2018版高中数学第一章算法初步疑难规律方法学案新人教B版

第一章算法初步算法观点的解说同学们或许对算法这个观点很陌生，

但其实大家在平常生活中已经接触过好多算法了．

广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序．

菜谱是做菜肴的“算法”，

洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法”．

算法不单是数学及其应用的重要构成部分，

也是计算机科学的重要基础，它可理解为由基本运算及规定的运算次序所构成的完好的解题步骤．一、算法的特色1．确立性确立性：算法中的每条运算规则一定是明确立义的、可行的，每一个步骤只好有一个确立的后继步骤，运转停止应获取问题的解答或指出问题没有解答．2．有限性一个算法一定保证在履行有限步后结束，不可以出现无穷循环或死循环．这里说的“有限性”一般指算法在合理的范围之内，

一般由人们的知识和需要以及计算机性能而定．

比如，计算机履行一个算法需要一千年才能结束，

这个算法固然有限，但超出了合理的限度，

因此也不是一个有效算法．二、算法的思想在数学中，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结论，等等，我们都需要有一个清楚的思路，一步一步去达成，这就是算法的思想，即程序化思想．它重申的是通性通法，给出一个算法，其实是给出了一种解决问题(特别是数学识题)的方法．三、特别提示1．在算法的理解方面，是指派用一系列运算规则，能在有限步骤内求解某类问题，此中每条规则一定是明确立义的，可行的．2．算法中的每一步应当是确立的而且能够有效地履行且获取确立的结果，而不该当模棱两可，如求的近似值却没有要求近似的精准度，则该问题不可以求解．3．在设计算法时，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没存心义的．4．只需有公式能够利用，利用公式解决问题是最理想、最简易的方法，比方在写解方程x2－3x－4＝0的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简短．5．求解某一个问题的算法一般不是独一的，我们往常选择较为简单的算法．四、典例分析例1已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题．分析对于已知等边三角形的边长求面积的题目．同学们已经很熟习，回首此中的解题过程不难获取这个问题的算法步骤．解算法步骤以下：第一步，输入a的值．a第二步，计算l＝的值．332第三步，计算S＝4×l的值．第四步，输出S的值．例2下边给出了一个问题的算法：第一步，输入x.第二步，若x≥4，则履行第三步，不然履行第四步．第三步，输出2x－1.第四步，输出x2－2x＋3.这个算法解决的问题是什么？分析依照题目给出的算法步骤挨次履行，分别写出其对应的结果就能够很简单解决本题．解这个算法先是输入一个变量x，当x≥4时输出2x－1，当x<4时输出x2－2x＋3，不难2x－1，x≥4，发现这个算法解决的问题是求分段函数f(x)＝x2－2x＋3，x<4的函数值．典型算法举例1．解方程

(方程组

)、不等式的算法例

1

用自然语言描绘求一元二次方程

x2＋bx＋c＝0的根的算法．思想切入

对于求方程的根，解方程组这样的数值型的问题，

我们都有详细的计算方法，

只要我们把平常的计算方法严格地按步骤描绘出来即可．所以我们很简单获取下边的算法．解用自然语言来描绘算法，S1计算＝b2－4ac；S2假如<0，则原方程无实数解，不然(≥0)x1＝－b＋b2－4ac，x2＝－b－b2－4ac.2a2aS3输出x1，x2或无实数解的信息．评注第二步中包括了一个判断＝b2－4ac能否小于零的条件，并依据判断结果进行不一样的办理，在算法中称作条件分支构造．例2写出解x2－4x＋3<0的算法．思想切入只需把平常的固定解法有条理地写出来，即为解不等式的算法．解S1求出对应方程的根x1＝1，x2＝3；S2确立根的大小x1<x2；S3写出解集{x|1<x<3}．2．套用公式求值的算法例3已知摄氏温度C与华氏温度F的关系是F＝C×9＋32，写出由摄氏温度求华氏温度的5算法．思想切入这是一个函数求值问题，给C赋值再代入分析式求F.解S1输入摄氏温度C；S2代入F＝C×9＋32；5S3输出华氏温度F.评注平常计算我们只着重第二步，其余步骤常常忽视了，算法却讲究“循规蹈矩”，这种问题的算法一般分为三步：第一步输入值，第二步套用公式，第三步输出结果．3．判断性质型问题的算法例4试描绘判断圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0地点关系的算法．思想切入直线与圆的关系有三种：相离、相切、订交，假如圆心到直线的距离>，则直dr线与圆相离，d＝r则直线与圆相切，<r则直线与圆订交．所以我们能够先求出圆心到直线d的距离d，而后再和r比较．解S1输入圆心的坐标、直线方程的系数和半径r；S2计算z＝Ax＋By＋C；100S3计算z2＝A2＋B2；S4|z1|；计算d＝z2S5假如d>r则相离；假如d＝r则相切；假如d<r则订交．评注算法要求分解成简单计算，不要直接计算|Ax＋By＋C|d＝00.A2＋B24．累加、累乘问题的算法例5用自然语言描绘求解mul＝1×2×3×4×5×6问题的算法．思想切入依据算法的特色，我们学过的加、减、乘、除运算法例都是算法，只需依照详细的规则有步骤地描绘过程，便有了该题的算法．解S1计算1×2，得2；S2将S1中的运算结果2与3相乘得6；S3将S2中的运算结果6与4相乘得24；S4将S3中的运算结果24与5相乘得120；S5将S4中的运算结果120与6相乘得720.评注一眼就看出答案来了，为何还一步一步地做，太乏味了，可是相乘的数小、数少还能看出，假如数多了，数大了没有这样的步骤就很难解决这一类问题．思想拓展该算法包括一个重复操作的过程是循环构造，我们可将算法改造得更加精练、科学．解S1设i＝1，P＝1；S2假如i≤6履行S3，不然履行S5；S3计算P×i并将结果取代P；S4将i＋1取代i，转去履行S2；S5输出P.评注i称作计数变量，每一次循环它的值增添1，由1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环获取一个新的结果，而后新的结果取代原值．程序框图画法全了解一、画程序框图的基本步骤第一步，设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以画程序框图前，第一写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪一种基本逻辑构造(次序构造、条件分支构造、循环构造)达成．第二步，把算法步骤转变为对应的程序框图，在这种转变过程中常常需要考虑好多细节，是一个将算法“细化”的过程．第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连结起来，并加上起、止框，获取整个表示算法的程序框图．二、画程序框图的规则1．使用标准的框图符号．2．框图一般按从上到下、从左到右的方素来画．3．除判断框外，大部分框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是独一拥有超出一个退出点的符号．4．在图形符号内描绘的语言要精练清楚．三、典例分析1．次序构造次序构造是最简单的算法构造，是任何一个算法都离不开的构造．若一个算法由若干个挨次履行的步骤构成，

则在画程序框图时，可直接由次序结构达成．因为在其余的构造中都会波及次序构造，

所以对于次序构造的画法，

在此不再独自表达．2．条件分支构造设计程序框图时，假如分段函数或履行时需要先判断才能履行的问题，则需要用到判断框，引入条件分支构造．例1如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的行程为x(0<x<12)，△APB的面积为y，画出y对于x的关系式的程序框图．分析先依据题意写出算法，再依据算法画出程序框图．即第一步，依照题意，y与x的关系知足分段函数：2x，0<x≤4，y＝8，4<x≤8，x，8<x<12.第二步，用适合的含条件分支构造的程序框图表示该分段函数．解程序框图以下图．评论该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作一定互相对应．同时，在画程序框图时，要特别注企图形符号的规范性．3．循环构造假如问题中进行了重复的运算，

且有同样的规律，便可依据需要引入有关变量，

利用这些规律构成一个循环体，用循环构造来解决．例

2

某机械厂为增添产值进行了技术改革．据统计

2014年的生产总值为

500万元，技术革新后估计每年的生产总值比上一年增添

5%，求最早要到哪一年生产总值才能超出

600万元，试用程序框图表示．分析用变量n，a分别表示所经过的年数和生产总值的数目，注意变量的初始值以及递加的值是多少．由题意知第n年后的生产总值为a＝500(1＋0.05)n，此时为(2014＋n)年．由于题中进行了重复的运算，故应引入循环构造．解程序框图以下图．评论在本例中，给出了一种循环构造的框图，另一种循环构造(先履行循环体，再判断条件能否建立)，同学们能够自行达成．例说条件分支构造条件分支构造是三种基本逻辑构造之一，能够解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类议论问题和一些实质问题等．下边就其应用略举两例，供同学们学习时参照．一、分段函数求值问题－x＋1，x>0，例1已知函数y＝0，x＝0，请设计程序框图，要求输入自变量x，输出函数值x＋3，x<0，y.分析输入自变量x的值，第一判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值．解程序框图如图．评论求分段函数的函数值，需先判断再履行步骤，需要引入条件分支构造．注意画程序框图时，判断条件不一样，框图中表达式的地点也不一样．二、实质应用问题例2某电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费为2元，最高收费为50元．试编写一程序框图求出当汇款x(0<x≤10000)元时，应缴纳资费多少元．分析由题意分析，当x≤200时，应缴纳资费2元，当x≥5000时，应缴纳资费50元，所以引入条件分支构造，200和5000是两个分段点．解程序框图如图．评论在一些需要判断的实质问题中，一般都会用到条件分支构造，在设计程序框图时，可先依据题意，设计算法，再依据算法画出程序框图.循环构造的应用在循环构造中，常常会出现两个变量：计数变量和累计变量．计数变量常常出此刻循环构造中，起到循环计数的作用，这个变量一般出此刻履行或停止循环体的条件中；而累计变量用于输出结果，常常与计数变量同步履行，一般有累加与累乘两种．下边举例说明循环构造的应用．一、乞降或求积问题例1设计两个求1＋3＋5＋＋2015的值的算法的程序框图．分析本题是一个累加问题，因为加数许多，采纳逐个相加的思路不行取，引入变量，应用循环构造解决：(1)设一个循环变量为i，初始值为1；再设一个累加变量为S，初始值为0.(2)循环体为S＝S＋i，i＝i＋2.(3)停止条件为i>2015.解方法一程序框图如图1所示，方法二程序框图如图2所示．评注波及求多项的和与积的程序框图要用到循环构造和条件分支构造．绘图时要注意循环变量的初始值、终值以及循环变量的增量在程序中的作用．本题代表了一类相邻两个数的差为常数的乞降问题的解法，在设计程序框图时要注意前后两个加数相差2，此时计数变量不是i＝i＋1，而是i＝i＋2，要依据题意灵巧地改变算法中的相应部分．二、叠加求值例2分析

画出求式子(共9个3)的值的一个程序框图．本题是一个叠加问题，因为前后重复了多次同样的运算，

所以应采纳循环构造来设计1算法，但利用循环构造实现算法需搞清初始值是什么．本题中初始值可设定为a1＝3，第一次循环获取a2＝1a3＝118次．，第二次循环获取，，a9＝，共循环了3＋a13＋a23＋a8解程序框图以下图．评注假如算法问题里波及的运算有很多重复的步骤，且数之间有同样的规律，那么可引入变量，应用循环构造．在循环构造中，要注意依据条件，设计合理的计数变量、累计变量，特别要注意条件的表述要适合、精准，免得出现多一次循环或少一次循环的状况．三种逻辑构造辨析算法中有三种逻辑构造，即次序构造、条件分支构造、循环构造，同学们初学这三种构造，简单混杂．本文将这三种构造进行比较，希望同学们能深刻领会这三种构造的差别与共同点．一、三种基本逻辑构造次序依照语句的先后次序，从上而下挨次履行这些语句，该构造不具备控制流程的作用，构造是任何一个算法都离不开的基本构造．条件依据某种条件能否知足来选择程序的走向．当条件知足时，运转一个分支，不知足分支时，运转另一个分支．构造循环从某处开始，依照必定的条件，频频履行某一办理步骤的状况．用来办理一些频频构造进行操作的问题.二、三种基本逻辑构造的共同特色1．只有一个进口．2．只有一个出口，注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件分支构造只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件分支构造的出口混作一谈．3．构造内的每一部分都有时机被履行到，即对每一个框来说都应当有一条从进口到出口的路径经过它，如图1中的A，没有一条从进口到出口的路径经过它，是不切合要求的程序框图．4．构造内不存在死循环，即无停止的循环，如图2就是一个死循环，在程序框图中是不允许有死循环出现的．三种基本构造的这些共同特色，也是检查一个程序框图或算法能否正确、合理的方法和试金石．三、典例分析1．次序构造例1已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，画出求点P(x0，y0)到直线l的距离d的算法的程序框图．分析利用点到直线的距离公式可画出其程序框图．解程序框图以下图．评注

次序构造是由若干个挨次履行的办理步骤构成的，

这是任何一个算法都离不开的基本构造，它是最简单的算法构造，

在程序框图中的表现就是用流程线自上而下地连结起来，

按次序履行算法的步骤．2．条件分支构造例

2

画出解方程

ax＋b＝0(a，b为常数

)的一个算法的程序框图．分析

在求解方程时，需要在方程两边同时除以

a，这时对

a能否为

0的状况要加以议论，当a＝0时，又要对b能否为0分状况议论．解程序框图以下图．评注条件分支构造中要先依据指定条件进行判断，再由判断的结果断定选择履行哪一条路径．3．循环构造例3某校高一(1)班共有60人，市青少年保护中心来抽样检测同学们的身体素质，要修业号被3整除的同学参加体检，已知同学们的学号是从1到60号，请画出一个算法的程序框图，使其能够输出参加体检的同学的学号．解程序框图以下图．评注循环构造依照必定的条件，频频履行某一办理步骤．循环构造要在某个条件下停止循环，这就需要条件分支构造来判断，在循环构造中都有一个计数变量和一个累加变量，计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步履行的，累加一次，计数一次．算法在生活实质中的应用数学根源于生活，服务于社会，数学与生活息息有关，数学是实用的，在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，生活中的很多问题都能够用算法描绘，用程序框图表达．下边请赏识三例算法问题．一、第29届奥林匹克运动会的申办例1北京成功举办了2008年第29届夏天奥林匹克运动会．你知道在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是怎样经过投票决定主办权归属的吗？对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是第一进行第一轮投票，假如有一个城市得票数超出总票数的一半，那么该城市将获得举办权；假如所有申办城市的得票数都不超出总票数的一半，则将得票数最少的城市裁减，而后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止．请设计一个算法表述上边过程，并画出程序框图．解算法步骤以下：S1投票．S2统计票数，假如有一个城市得票数超出总票数的一半，那么该城市就获取主办权；不然裁减得票数最少的城市，转S1.S3宣告主办城