＝β，∴m＝n+2．故答案为：m＝n+2．（2）由（1）可知：方程的两根分别为m，n+2，∵方程的两根α，β满足β＜α＜0，∴m+n+2＜0，∴m+n＜﹣2．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法，求出原方程的两个实数根是解题的关键．24．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【分析】（1）连接OC、OP，由切线的性质得出∠PAO＝90°，证明△PCO≌△PAO得出∠PCO＝∠PAO＝90°，得出PC⊥OC．即可得出结论；（2）①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；证出四边形CMAE是矩形．得出AM＝证出△PCA是等边三角形．由三角函数求出OC＝2．由直角三角形的性质得出OE＝OC＝1，S阴影＝扇形OCBD的面积﹣△OCD的面积，即可得出结果；②由等边三角形的性质得出PM＝AM＝，求出CM＝PM＝3，由等边三角形的性质得出CI＝CM＝2，在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE＝＝即可．【解答】（1）证明：连接OC、OP，如图1所示：∵点C在⊙O上，∴OC为半径．∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA．∴∠PAO＝90°．在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠PCO＝∠PAO＝90°，∴PC⊥OC．∴PC是⊙O的切线．（2）解：①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；如图2所示：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝，∠CEA＝90°．∴四边形CMAE是矩形．∴AM＝，∴PM＝AM．∴PC＝AC．∵PC＝PA，∴△PCA是等边三角形．∴∠PAC＝60°．∴∠CAB＝30°．∴∠COE＝60°．∴∠COD＝120°．在Rt△COE中，sin60°＝，∴OC＝2．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝30°，∴OE＝OC＝1，∴S阴影＝﹣×2×1＝π﹣．②如图3所示：∵△PCA是等边三角形，∴PM＝AM＝，∴CM＝PM＝3，∵△PAC的内切圆圆心为I，则CI＝CM＝2，在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE＝＝；故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内切圆、切线的性质与判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和切线的判定与性质是解题的关键．25．商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，销售单价应为多少元？【分析】设销售单价应为x元，根据按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15000元的利润，列方程即可得到结论．解：设销售单价应为x元，根据题意得，（x﹣30）[600﹣（x﹣50）]＝15000，解得x1＝60，x2＝80，答：销售单价应为60元或80元；【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润×销售数量＝总利润列出关于x的一元二次方程是解题的关键．26．【习题再现】（教材P74第10题）如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？（1）完成原习题；【逆向思考】（2）如图②，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC，求证：I为△ABC的内心．【迁移运用】（3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）【分析】（1）连接BI，根据I是△ABC的内心可得出∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC，再由圆周角定理可知∠DBC＝∠DAC，BID是△ABI的一个外角可知∠BID＝∠BAD+∠ABI，故可得出∠IBD＝∠BID，由等腰三角形的性质可得出结论；（2）连接BI，由BD＝CD可得出＝，故可得出AD平分∠BAC．再由BD＝DI可知∠IBD＝∠BID，根据∠BID是△ABI的一个外角可知∠BID＝∠BAD+∠ABI．再由∠IBD＝∠DBC+∠CBI得出∠ABI＝∠CBI，即BI平分∠ABC，故可得出结论．（3）先做出△ABC的外接圆，再做BC的垂直平分线与圆相交与点D，在垂直平分线上截取DI＝DB，且使点I在△ABC的内部即可．【解答】（1）证明：如图①，连接BI，∵I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC．∵∠DBC，∠DAC是所对的圆周角，∴∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠BAD．根据角之间的关系可知∠IBD＝∠DBC+∠IBC．又∵∠BID是△ABI的一个外角，∴∠BID＝∠BAD+∠ABI，∴∠IBD＝∠BID，∴BD＝BI．（2）证明：连接BI，∵BD＝CD，∴＝，∴∠BAD＝∠DBC＝∠CAD，即AD平分∠BAC．∵BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID．∵∠BID是△ABI的一个外角，∴∠BID＝∠BA