哈尔滨工业大学 11 结构力学- 结构的极限荷载课件

工程力学学科组李强HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

结构力学STRUCTURALMECHANICS1§17.1极限荷载的概述此前主要讨论结构的弹性分析：假定应力应变关系是线性的；荷载卸去后，结构无任何残余变形；应力达到材料的极限应力即认为结构将破坏；正常使用条件下弹性计算能给出足够准确的结果；以弹性极限作为设计依据的设计方法称弹性设计法。2哈工大土木工程学院弹性设计法有一定的缺陷：对塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力达到屈服极限时，甚至某些截面进入屈服时，并没有耗尽全部承载能力；以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力不经济合理；安全系数k也不能反映整个结构的强度储备。3哈工大土木工程学院理想弹塑性材料假设：OACBD在OA段线性，满足在C点卸载，满足在AB段应力达到屈服，材料进入塑性流动；加载时是弹塑性，卸载时是弹性。经历塑性变形后，应力～应变关系不再是单值关系5哈工大土木工程学院满足理想弹塑性的梁段，在纯弯曲状态下分析σ中性轴§17.2基本概念

ε中性轴6哈工大土木工程学院随着弯矩的增大，梁会经历一个由弹性阶段到弹塑性阶段最后达到塑性流动阶段的过程当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大以后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用。但截面上的应力分布不再与截面高度保持线性关系。7哈工大土木工程学院塑性流动阶段

弹性核趋于零时，整个截面都屈服，此时截面所能承受的最大弯矩称极限弯矩Mu

：中性轴等分截面面积Wu塑性抗弯截面系数9哈工大土木工程学院截面形状系数矩形=1.5

圆形

1.7

工字形

1.15

屈服弯矩Ms、极限弯矩Mu只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关,与外力无关何种截面强度储备较多？10哈工大土木工程学院塑性流动阶段一个重要现象：在极限弯矩保持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相对转角（类似带铰的截面）称此截面为塑性铰。塑性铰特性：塑性铰与普通铰的差别：

1.塑性铰可承受极限弯矩～普通铰不承担弯矩2.塑性铰是单向的～普通铰是多向铰3.塑性铰卸载时消失～普通铰与荷载无关4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面～普通铰位置固定塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载)，塑性铰即消失。11哈工大土木工程学院例题：已知材料的屈服极限σs

=240MPa，求图示截面的极限弯矩。100mm20mm解:A1形心距离下端0.045m

A2形心距离上端0.01167mA1与A2的形心距离为0.0633m13哈工大土木工程学院历程：加载初期→弹性极限荷载→塑性区扩大→形成塑性铰（机构）→极限荷载§17.3静定梁的极限荷载

出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载FPu。塑性铰出现的位置？如何确定极限荷载？FPl/2l/2ABC（取截面弯矩与极限弯矩之比大者）（截面弯矩等于极限弯矩，平衡条件）14哈工大土木工程学院FPl/2l/2ABC也可通过建立极限状态的虚功方程求出极限荷载。由虚功方程FPu当把截面C的极限弯矩考虑成内力矩时：平衡状态虚位移状态15哈工大土木工程学院超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点静定梁只要出现一个塑性铰就变为机构而丧失继续承载能力；超静定梁由于有多余约束，必须出现足够多的塑性铰才能使其变成机构而丧失继续承载能力。§17.4单跨超静定梁的极限荷载

17哈工大土木工程学院弹塑性阶段，随荷载增加，A截面塑性区不断增大，弯矩图的变化不再与弹性弯矩图成比例，A截面逐渐形成塑性铰。FPl/2l/2ABCFP<FPsABCFPs<

FP<

FPuABCFP=

FPuABC此时结构尚有进一步承载能力。随荷载增加，A截面弯矩不再增加。荷载增量引起的弯矩增量分布类似于简支粱的弯矩图。C截面弯矩逐渐增大，当C截面弯矩增大到极限弯矩时，形成第二个塑性铰，结构变成机构，梁的承载能力达到极限。18哈工大土木工程学院A截面先出现塑性铰，这时再增加荷载使C截面出现塑性铰将FP代入，得逐渐加载法（增量法）19哈工大土木工程学院例题：试求图示结构的极限荷载qu

解：qABABq①首先求当出现第一个塑性铰时支座B的约束反力FRB由梁的弯矩图可知：第一个塑性铰必出现在固定支座处；21哈工大土木工程学院第二个塑性铰位置待定，由弯矩图知道，应在梁中某处，设距支座A为x处。梁x处的弯矩应最大,达到极限弯矩，对应剪力为零。②③qAB①22哈工大土木工程学院由①③解得⑥④⑤由②③④解得由④⑥解得不合题意，舍弃23哈工大土木工程学院例题：求变截面梁的极限荷载可能出现塑性铰的位置（A、B、C）。即塑性铰可能出现的位置除弯矩较大点外，还与截面突变位置及极限弯矩的比值η有关。ABCFPl/3l/3l/3D解：首先绘制弯矩图25哈工大土木工程学院破坏机构实现的条件：（1）B、C点出现塑性铰则：FPMuMuMuMuABCDABCFPD26哈工大土木工程学院例题：求图示变截面梁的极限荷载(η=2)解：确定塑性铰的位置：ABCFPl/3l/3l/3D由于η=2，根据前面的讨论，塑性铰只能在A、C截面出现。列虚功方程ABCFPDABCD当η＝1时，将如何？

η＝1/2时又当如何？29哈工大土木工程学院比例加载的含义：求极限荷载相当于求比例参数P的极限值FP1FP3q2§5比例加载一般定理1.所有荷载变化时保持同一比例；2.只是单调增大,不出现卸载过程。30哈工大土木工程学院结构的极限受力状态应满足的条件：两个定义：

1.可破坏荷载，由单向机构求得的荷载2.可接受荷载，内力皆不超过极限弯矩的荷载所以满足1，3条件；满足1，2条件。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载⒈平衡条件：整体、局部皆平衡；⒉内力局限：各截面弯矩不大于其极限弯矩；⒊单向机构：机构沿荷载方向做单向运动。31哈工大土木工程学院基本定理：唯一定理(单值定理)：FPu是唯一的上限定理(极小定理)：下限定理(极大定理)：比例加载时关于极限荷载的四个定理：可破坏荷载：不一定满足内力局限条件可接受荷载：不一定满足机构条件32哈工大土木工程学院利用上、下限定理，一方面可以得出极限荷载的近似解，并给出精确解的范围；另一方面可用来求极限荷载的精确解。穷举法：完备地列出可能的破坏机构，用平衡条件求出各破坏荷载，利用上限定理取其最小者即极限荷载。试算法：每次选择一种破坏机构，并验算相应的可破坏荷载是否同时也是可接受荷载，如果是，根据唯一性定理，它即极限荷载。33哈工大土木工程学院例题：求图示等截面梁的极限荷载。解：用穷举法求解共有三种可能的破坏机构FPl/3l/3l/3FPFPFPFPFPFPFP34哈工大土木工程学院令解：用上限定理（极小定理）计算例题：求图示等截面梁的极限荷载。AB平衡状态虚位移状态35哈工大土木工程学院连续梁的极限荷载连续梁破坏机构的形式：假定连续梁在每跨内为等截面(各跨之间截面可以不同)；荷载方向相同；比例加载。这样的连续梁只可能在各跨独立形成单梁破坏机构，而不能由相邻几跨形成一个联合破坏机构。弹性状态弯矩图FP1FP2FP3假设截面极限正弯矩与截面极限负弯矩数值相等；忽略轴力和剪力的影响。36哈工大土木工程学院可能的各种破坏机构FP1FP2FP3FP1FP2FP3FP1FP2FP3关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释37哈工大土木工程学院显然由于它们都不满足极限条件（塑性铰沿极限弯矩方向产生）FP1FP2FP3FP1FP2FP3不可能的各种破坏机构关于连续梁极限荷载对应单跨破坏机构的解释38哈工大土木工程学院例题：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的，AB、BC跨的极限弯矩为Mu，CD跨的极限弯矩为3Mu

。解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1）AB跨破坏时（2）BC跨破坏时（3）CD跨破坏时有三种情况：0.8FPFPll2llllFPFP/lABCD39哈工大土木工程学院首先确定可能破坏机构，然后利用虚功原理求最小可破坏荷载。刚架的超静定次数n，可能出现的塑性铰个数h(出现一个塑性铰相当减少一个约束或增加一个运动自由度),则刚架可能有的基本机构数为

m=h-n2FPFP2FPFP刚架的极限荷载m=h–n＝5－3＝2即两个基本机构40哈工大土木工程学院设想刚架上所有的塑性铰同时出现，则刚架变成一个自由度数为(h-n)的机构体系，它的可能位移形式由(h-n)个参变数决定,而与每个独立参变数对应的运动形式就是该体系的一种基本机构。梁破坏机构2FPFP2FPFP柱破坏机构2FPFP组合破坏机构原刚架的各种可能的破坏机构都可由(h-n)个基本机构线性组合而成。组合过程中转角相反的塑性铰闭合。41哈工大土木工程学院增量变刚度法以矩阵位移法为基础。基本假设

1塑性铰只在一个截面产生，其余部分仍为弹性；2荷载按比例增加，且为结点荷载；3各杆的极限弯矩可以不同，但每杆沿杆长极限弯矩为常数；4忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。基本思路：将原非线性问题转化为分段线性问题§6增量变刚度法42哈工大土木工程学院弹性阶段，确定第一个塑性铰出现的位置和荷载值。

对原结构，加单位力FPl/2l/2ABCABC取最小非零值为第一塑性铰出现的荷载值43哈工大土木工程学院此时梁结点弯矩

一铰阶段，确定下一个塑性铰出现的位置和荷载增量值。对修改后的结构，加单位力ABC可以判断A点出现第一个塑性铰。

44哈工大土木工程学院此时梁结点弯矩增量

可以判断C点出现第二个塑性铰。

单向机构，生成两个塑性铰，达到极限状态

ABC45哈工大