流体机械现代设计（二）-强度校核(1)课件

流体机械现代设计（二）——强度校核（安全）前言研究内容叶轮的安全——足够的强度2.轴承的安全——振动（临界转速）——位移（轴向推力）3.轴承的承载第一章

轮盘应力分析及强度计算一.工作与失效（叶轮）1.工作情况：整个机器（系统）的心脏。靠一定的过盈或键配在轴上，在转轴的带动下，高速运转，传递能量。2.受力情况：（1）整个叶轮：承受离心力（2）内孔处：挤压力（3）气体压力（一般可忽略）3.失效情况：（1）在离心力的作用下破坏（2）在高速下松脱（过盈量的问题）轮盘（叶轮）应力计算的微分方程叶轮以角速度旋转，取一微元体（见书图1-1）不考虑热应力，则受力分析如下：1）微元体的离心力，方向为径向向外2）在半径为R的圆柱面上均布径向应力，其合力为Fr，方向向内(A)(B)图1.13）在半径为（R+dR）的圆柱面上均布径向应力，其合力为，方向向外：4）夹角为的微元体两侧面为切向应力，其合力为F，方向与对应的子午面垂直，大小为：(C)

将（A）、（B）、（C）、（D）代入式（E），并因为很小，同时略去高阶微量，整理得到：上式即为轮盘应力状态的微分方程。又由材料力学和图1-1知，切向应变和径向应变与径向变形之间的关系为：（不考虑热应力）(1-1)

=(1-2a)且有虎克定律：将（1-2）（1-3）代入式（1-1）得：

（1-3）(1-2b)三.等厚度轮盘的应力计算“厚度”即轴向宽度。等厚度，即轮盘厚度B（R）=常数。由（1-3）式可知，当B（R）=常数时，式（1-3）变为：（1-4）上式可整理为：上式积分一次，得：等厚度轮盘再积分一次得：（A）上式对R微分一次，得：（B）式中：a1、a2为积分常数。将式（A）、（B）代回式（1-2a），式（1-2a）再代入（1-2b）得：若以下标“j”表示某轮盘段的内径，则有或又若已知某轮盘段内径（或）处的应力和，显然，他们也应满足式（1-5），所以则应该有：

上式只有和为未知数，解上式，可得：

解出和后，将上式代回式（1-5）（即任一截面半径处的应力表达式），且令：

①②，(1-6）（1-7）

（1-8）式中：D——计算应力处的直径（mm）；n——轮盘转速（转/分），则式（1-5）变为:例如，对于铝：铝=钢铝同理。

③对钢质材料，计算系数、、、、均已制成图线查取，见图1-2。但、是工程单位制kgf/cm2，乘以0.09807则变成为国际单位制MPa。④式（1-9）表明，对一个等厚度轮盘，若已知尺寸、材料及转速，那么，若又知内径处的应力和，则可求出外径的和，这个“外径处”不一定非是最外表直径，只要直径大于已知应力和所处的直径即可。习题：有一铝圆盘，尺寸如图所示，已知：

，转/分，试求：内孔处的切向应力解：1.求应力计算系数

由，查图1-2得：

=-85.5，=46.5/100=0.465

2.计算应力

（1）由应力计算式得：因为已知，所以得内孔处的切向应力：

第二节锥形轮盘应力计算

本节讨论“锥形盘”的应力计算，“锥形盘”如图所示：其截面形状实际为一梯形。（阴影部分），由于最终计算式的系数的计算（图线查找）涉及到梯形两侧边延长线的锥顶直径D，所以又称为“锥形盘”。

锥形轮盘最终应力计算式与“等厚度”轮盘应力计算式相类似，为：而：（1-12）

2.计算式中的为：（1-13）

锥形轮盘应力计算式中的这6个系数已制成为图线，通过和便可查到（见书的图1-4~图1-9）

第三节轮盘截面突变的应力计算实际中因为种种原因，轮盘厚度（轴向宽度）沿径向有可能存在突变，如图所示：（图2）在半径为Rj处为相邻两段的交界处，此处厚度B出现突变，由——，应力则由和变为和，但由于是在同一半径处两段（j和j+1段）在这里的径向变形是唯一的，即只有一个确定值。一.截面突变的相邻两段径向应力间的关系

根据连续条件和平衡条件，在处截面上作用的总径向力应该相等，即有：

所以有：（1-14）

二.截面突变的相邻两段切向应力间的关系

由虎克定律，在处，j段和（j+1）段的切向应变分别为：

由于叶轮在同一半径（）处，其径向变形是唯一确定值，否则论盘在该处就断开了，即应，所以，这样由虎克定律就得到：

（1-15）

第四节

任意截面形状轮盘应力计算实际中的轮盘形状复杂，但总可以简化为若干个简单形状的组合，（即简化为若干个等厚度形状和锥形形状的组合）。

简化时遵循：质量相等（或相近）原则，具体如下图：图3

一．划分截面：

这是一个形状较复杂的离心叶轮后盘，我们将其简化为由4断组成：

第Ⅰ段：从R0---R1，为“等厚度”，厚度为B0=B1；（从R1到RA，我们视具体形状将其简化为由3段组成）

第Ⅱ段：从R1——R2，为“锥形截面”，R1处的宽度为B1*，R2处的宽度为B2。第Ⅱ段与第Ⅰ段的公共半径为R1处，存在“截面突变”，对第Ⅰ段，此处宽度为B1，对第Ⅱ段，此处宽度为B1*；

第Ⅲ段：从R2——R3，为“锥形截面”，R2处宽度为B2*（=B2），R3处宽度为B3；

第Ⅳ段：从R3——Ra，为“等厚度”截面，R3处宽度为B3*（=B3），Ra处宽度为Ba。

二．逐段递推计算应力

（假定：已知内孔R0处的和）11．

方法：从轮盘内径R0处开始，从内向外，逐段计算，直到外径Ra；22．

公式：（1-9）——“等厚度”（书为式（1-26））（1-10）——“锥形”（书为式（1-35））33．原则：逐段递推时遵循以下原则：第Ⅰ段外径处（R1）的应力和作为第Ⅱ段内径R1*（R1*=R1）的应力。（若第Ⅰ段与第Ⅱ段之间有截面突变，还要利用式（1-14）和（1-15）（书的式（1-31)和（1-32a）进行应力变换）,第Ⅱ段外径处的应力和作为第Ⅲ段内径处的应力，类推………，逐段计算出各个半径的应力和具体到本节图中的情况，逐段计算的情况如下：

第五节递推——代入法计算轮盘应力

前面已叙，对任意形状的轮盘如何逐段递推计算出应力分布，但到目前为止，这种计算是有一个前提的，即：假定已知轮盘内径处的和（若为整个叶轮，则应知其内孔R0处的和）一.实际情况是：1.高速旋转的流体机械，轮盘内孔与转轴的联接一般采用过盈配合（即轮盘孔径小于转轴外径），根据其过盈量，由其他途径（方法）是可以事先计算出轮盘内孔处的

（径向应力）的（后面的章节中将具体介绍如何由过盈量事先计算轮盘内孔处的)；这就意味着是可以事先知道的

2.轮盘内孔处的切向应力是事先不知道的。

小结：对任意形状轮盘应力计算的：1）

原则：划分截面——简化为由“等厚度”和“锥形”截面组成。由内向外逐段递推计算2）公式：等厚度轮盘——式（1--9）(书为式（1-26）)锥形轮盘——式（1-10）（书为式（1--35））

3）前提：已知最内截面（即内孔）处的和

4）实际：可知径向应力、切向应力不能事先已知。

二．解决办法：——“递推——代入法”

1．

将任意形状轮盘简化为由“等厚度”和“锥形”截面组成）——即划分截面

2．

将轮盘内孔处（已知）和（未知，就作为未知数）代入公式（1--9）或公式（1--10），从内

向外逐段递推计算，直至最后一段截面的外径（也就是整个轮盘的外径）。

分析：在逐段递推的过程中，无论是用到式（1--9）对“等厚度截面”）还是用到式（1—10）（对锥形截面），公式中的已知量和未知量之间始终是一种线性关系，即：

（式中下标“J”表示递推过程中任一段的外径）此时，函数关系和始终是线性关系的，且在上面二式子中，由于是已知的所以上面二式始终是二个二元一次方程，即：

（1-16）13．

边界条件的引入1）

对离心叶轮：轮盘外径RA（DA）（即叶轮外缘）处

于自由状态，有=022）

对轴流叶轮：其轮毂外径处，受有叶片的拉力，所以有=某定值4．

解

对轮盘的最外径Ra（Da）处，式（1-16）的第一式则为：

前已述，由于上式是一个二元一次方程，再

引入边界条件=0或=某定值后就可以解出，即（1-17）5.求解整个轮盘的应力分布

求出后，由于是已知的，这样轮盘内孔D0处的、就均为已知了，重复第2步的计算过程（从内向外逐段递推计算），便可求出整个任意形状的轮盘的应力分布了。

第六节套装轮盘的装配过盈量和轮盘

真实应力计算

一．轴、轮盘过盈配合及其松动转速的概念高速旋转的流体机械其叶轮和转轴之间的连接方式是依靠“过盈”而紧紧连成一体的，即装配前叶轮内孔直径小于转轴的外径，装配时加热叶轮内孔及其周围，使其膨胀，达到一定程度，迅速套到转轴上，冷却后成为一体，情况如图图1-24套装前：轴、盘需要维持半径过盈值：

某值套装后：（1-18）

（1-19）所以：

分析：1)还未转动时（n=0）半径过盈值为，那么，套装后，由于相互作用，盘孔内径被挤大，即转轴外径被压小，当n增大，由于质量离心力的作用，盘内孔直径与轴的外径都增大，即增大（即孔径向变形），而转轴径向变形绝对值减小，这样，盘轴配合的径向挤压应力减小，当过盈的压应力引起的变形大于转轴自身离心力引起的变形时，则仍然为负值，盘、轴紧紧配合。静止轮盘过盈配合应力分布示意图盘轴2）转速n继续提高，达到某值时，轴的径向变形=0，如上图C所示，此时有：或（是=0时对应的孔内径）此时，盘、轴的配合表面刚好相互贴合。3）当转速n继续增大（超过=0时的n值时），此时将出现，如上图d所示，过盈消失（），此时盘内孔处与轴外表面之间的挤压应力，松动，故称此时的转速为：

松动转速4）为安全起见，应有（n为工作转速），一般取：（1-20）注意：

对电机拖动或转速很高的流体机械，取下限；

对汽轮机拖动，则可取上限。

二．装配过盈量与装配挤压应力的关系盘与孔过盈套装后，盘内孔受挤压，其应力为（见图中b），轴受压，其应力为，(见图中的c）此时，(称过盈挤压应力）此挤压应力与过盈量及轴、盘有关尺寸的关系为：

（1-21）（注：本节讨论只针对实心轴，空心轴暂步讨论）在目前这种状态下（即静止状态n=0），由于过盈配合轴的外表面合盘的内孔表面均受到挤压应力，由于的存在而引起的轴和盘在静止状态时的应力分布为：

分布情况如上图的d所示。此时的最大应力（和）均在盘的内孔处，为：

对轮盘：（1-22）对轴（实心轴）：

（1-23）（1-24）三．按松动转速计算装配过盈值的大小前面已经讲述，当盘孔和轴外径之间存在着过盈量时（孔大轴小），套装后，盘孔和轴外径之间产生挤压应力，轴和盘紧固在一起，叶轮随着轴旋转而对气体做功。随着转速增高，过盈量减小，当转速到某一值时，=0，盘与轴脱离，发生松动，显然，这是我们不希望的，过盈量消失的瞬间，所对应的转速称为松动转速。为了不发生松动，就必须保证在套装前有足够大的过盈量，但过大的过盈量也是不科学的，因为过盈量太大，不易套装，且造成盘内孔膨裂，所以要有一个合理的过盈量。为此，我们按松动转速来计算所需要的过盈量的大小，从而达到既不发生松动（只要转速低于松动转速），又容易套装且不发生内孔膨裂，如下：

（1-25）式中：——孔半径（米）——泊松比——材料密度（kg/m3）——工作转速（rpm）——与对应的角速度——松动转速（rpm）——轮盘自由旋转时盘孔处的切向应力（即=，=0，=0时的孔处切应力）

注：在转速n为工作转速时，=0也即内孔处的径向应力==0时，根据前面介绍的简化截面原则，“等厚度”或“锥形”截面计算公式，从里向外逐段递推原则以及“递推——迭代法”，最后利用最外径处的边界条件=0（或定值），便可求出四．根据过盈量计算值去规划配合相配合的轮盘和轴，盘的孔径和轴的外径，其公称尺寸是相同的，均为Ri（或Di），但是，根据不同的配合等级，分别会有不同的上、下偏差，例如：轮盘内孔：

轴外径：在轮盘内孔和轴外径加工的过程中，肯定有误差，只要这个误差在上下偏差的范围内，就是合格产品，与此相对应的实际过盈量也就会在一个对应的范围内，这个范围就是所谓的过盈量值和最小实际过盈量值：

即和,上面的例中=mm=mm所谓“规划配合”，就是盘孔、轴外径上下偏差所产生的必须满足：（计算的过盈量值）（1-26）以保证只要工作转速低于松动转速，就不会发生松动。

五.

在最大实际过盈量和工作转速下的轮盘

1.

应力计算在根据计算过盈量值规划好配合后，实际过盈量

值则在最大实际过盈量和最小实际过盈量这

个范围之内，从安全的角度出发，应该以（以及工

作转速）来计算轮盘应力，因此，首先应该计算在

和工作转速下，轮盘内径Ri处的剩余径向应力，

即：式中：——在=，=0，=0状态下（即“盘自由旋转”时）盘内孔处的切向应力。（1-27）2．求出盘内孔剩余径向应力后，便可以利用此的值和“递推——代入法”计算在工作转速时该轮盘的真实工作应力分布了。小结：若已知：叶轮轮盘结构及尺寸、材料特点、工作转速等运转状态，求解应力分布、安全校核的具体步骤：(1)

将任意形状的复杂轮盘简化为“等厚度”和（或）“锥形”截面的组合；

（2）

用“递推——代入法”和“等厚度”、“锥形”轮盘应力计算公式计算=0（=0），为工作转速时，该轮盘的应力（、）及其分布，计算时由内向外逐段递推，并最终利用边界条件

=0（或定值），解得内孔处的切向应力

（3）由式（1-25）计算松动转速下的过盈量值

（4）保证实际过盈量下规划配合，并计算出所选配合下的和值。（5）以式（1-27）计算在和工作转速状态下，轮盘内径（孔）Ri处的剩余径向应力，由此内孔剩余径向应力并再次利用“递推——代入法”求轮盘真实应力大小及分布，最终校核其强度：式中：——材料屈服极限 ——安全系数，各行业自定。

第七节叶片质量对轮盘应力影响的估计

离心叶轮，其一般结构形式如下图所示：

它主要由前盘（又称轮盖）、后盘（又称轮盘）和一定数量的叶片组成，其连接方式是将叶片铆接或焊接在轮盘和轮盖上，组成一个整体——叶轮。对于单独的轮盘或轮盖，其应力计算前面已经做了全面介绍，现在要讨论的问题是：叶片随轮盘、轮盖一起旋转，其质量产生的离心力必然对轮盘和轮盖的应力产生影响，下面将讨论如何考虑和计算这种影响。

如图所示，具体步骤：1.

假设将总数为Z的各个叶片全部粉碎，再紧贴在轮盘与轮盖之间，沿整个盘面3600都贴上，显然此时这种粉碎再贴上的“叶片”的轴向宽度即“厚度”依质量不变的原则应该为则（1-28）式中：——直径D处粉碎后叶片质量产生的附加厚度

A——原真实叶片在D处的横截面面积。2．认为：经过上述处理后，叶片质量使轮盘产生离心力的厚度增加，而承受离心力的厚度不变，仍为原轮盘厚度。这种处理方式，其实质相当于增加了轮盘在该处的密度，从而增加了由离心力引起的应力值。这样处理的好处是保持了轮盘原结构和尺寸不变。3．应力计算式的修正首先上述处理既然保持了轮盘原来结构和尺寸不变，那么，以前得出的“等厚度”和“锥形”轮盘应力计算式原则上仍能采用，如下：等厚度：

锥形：

前面已经讲述，系数、只是轮盘结构形状和尺寸比的函数，现在轮盘结构和尺寸均没有变，所以公式中的这些函数也没有改变，仍能用。但在前面的分析中我们也知道，公式中的第3项系数（、、、）是与材料的密度有关的。也即反映了离心力的影响的，而现在这种处理方式正是相当于增加了材料的密度，增加了由离心力引起的应力值，所以，只需对第3项系数作出相应修正即可，即应力计算式修正如下：1）

对“等厚度”轮盘：

式中：

（1-30）

（1-31）（1-29）（1-32）

--在直径D1处的叶片附加厚度；B1--该处轮盘厚度；--在直径D2处的叶片附加厚度；B2--该处轮盘厚度。原来的系数、、、、、以及增加的2个系数、均仍只是相对尺寸的函数，可查取。