高考数学25个必考点专题08解三角形检测

专题08解三角形一、基础过关题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于()A．135°B．105°C．45°D．75°【答案】C【解析】由正弦定理知sinAEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(BC,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(BC,sinA＝sinCEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(AB,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(AB,sinC，即sinAhps21\o(\s\up9(2,hps21\o(\s\up9(2,sinA＝sin60EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,sin60°,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3°，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2因此sinA＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,2，又由题知，<，∴＝45°.BCABA2．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA\*hps21\o(\s\up9(2，则b等于()＝3,\*hps21\o(\s\up9(2,3．2D．3【答案】D3．(2016·西安模拟)设△的内角，，C所对的边分别为，，，若bcos＋cosBABCABabcCcasinA，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，在三角形中sinA≠0，sinA＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C，知b＝c，综上可知△ABC为等腰直角三角形．4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的状况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确立【答案】C【解析】由正弦定理得sinBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,sinB＝sinC*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c,*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c,sinC，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC＝2＝>1.∴sin＝c,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC,cB∴角B不存在，即知足条件的三角形不存在．5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c－bc－a,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c－b,c－a＝sinCEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(sinA＋sinB＋sinB,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(sinA,sinC，则B等于()A.EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πB.6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πC.4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πD.3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3π,4【答案】C26．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πC6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6，＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4，则△ABC的面积为()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1【答案】BEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π【分析】∵b＝2，B＝6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6，C＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4.由正弦定理sinBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(b,sinB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(csinC,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(c,sinC，csinBc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC得＝,c0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(bsinC,sinB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1＝2，2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2A(EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π＝π－6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π)4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4＝libri"\*hps21\o(\s\up9(712,libri"\*hps21\o(\s\up9(7,12π，∴sinAsin(EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π)sin3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πcos4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,43hps21\o(\s\up9(πcos3,hps21\o(\s\up9(π,3＋EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πsin4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,4EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2.4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,41EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1则S△ABC＝2,1,2bc·sinA＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2＝＋1.×2×2×4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,47．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4，cosC5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4,5＝Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(5，＝1，则＝.13,Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(5,13abEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21【答案】13,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,13【解析】在△ABC中，由cosA＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4cosC5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(4,5，＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(51,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(5,1，sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3，sinC＝可得A＝5,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,5EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(12，sinB＝sin(A＋C)＝sin13,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(12,13cos＋cos·sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(63＝65,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(63,65，ACACb＝sinAt:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(asinB由正弦定理得,t:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(asinB,sinA＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21.13,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,138．在△中，角，，C的对边分别为，，c.若(a2c2b2＝ac，则角B的值＋－)tanABCABabB为．EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π【答案】3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3或i"\*hps21\o(\s\up9(2π3,i"\*hps21\o(\s\up9(2π,3【解析】由余弦定理，得4EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(a2＋c2－b22ac,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(a2＋c2－b2,2ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(32,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2，∴sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3，∴B＝B＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3或EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π,3.9．在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知△的面积为3，－＝2，ABCABCabcABCbcEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1，则acosA＝－4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,4的值为．【答案】8如图，某住所小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个进出口，且小区里有一条平行于AO的小道CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若这人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．【答案】50【分析】如图，连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得222°＝17500，解得OC＝50.OC＝100＋150－2×100×150×cos60511．(2015·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．求A；若a＝，b＝2，求△ABC的面积．【答案】(1)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πA＝3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3；EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.(2)面积为2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2方法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π而由a＝，b＝2，A＝3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，因此c＝3，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1bcsinA故△ABC的面积为S＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π方法二由正弦定理，得3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝sinBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2,sinB，进而sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21B＝7,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,7，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(77,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(7,7，故sinC＝sin(EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πA＋B)＝sin3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝sincosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＋cossinBBEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π3,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,3＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21.14,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(21,146EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1absin因此△ABC的面积为S＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(1,2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.C＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,212(2018·全国卷Ι·17)在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.因此.13.(2018·北京卷·15)在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．7（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如下图，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．二、能力提升题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且知足asinB＝bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为．【答案】12在Rt△ABC中，C＝90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且知足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．【答案】(1，]8EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a＋b【分析】x＝c,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(a＋b,c＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(sinA＋sinBsinC,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(sinA＋sinB,sinC＝sinA＋cosAEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π＝sin4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4.又A∈EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,2，EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π∴sin4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4＜sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,4≤sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π，即x∈(1，]．2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps24\o(\s\up11(π,23．(2015·湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA.(1)证明：sinB＝cosA；(2)若sinC－sinAcosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3B＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4，且B为钝角，求A，B，C.(2)解由sinC－sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3AcosB＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4知，sin(A＋B)－sinAcosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3B＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4，∴cosEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3.AsinB＝4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4由(1)知，sinB＝cosA，∴cos2A＝9EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3，因为B是钝角，4,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,4πEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3π故A∈,2，∴cosA＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2，A＝,6.sinEQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3BB＝2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(3,2，＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(2π,3，∴C＝π－(A＋B)＝,6.4.在△中，角，，C的对边分别为a，，，且2－(b－)2＝(2－)bc，sinsinBABCABbcacA2EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(C，BC边上的中线AM的长＝cos2,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(C,2为.求角A和角B的大小；求△ABC的面积．【答案】(1)EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(πA＝6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6，B＝EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π6,EQ\*jc0\*"Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(π,6；△ABC的面积为.【分析】(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cosEQ\*jc0\*"Font:Ca