小学奥数 计数之对应法 精选例题练习习题(含知识点拨)

7-6-3数之应教学目前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．例题精将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【】在×的方格盘，出个三小格成“L”形（图一有多种同方？【考点】计数之图形中的对应关系【度3星【型】解答【解析】注意数不则几何”个数时，常用对应法．第1步找对应图形每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中，是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系从图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个同的取法（L形角在正形的不“角上第3步：计算对应图形个数由在8×8的棋盘上，内部有（个）交叉点，第4步：按照对应关系，给出答案故不的取法共有49×4=196（评注通上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困的时候考虑采用相等的原则把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案【】在8×8的黑白间色国象棋中以格为的恰含两白小格一黑小格长形有少？【考点】计数之图形中的对应关系【度3星【型】解答【解析】首先以知道题中所讲1长形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来析第种情况一个位于棋盘部的黑色方格对应着两个这样的长形一横一)第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一1长形．由于在棋盘上的32个色方格中，位于棋盘内33部的个，位于边上的有个，位于角上的有2，所以共有个这样的长形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有个长形，所以棋盘上横、竖共有方形个由棋盘上的染色具有对性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系明们各占一半，因此所求的长方形个数为948个【答案】48【固用张图示纸盖6方表中四小格共多种同放方？【考点】计数之图形中的对应关系【度3星【型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在方表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的正形内的某格时，纸片有种不同的放法，共计464种若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有种放法，此类放法有种．所以，纸片共有种同的放置方．【答案】种【】图可出三形个为．【考点】计数之图形中的对应关系【度4星【型】填空【解析】这个不像我们以前数角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有C个角形．8【答案】个角形【】如所，直上有个，线CD上个点．AB的为个点CD上的为另个点所线中任3线都相交同个，所这线在与CD之间的点．【考点】计数之图形中的对应关系【度4星【型】解答D【解析常的思路是这样的：直线上个，每个点可以与直D上9点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示果注意到下面这个事实对于直线上任意两点、直线CD上任意两点都以构成一个四边形MNQP而这四边形的两条对角线MQ、NP交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点AB与上意两点都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个点们需要求出在直线AB与CD中有多少满足条件的四边形MNQP就以了从而问题转22419982241998化为：在直线上点，直线CD上个．四边形MNQP有少个？其中点M、位于直线上点P、Q位于直线CD上这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段有C21种选择方式，线段PQ有C种择方式，根据乘法原理，共可产生7921756个边形．因此在直线AB之共有756交点．【答案】756个点模块二、数字问题中的对应关系【】有少四数满足位的字千数大千位字百大，位字十数大【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度【题型】解答【解析由四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确对从0中意选取的个数字它们的大小关系也是明确的那么这个字只能组成个合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为，本身已符合四位数首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从～9中取个字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有C10

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210个【答案】个【固三数，位比位大十数个数大数多个【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度【题型】解答【解析】相当在10个数字中选出3个数字后按从大到小排.有10×9×8÷（=120种际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案120种【】数可以种方表为个几个整的，3，，，1．：1999示为个几正数和方有少？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度【题型】解答【解析我将1999个写成一行，们之间留有空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上＋号例如对于数，上述4种的表达方法对应：11，111，11．可见，将1999表成和的形式与填写个隙处的方式之间是一一对的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号不填“＋”号种能，因此可以表示为正整数之和的不同方法有2种2相乘【答案】2种【】请至出一数3并是3的数五数共多个【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度【题型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析五数共有90000个，其中的数有个可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.位数码有种择，第二、三、四位数码都有9种择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为，则第五位数码以为0、；如果余数为，则第五位数码可以为、、8；如果余数为，则第五位数码可以为147.可见只要前四位数码确定了，第位数码都有种选择，所以五位数中是倍数但不含有数码的数共有个所以满足条件的五位数共有1749612504个．【答案个模块三、对应与阶梯型标数法【】游园门元1张，每限张现有个朋排购，中个朋只元的票另5个朋只2元钞，票没准零．有少排方法使票员能得零？【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度星【型】解答【解析与似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元要比拿元人数多，先将拿元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代1元的小朋友，每条小竖线段代表元的小朋友，因为从点沿格线走到B点每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图从到B有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A到B有种走法．B

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1111但是由于10个朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿的小朋友，5个人共有种排法；第二步排拿到元的小朋友，也有种法，所以共有种队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有2种)．【答案】种【】学和思起个不同的（序定思洗的一一往上，学从上面个个拿放碗摞一，思边，学边，那学摞的一有种同摞．【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度星【型】解答【关键词】学而思杯年级，第题【解析】方法：如下所示，共42种不同的摞法：455，，，5，，5，，。方法二：我们把学学洗的5个过程看成从起点右走步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思拿5碗的过程看成是向上走5步即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右向走步达终点短路线的方法由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路线要多余向上走的路线，所以我们用下面的斜三角形进行标数，共有种走法，所以共有42不同的摞法。

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【答案】种【固学学和思起4个互相的（序定，思思好的一一往摞学再最面一一地走入柜成摞思一洗学一拿问学摞的一有种不的法【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度星【型】填空【关键词】学而思杯年级，第题【解析】按思洗碗的顺序将这碗依次标号为23学摞好的碗一共有如下1种摆法，，1342，，，，2314，，2431，3241，3421，。【答案】14【】一个在进的人列每身各相同按低高次排，在们变并的2列队每仍是从到的序列同要并的两人左的比边人矮那，2列纵有种同法【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度星【型】填空【关键词】第七届，走美杯【解析首将的身高从低到高依次编号为8个填到一个的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大．下面我们将题规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数永远都小于或等于第一行数字填的个数．也就是说，不能出现下图这样的情况．而这个正好阶梯型标数题型的基本原则．于是，我们可以把原题转化成：在这个阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数方法就相当于从A到的最短路线有多少条．例如，我们选择一条路线：它对应的填法就是：．最后，用标法得出从到的最短路径有14，如下图：【答案】14种【固将这12个填到2行6列的格中使每右边左的，每列面下的，共多种法【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度星【型】解答【解析根对应关系，再运用阶梯型标数法画图如下：132421

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13214429014284894511

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1共有132种法．【答案种【】在一小长选中铮与昊人为选参竞，共了7张票在7张票逐唱的程，昊得始没超铮。么样唱票程不的况【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度星【型】填空【关键词】学而思杯年级，1试，第题【解析】标数（1）张全是铮铮；铮铮1张昊6种铮铮2张昊14种铮铮3张昊14种一共35种【答案】模块四、不完全对应关系【】圆周有12个点其中个涂，有个涂蓝，余个点有色以些为顶的多形，顶包了点蓝的边称双多边；包红(蓝)的边形为色(蓝)多形不含点蓝的无多形试，这个点顶点所凸边(边数可从角到12形)中双色边的数无多形个哪一较？多少？【考点】计数之不完全对应关系【难度4星【题型】解答【解析从意一个双色的N边出发时在掉这个双色多边形中的红色顶点与蓝色顶点后得到一个无色的形；另一方面，对于一个任意的无色的M形，如果加上红色顶点和蓝色顶点，就得到一个双色的M边形，所以无色多边形与双色多边中的五边形以上的图形是一一对n42n42应的关系，所以双色多边形的个数比较多，多的是双色三角形和双色四边形的个数．而双色三角有个，双色四边形有C45个所以双色多边形比无色多边形多155个．【答案】双色多边形比无色多边形155【】有一各数字不同五数M，它千数比右两数大十数也左两数大另一各数各相的位W，它千数比右个字，位数也比右位字．问合求数M与哪类的数？多？【考点】计数之不完全对应关系【难度5星【题型】解答【解析M与都是五位数都有千位和十位其它数位的大小关系以两类数有一定的对应关系比如有一个符合要求的五位数ABCDE(为，那么就有一个与之相反并对应的五位数(9A)(9)(9)必属于4类比如13254为M类，则与之对应的86754为类所以对于M类的每一个数，n