基本不等式之1的代换

专题：均值不等式应用中“1的代换〃不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以与证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与竞赛题，可以发现均值不等式中与“1〃有关的试题频频出现，好学教育老师对此总结如下，以供大家参考.［题引］［XX省皖江名校2016届高三12月联考数学〔理〕试题］fx-2y-2<0已知实数D满足Vx+y-2<0)若目标函数.以+分+5(〃>0,10)的最小值为2,2x-y+2>0则2+2的最小值为〔 〕ab.8+2而D4+2屈99+2%,15八10+4迁B. B. C. D. 3 3 3［答案］D［解析］首先作出可行域，如下图所示，把目标函数z=⑪+by+把目标函数z=⑪+by+5(〃>0,b>0)，61015变形可得y-A1一t，斜率为负数，当z取得最小值时，联立求出交点A的坐标J2x—y+2=0...A(-2,-2)，当目标函数[x-2y-2:0z=ox+by+5(〃>0,b>0)过点A时取最小值，代入得a+b=3，即2(a+b)=12 3所以2+3二2(a+b)(2+3)二2(5+2b+型)N101^6，当且仅当点a午b时，2+3取ab3ab3ab3 ab最小值，故选D.［考点］线性规划；基本不等式之1的代换.［点评］这道题目除了考查线性规划外，还考查了常数的代换，或称为“1的代换〞，更具体的说，其与一般代换还是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一个1，或者是一个常数，因此，我们把此类解题技巧定义为“1的代换〞.［使用情景］使用“1的代换〞解题的结构特征：①都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式〃，所求也是“和式〃，同时要求两和式是一整式，一分式〔或化为分式〕；②已知“和式〃可变为常数“1〃；③两个“和式〃都是齐次式或可变为齐次式。符合上述特征的题目，通过“1〞的代换轻松解决问题。［题型归纳］题型1直接使用“1的代换〞22题目1：已知-+-=1,(x>0,y>0),则x+y的最小值为().xyA．1B．2C．4D．8［答案］D［解析］:x〉0,y〉0,(2.2・・x+y=(x+y)•［x+y)=4+21X+X^三4+气「!=8.当且仅当X=X，即x=y=4时取等号.故选D

题目2：设〃〉o,b〉o.若〃+b=1,则1+：的最小值是（）.aA.2B.1C.4D.8［答案］D［解析］由题意1+1=5b+4b=2+b+a力2+2、分=4,当且仅当b=aababab飞ab ab即a=b=1时，取等号，所以最小值为4.故选D变式1：若正数x，y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是〔A.2428~5BA.2428~5B55C．5D．6审题：由于已知x+3y=5xy可变成5y+2=1,符合“1〃的代换法解题指针。解：变式2：在4义〔〕+9义〔〕=60的2个〔〕中，分别填入2个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填和。审题：设所填2数分别为x、y，则已知条件可变为4x+9y=1,符合“1〃的代换法解题指针。解：题型2构造的“1的代换〃此类题目没有直接给出和式条件，所以需要从条件中找出和式条件，继而使用“1的代换〃进行求值.题目3:设〃 若书是3,与3,的等比中项，则的最小值为〔abA.1 B.1 C.4 D.84［答案］c［解析］试题分析：由等比中项得3〃⑶==3a+b=1.♦・1+1/1+1"a+b)=2+乜+b>2+2近=4，当且仅当a=b时等号成立，abIab) ba ba所以最小值为4,故选C考点：均值不等式求最值TOC\o"1-5"\h\z题目4:已知正项等比数列「满足：a=a+2a，若存在两项a,a使得、OT=4a，765 mn mn1则L+4的最小值为( )mnA.3B.5C.25D.不存在2 3 6［答案］A［解析］因为「一所以二'=一：.：.-：:.，即::2=?，解得”二。若存在两项二.二，有小二二一二,即二二二二：「，二二.一二16］，即二—二上，所以；二一-.一二二，即三二二：。6所以】 ! 】一：：一二I.一二.：一、，~~二3，-+-=(—+-)(——)二三(5十—十一)之三(5+N—^-)=-mnmk6onm \nm2当且仅当- 即―一二一一取等号，此时 —■jxi于f。—工m ।ft—q—Jfrknm所以「二二.”一时取最小值，所以最小值为三，选A.［点评］上面两道题目是关于求最值的题目，且是二元式子的最值，此类题目我们要做的是首先找两变量之间的关系.变式3:设O为坐标原点，第一象限内的点M(x,y)的坐标满足约束条件［2X一y一6-0，ON=)a,0)(a>0,b>0)，若加ON的最大值为40，则5+1的最小值x一y+2>0 ab为〔〕〔A〕25 〔B〕4 〔C〕1 〔D〕4［答案］B审题：找出和式条件解：变式4：函数y=log(x+3)-1(a丰1,a>0)的图象恒过定点A，若点A在直线amx+ny+1二0上，其中m>0,n>0，则L2的最小值为.mn［答案］8解：变式5:已知a>b>0，且a+b=2，贝1+上的最小值为a+3ba一b［答案］3+2”4解：题型3隐藏“1〞此类题目条件中没有给出含“1〞的等式，无法直接使用“1的代换〞法求解，但观察题目，发现其分母之和为常数，故可构造出“1〞的等式，即可使用“1的代换〞法求解.题目5：已知0J<1,a>0,b>0，求y=t+工的最小值.X1一X［答案］(a+b)2［解析］试题分析：y二竺+上=［上+工］［X+(1-X)］X1—X(X1—X)7a2(1—X)b2x a2(1—x)bX-a2+b2+ +>a2+b2+2 • =a2+b2+2ab-(a+b)2X 1—X XX 1—X当且仅当a2(1—X)-bX，即X-2时等号成立x 1—x a+b故y-(a+b)2min［点评］本题条件中没有给出含有1的等式，无法直接使用“1的代换〞法求解，但观察待求函数易知其分母和为1,故可将1-X+(1-X)代入所求函数解析式，即可用“1的代换〞求解.题目6：已知0e(0,3，求函数f(0)-，+的最小值2 sin20cos20［答案］9.［解析］试题分析：f(6)/，+上］(sin26+cos26)=5+0+9Isin26cos26) sin26cos26cos264sin26「“八>5+2—— -5+4=9\sin26cos26当且仅当"6=4sin26，即sin6=亘时取等号sin26 cos26 3所以函数f(6)=，+-±-的最小值为9.sin26cos26变式6:已知6e(0,3，m>0,n>0,mn常数，求3+j的最小值2 sin26 cos26解：变式7：求（+上（°。＜3）的最小值解：题型4部分使用“1的代换〞若形如“已知m+nb=1，求1+上（m,n,a,b,k都是大于0）的最小值〃，只需部分使用akb“1的代换〃，即1+a=m。+n+巴=……akbakb题目7:设正实数ab满足a+b=2则1+上的最小值为.' 'a8b［答案］1［解析］试题分析：・・・a>O,b>0，TOC\o"1-5"\h\z1 a a+b a 1 ba、1b a 11..•._+—= +一=_+——+——>-+2—•——=+—=1-a 8b 2a 8b 2 2a8b 2 \2a 8b 22当且仅当A=巴即a=4,b=2时取得等号.2a8b 3 3题目8：［2013XX理］设a+b=2,b>0,则当a=时，，+⑷取得最小值.21aIb［答案］-2［解析］试题分析：因为a+b=2，所以1=eb2EFrl)J1IaIa+bIaIab IaI ablaia<所以+ =+ =++ >+2 =+12IaIb4IaIb4IaI4IaIb4IaI\4IaIb4IaI当且仅当工+回，即b=2IaI时取等号，4IaIb当、八时1IaIa15.当a>0时， + >+1=+1=—；TOC\o"1-5"\h\z2IaIb4IaI4 4当,八时1IaIa1 13.当a<0时，+ >+1=+1=；2IaIb4IaI 4 4所以，+⑷的最小值为3，此时b=-2a2IaIb 4又a+b-2'所以a+(-2a)=2，即a——2变式8:设a>0,b>1满足a+b-2，贝I旦+1的最小值为.b—1a解：题型5非齐次使用“1的代换〞在使用“1的代换〞时，注意保持两和式是同次的.题目9:已知a,beR+且2a+b=1，则1+±的最小值是.a2b2［答案］32［解析］试题分析：1-+—=(1-+4-］(2a+b)2=(—+4-］(4a2+4ab+b2)a2b2Ia2b2) (a2b2)8+4b+4a>2E=4，当且仅当b二㈣，即b=2a时取等号；ab\ab ab吃+竺”>2匕竺竺=8，当且仅当巴+16"，即b=2a时取等号；a2b2 \a2b2 a2b2所以1+1>8+4x4+8二32，当且仅当b二2a时取等号；a2b2所以1+士的最小值为32a2b2［点评］在使用“1的代换〞时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立的条件是否一致.变式9:已知a,beR+且1+±二1,则2a+b=1的最小值是.a2b2解:4-154-15人单科班好学教育名师榜X莉莉：原某辅导机构的教学部主任，主讲高中化学，多年从事高中化学与高考辅导教学，X老师教学经验丰富，强调化学的整体和细节，擅于将不同的题目归类，使得题型的讲解易懂化和形象化。课风严肃和有趣并存，X老师的化学课，最能激起学生学习的兴趣，能最大限度地体现学生的主体性。X恒：原某辅导机构的数学部主管，主讲高中数学，多年从事高中数学与高考辅导教学，对高考考点和题型有着深刻的认识。授课沉稳又不失幽默，有着较强的亲和力，教学思路清晰，注重复杂知识的简单化，善于对试题进行总结，帮助学生举一反三，提高学习效率.孙明明：原某辅导机构的理综部主管，主讲高中物理，多年从事高中物理与高考辅导教学，孙老师课堂最大特色就是：互动教学，趣味教学；最大限度的让学生参与到课堂中，摒弃了填鸭式教学，引导学生主动思考；轻松、简练，会让复杂的物理变得简单有趣.X海涛:外国语大学高材生，英语专八高分得主，3年英语培训