第1讲数学建模与数学建模竞赛

1.三块钢板的启示----美国空军流传的故事二战期间，在美国空军中，流传过3块钢板的故事。

第一块钢板的故事，是运输机飞行员讲的。

在飞越驼峰航线，支援中国抗战时，美军的运输机队常常遭到日军战斗机的偷袭。C－47运输机只有一层铝皮，子弹常常穿透飞行员座椅，夺去飞行员的生命。情急之下，一些美军飞行员在座椅背后焊上一块钢板。靠着这块钢板，他们保住了自己的性命。

一、什么是数学建模（两个引例）第一页，共84页。

第二块钢板的故事，来自一位将军。

诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐·普拉特准将乘坐的是滑翔机。起飞前，有人自作聪明，在副师长的座位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。由于滑翔机自身没有动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落，沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。

第二页，共84页。

第三块钢板的故事，来自一位数学家。

二战后期，美军对德国和日本法西斯展开大规模战略轰炸，每天都有成千架轰炸机呼啸而去，返回时，往往损失惨重。对此，美国空军十分头疼：如果降低损失，就要往飞机上焊防弹钢板；如果整个飞机都焊上钢板，速度、航程、载弹量等都要受到影响。

怎么办呢？空军请来了数学家亚伯拉罕·沃尔德。沃尔德的方法十分简单。他把统计表发给地勤技师，让他们把飞机上弹洞的位置报上来，然后，铺开一张大白纸，画出飞机的轮廓，再把那些小窟窿一个一个地添上去。画完后，大家一看，飞机浑身上下都是窟窿，只有飞行员座舱和尾翼两个地方，几乎是空白。

沃尔德告诉大家，明显违反规律的地方，往往就是问题的关键点。飞行员们一看就明白了，如果座舱中弹，飞行员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡，就会坠落———这两处中弹，轰炸机多半回不来，难怪统计数据是一片空白。

因此，结论很简单：只给这两个部位焊上钢板。

第三页，共84页。第四页，共84页。

第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己的生命。第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换来的。第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救了众多飞行员的生命。

第五页，共84页。通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆,若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为vV和nv哪个大?Ssss…Vvvv(共n个)定性分析V比nv大多少?定量分析2.包元宵（饺子）中的数学第六页，共84页。假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样模型应用若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,则50个汤圆(饺子)可以包公斤馅R~大皮半径V是nv是倍1.4r~小皮半径两个k1（和k2）一样(1),(2),(3)第七页，共84页。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第八页，共84页。什么是数学建模数学建模是指对现实世界的某一特定对象,为了某特定目的,做出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：第九页，共84页。二、什么是数学建模竞赛大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办，竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训。赛题来源于实际问题。比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。

1、数学建模竞赛的源起第十页，共84页。2、我国数学建模竞赛的发展历史1992年起步，发展迅速我国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。首届大学生数学建模竞赛是1992年由中国工业与应用数学学会在全国10个城市举办的，有79所院校的314队参加。这项活动既受到广大同学的热烈欢迎，也引起教育行政部门的高度重视。1993年和1994年当时的国家教委高教司两次发出文件，决定从1994年起与中国工业与应用数学学会共同主办这项竞赛，组成了全国竞赛组委会，拟定了竞赛章程。在各级教育行政部门、教师的组织、关心和支持下，广大同学积极参与，竞赛发展得十分迅速，规模以每年平均大约30%的速度增加。下表是1992年至1999年参赛的省（市、自治区）、院校和队数。第十一页，共84页。2012年，33个省/市/及新加坡、美国1284所院校、21219第十二页，共84页。规模最大的课外科技活动

数学建模竞赛已成为国家教育部组织的全国大学生四项学科竞赛之一。目前参赛的院校中不仅有所有的全国重点大学、各大城市的知名院校，也有不少边远地区的地方学校。不仅有众多的理工科院校和综合大学，也有不少经济管理、农林医药、军事和师范院校。不论是参加的省区、学校的数目，还是参赛的队数、人数，都是目前全国规模最大的课外科技活动。第十三页，共84页。4、中国大学生数学建模竞赛历程1989.2.24～26

我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学共4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年我国都有同学参加这项竞赛。1990.12.7～9上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国省、市级首次举办数学建模竞赛。1993.10.15～171993年全国大学生数学建模竞赛举行，16省（市）101所院校的420队参加。第十四页，共84页。

据统计，数学建模进行了20届，规模每年都以平均的增长速度增长，有的赛区20%、有的40%，平均在25%，而且参赛队伍壮大了十倍。2009年全国有33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)1137所院校、15042个队（其中本科组12272队、专科组2770队）、4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的(其中西藏和澳门是首次参赛)！。2012年，全国有33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国、1284所院校、21219个队参加竞赛，是历年来参赛人数最多的第十五页，共84页。专家题词搞好数学建模竞赛，造就大批应用数学人才，为振兴中华而努力。——中国科学院曾庆存院士题“工欲善其事，必先利其器”。数学模型和数学技术就是现代的“器”。——中国科学院谷超豪院士题建模与计算已成为科技工作中的关键工具。希望更多的大学生参加数学建模竞赛活动。——中国科学院周毓麟院士题国际计算机界最高奖Turing奖的获得者均有很好的数学基础，信息技术的发展很大程度上依赖数学方法。建模竞赛有助于发现和造就一批优秀人才。——中国科学院、中国工程院院士王选题词第十六页，共84页。专家题词数学之为用，模型立奇功。竞赛促教改，建设新学风。——中国科学院姜伯驹院士题开展数学建模活动，扩大数学应用范围。——中国科学院张恭庆院士题创建数学模型，解决实际问题，拓广数学的应用，促进数学科学的发展。——中国科学院马志明院士题启迪智慧，拓宽视野，开展数学建模活动。——中国科学院顾秉林院士题数学建模活动对培养同学的竞争意识、创新意识和创造精神是大有裨益的。望同学们奋力拼搏更上一层楼。——中国科学院唐明述院士题第十七页，共84页。*开放性思维的训练园地

数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力，而数学建模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同。

数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成，大家可以从网上看到历年的赛题，它们对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。

第十八页，共84页。4、数学建模竞赛的形式

数学建模竞赛以通讯形式进行。三名大学生组成一队，可自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不得与队外任何人讨论。时间：三天。完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。

可以看出，这项竞赛与学生毕业以后工作时的条件非常相近，是对学生业务、能力和素质的全面培养，特别是开放性思维和创新意识。第十九页，共84页。5、怎样参加数学建模竞赛

竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的，每年9月中下旬举行。竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。我校有志参加数学建模的同学可以自愿报名，经过学习和培训一般都能参加数学建模竞赛。

第二十页，共84页。6、数模竞赛须具备的知识数学知识1、高等数学2、线性代数3、概率论与数理统计4、最优化理论5、图论6、组合数学7、微分方程稳定性分析8、排队论计算机知识1、综合类：Matlab,Mathematic2、统计类：Spss,SAS,Statistics3、最优解：Lindo,Lingo4、科技学术论文排版第二十一页，共84页。7、数学建模竞赛的信息和资料网站信息：(国内数学建模竞赛)或（国际数学建模竞赛）第二十二页，共84页。8、数学建模的重要意义数学建模计算机技术如虎添翼知识经济计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具;数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的领地.第二十三页，共84页。1、提高综合利用所学的各项数学知识的能力。2、培养同学们的洞察能力、数学语言翻译能力、综合应用分析能力、联想能力和各种当代科技最新成果的使用能力。3、为将来的工作和学习打下坚实的基础。第二十四页，共84页。①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。9、数学建模与能力的培养开设数学建模课的主要目的为了提高学生的综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。第二十五页，共84页。综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择、使用合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力

面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行科学研究的能力

关心国家建设的意识和理论联系实际的学风

团结合作精神和进行协调的组织能力诚信意识和自律精神

在图书室及互联网上查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力

数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质第二十六页，共84页。美国大学生数学建模竞赛(MCM)1985年开始：MCM，每年2月；COMAP举办，SIAM、INFORMS、MAA等支持我国大学生1989年（清华等）开始每年都参加，用英文答卷2002年有11个国家（地区）522队参赛，其中美国以外241队（46%）；“国际竞赛”----“中美联赛”1996年起，复旦、中国科大、华东理工、清华、浙大、国防科大先后荣获最高奖(Outstanding)每年赛题和优秀答卷刊登于同年UMAP第3期1999年起又同时推出交叉学科竞赛（InterdisciplinaryContestinModeling–ICM)，2002年106队参加

1938年开始：Putnam大学生数学竞赛，每年12月，MAA举办第二十七页，共84页。全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）ChinaUndergraduatesMathematicalContestinModeling1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)1993年全国大学生数学建模竞赛只有100多所学校400多个队参加,而2004年则有700所学校的6881多队20000多学生参加----全国高校中规模最大的课外科技活动每年赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”第1期；2001年起刊登于次年“工程数学学报”第1期全国竞赛组委会设在清华大学数学科学系（100084）网址：/mcm/或第二十八页，共84页。1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)全国大学生数学建模竞赛全国高校规模最大的课外科技活动第二十九页，共84页。第三十页，共84页。一项有意义的活动学习数学当然要学习一些理论，学习一些定理与概念，也要学习一些解题技巧。但更重要的是学到数学的思想方法，用以解决数学和数学以外的问题，特别是学会用数学来解决许多非数学的问题。实际上，只有懂得数学广泛的应用，并能用数学来解决多种多样的问题，才能懂得数学本身，也才能懂得数学抽象的重要性，真正了解数学实际上是非常生动活泼的，也才能真正学好数学！“高技术本质上是一种数学技术”！第三十一页，共84页。近几年全国大学生数学建模竞赛题第三十二页，共84页。近几年全国大学生数学建模竞赛题第三十三页，共84页。数学建模的论文结构

1、摘要——问题、模型、方法、结果2、问题重述3、模型假设4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检验7、模型推广8、参考文献9、附录第三十四页，共84页。数学建模竞赛组队的方式尽可能地让不同专业的学生组成一队，以利学科交叉；尽可能地让能力、素质方面不同的学生（创新能力强的，认真踏实的，有组织能力的，文笔好的，…）组成一队，以利优势互补；尽可能地让学生在队内充分磨合，达成默契，形成“领袖”。第三十五页，共84页。CUMCM宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争第三十六页，共84页。10、我校参加大学生数学建模竞赛情况我校从1999年参加全国大学省数学建模竞赛，获全国一等奖8项，二等奖12项，陕西赛区一、二、三等奖多项。1999-2008获奖情况2009-2010获奖情况2011获奖情况2012获奖情况2013获奖情况2014获奖情况第三十七页，共84页。三、教学目的与要求1、培养学生解决实际问题的综合能力。1）“双向翻译”能力2）运用数学思想进行综合分析能力3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4）观察力和想象力5）提高撰写科研论文的能力6）团结协作的精神第三十八页，共84页。2、教学参考书[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社.[2]沈继红等.数学建模.哈尔滨工程大学出版社.[3]周义仓,赫孝良.数学建模实验.西安交通大学出版社.[4]刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社.[5]陈义华.数学模型.重庆大学出版社.第三十九页，共84页。3、要求通过学习要培养自己的应用数学的能力，特别是学习和思考、发现问题、分析问题的能力。要求完成每次课后留的作业的同时，这们课要完成一个自己发现的实际问题的数学建模小论文。参加校内数学建模竞赛，其成绩作为课程成绩的一部分。如果有志参加全国大学生数学建模竞赛，还应注意计算机编程和数学软件使用能力的培养。第四十页，共84页。4、考核数学建模通式教育课重在培养能力，考核是通过式的也就是期末成绩只有两种形式：通过，或不通过。通过：参加上课、上机、按小组完成小论文、期末考试成绩合格。建议学习方式：3到5个同学组成一个学习小组，最好是来自不同专业的同学，小组组长可以轮流担任，达到每人负责一次数学建模（完成一次小论文），培养组织能力。第四十一页，共84页。1模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。四、数学模型与建模举例

直观模型：实物模型，主要追求外观上的逼真。物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。思维模型，符号模型，数学模型。第四十二页，共84页。2、数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。第四十三页，共84页。数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。第四十四页，共84页。费马（P.Fermal1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”牛顿（Newton1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律第四十五页，共84页。航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时。第四十六页，共84页。3、数学建模过程表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型的关系第四十七页，共84页。3.数学建模示例

建模示例之一

椅子的稳定性问题

问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。假设

1）地面为光滑曲面；2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触；4）椅子的中心不动。第四十八页，共84页。xyAABBCCDDO2建模分析表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失一般性，设初始时：第四十九页，共84页。假设：是的连续函数，且对任意，求证：至少存在，使得数学模型数学命题：.第五十页，共84页。4模型求解证明：将椅子转动，对角线互换，由可得令由的连续性，根据介值定理，在中至少存在一点,使得,即又所以结论：能放稳。第五十一页，共84页。连续函数的介值定理oxyab思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？第五十二页，共84页。思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？第五十三页，共84页。4、建立数学模型的方法和步骤方法

机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。第五十四页，共84页。建模步骤第五十五页，共84页。1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。建模步骤第五十六页，共84页。2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。第五十七页，共84页。3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。第五十八页，共84页。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。第五十九页，共84页。5、模型的分类1）按变量的性质分：2）按时间变化对模型的影响分第六十页，共84页。3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。第六十一页，共84页。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。第六十二页，共84页。练习1某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？AB甲乙第六十三页，共84页。37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。第六十四页，共84页。3某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。第六十五页，共84页。甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:19第六十六页，共84页。一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也忘返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？第六十七页，共84页。6某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）dAB河第六十八页，共84页。思考题

思考题1长方形椅子稳定性问题第六十九页，共84页。oxyABCD思考题1长方形椅子稳定性问题表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD第七十页，共84页。讨论题1大小包装问题在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。第七十一页，共84页。提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低第七十二页，共84页。思考题2划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。第七十三页，共84页。各种艇的比赛成绩与规格第七十四页，共84页。例2、你让工人为你工作７天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的７段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？（即将金条折成三段，每段为多少比例？并给出每天完工后如何进行给付费用的方案）。第七十五页，共84页。解答：两次弄断将金条分成1/7、2/7和4/7三份。第１天可以给他1/7；第2天给他2/7，让他找回我1/7；第3天再给他1/7，加上原先的2/7就是3/7；第4天给他那块4/7，让他找回那两块1/7和2/7的金条；第5天，再给他1/7；第6天和第2天一样；第７天给他找回的那个1/7。第七十六页，共84页。例4有3个人去投宿,一晚30元.三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板.

后来老板说今天优惠只要25元就够了,拿出5元命令服务生退还给他们,服务生偷偷藏起了2元,然后,把剩下的3元钱