甘肃省兰州市2015届高三诊断考试数学(文)试题

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务势必自己的姓名、考号填写在答题纸上。2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题所有在答题纸上达成，试卷上答题无效。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。1．已知会合A{x||x|1}，B{x|x0}，则AIBA．(1,0)B．(1,1)C．(0,1)D．(0,1)22．复数z(1i)2的实部是A．2B．1C．0D．1rrrrrrrr3，b知足ab0，|a|1，|b|2，则|ab|a．已知向量A．0B．1C．2D．54．从数字1、2、3中任取两个不一样的数字组成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为A．11C．126B．2D．335ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB．则B．在A．6B．C．3D．426．某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是A．29B．x2C．3D．32112正视图侧视图7．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACBC2，AA11，则点俯视图A到平面A1BC的距离为A．333334B．C．D．248．如图，程序输出的结果S132,则判断框中应填开始A．i10?i=12,S=1B．i11?否是C．i11?S=S*i输出SD．i12?

i=i-1结束9．已知不等式组取值范围为是

xy1xy1所表示的平面地区为D，若直线ykx3与平面地区D有公共点，则k的y0A．[3,3]B．(,1][1,)33C．(,3][3,)D．[1,1]3310．在直角坐标系xoy中，设P是曲线C：xy1(x0)上随意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A,B两点，则以下结论正确的选项是A．OAB的面积为定值2B．OAB的面积有最小值为3C．OAB的面积有最大值为4D．OAB的面积的取值范围是[3,4]x2y21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，右极点为A，上极点为B，若椭11．已知椭圆C：b2a2圆C的中心到直线AB的距离为6|F1F2|，则椭圆C的离心率e6A．2B．3C．2D．3223312．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，若对于随意实数x，有f(x)f(x)，且yf(x)1为奇函数，则不等式f(x)ex的解集为A．(,0)B．(0,)44C．(,e)D．(e,)第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都一定作答。第22～24题为选考题，考生依据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。13．已知(0,)，cos4)．，则sin(2514．抛物线y212x的准线与双曲线x2y21的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9315．已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是．16．若函数f(x)2sin(x)(2x14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f(x)的图84uuuruuuruur象交于B、C两点，O为坐标原点，则(OBOC)OA．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在等比数列{an}中，已知a12,a416．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式．（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的前n项和Sn．18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB2,BCCD1AB∥CD，极点D1在底面ABCD内的射影恰为点C．D1C1（Ⅰ）求证：AD1BC；A1B1（Ⅱ）在AB上能否存在点M，使得C1M∥平面ADD1A1？若存在，确立DC点M的地点；若不存在，请说明原因．AB19．（本小题满分12分）兰州市为加强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从切合条件的志愿者中随机抽取100名按年纪分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频次散布直方图如下图．（Ⅰ）若从第3，4，5组顶用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组起码有一名志愿者被抽中的概率．20．（本小题满分12分）

频次/组距0．070．060．050．040．030．020．01O202530354045年纪已知双曲线C：x2y21(a0,b0)的一条渐近线为y3x，右焦点F到直线xa2的距离a2b2c为3．2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与曲线C订交于B、D两点，已知A(1,0)，若uuuruuur1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．DFBF21．（本小题满分12分）已知函数f(x)exax（aR,e为自然对数的底数）．（Ⅰ）议论函数f(x)的单一性；（Ⅱ）若a1，函数g(x)(xm)f(x)exx2x在x(2,)上为增函数，务实数m的取值范围．请从下边所给的22、23、24三题中选定一题作答，假如多答按所答第一题评分。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A、B两点，APE的均分线和AE、BE分别交于点C、D．求证:E（Ⅰ）CEDE；CD（Ⅱ）CAPE．?OPCEPBAB23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x3cos，（为参数），以原点O为极点，x轴ysin正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()42．4（Ⅰ）求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．一、选择题题号123456789101112答案DCDBCDBBCAAB8．由题意，S表示从12开始的渐渐减小的若干个整数的乘积，因为12×11=132，故此循环体需要执行两次因此每次执行后i的值挨次为11，10,因为i的值为10时，就应当退出循环，再观察四个选项，B切合题意11.分析：设椭圆C的的焦距为2c(ca)，因为直线AB的方程为axbyab0，因此ab6c，因b2a2c2，因此3a47a2c22c40，解得a22c2或3a2c2（舍），因此a2b23e22二、填空题314.3315.(0,116.7213.)52115．分析：函数f(x)xlnxax，则f(x)lnxaxa)lnx2ax，1x(x令f(x)lnx2ax1得lnx=2ax-1，因为函数f(x)xlnxax有两个极值点，因此f(x)lnx2ax1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ylnx的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率k1，切线方程为y1x1.切点在切线上，则y0x010，又切点在曲线ylnx上，则x0x0x0lnx00x01，即切点为（1，0）.切线方程为yx1.再由直线y2ax1与曲线ylnx有两个交点，知直线y2ax1位于两直线y0和yx1之间，其斜率2a知足：0＜2a＜1，解得实数a1的取值范围是(0,).16．分析：∵2x14，∴f(x)0的解为x6，即A(6,0)，而A(6,0)恰为函数f(x)图像的一个对称中心，∴B、C对于A对称uuuruuuruuruuruuruur3672∴(OBOC)OA2OAOA2|OA|22三、解答题17.解：（Ⅰ）an为等比数列a4=q38;a1q2∴an22n12n6分（Ⅱ）∵b3a3238,b5a52532,又因为{bn}为等差数列∴b5b3242dd12a1a32d16∴Sn16nn(n1)126n222n12分218.解：(Ⅰ)证明:连结D1C,则D1C平面ABCD,D1CBC在等腰梯形ABCD中,连结AC∵AB2,BCCD1,AB∥CDBCACBC平面AD1C∴AD1BC6分(Ⅱ)设M是AB上的点∵AB∥CD∴AM∥D1C1因经过AM、D1C1的平面与平面ADD1A1订交与AD1，假如C1M∥平面ADD1A1，则C1M∥AD1，即四边形AD1C1M为平行四边形，此时D1C1DCAM1AB，即点M为AB的中点.2因此在AB上存在点M,使得CM∥平面ADDA，此时点M为AB的中点.12分111解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.因为第3,4,5组共有60名志愿者,因此利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:30×6=3；60第4组:20×6=2；60第5组:10×6=1；60即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.6分（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.此中第4组的2名志愿者B,B起码有一名志愿者被抽中的有:12(A1,B1),(A1,B2),(A2B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B,C),(B,C),共有9种,10分1121因此第4组起码有一名志愿者被抽中的概率为

93155

12分b3a2320.解：（Ⅰ）依题意有，c2aca2b2c2c2aa1，c2b23∴曲线C的方程为x2y216分3（Ⅱ）设直线l的方程为yxm，则B(x,xm)，D(x,x2m)，BD的中点为M112yxm22由得2mx30x2y22xm13∴x1x2m，x1x2m232uuuruuur1，即(2x)(2x)(xm)(xm)1∵DFBF2121∴m0（舍）或m2∴x1x22，x1x27M点的横坐标为x1x2122uuuruur∵DABA(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720∴ADAB∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径∵M点的横坐标为1∴MAx∵MA1BD2∴过A、B、D三点的圆与x轴相切12分21.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为xRf(x)exa当a0时，f(x)0，因此f(x)在R上为增函数；当a0时，由f(x)0得xlna则:当x(,lna)时,f(x)0,因此函数f(x)在(,lna)上为减函数，当x(lna,)时,f(x)0,因此函数f(x)在(lna,)上为增函数.6分a1xx2gx)(xmex)exx()(g(x)x(0,)g(x)xexmexm10x(2,)mxex1x(2,)ex1h(x)xex1x(2,)ex1h(x)(ex)2xex2exex(exx2)(ex1)2(ex1)2L(x)exx2L(x)ex10x(2,)L(x)exx2x(2,)L(x)L(2)e240h(x)0h(x)xex1x(2,)ex1h(x)h(2)2e21e212e2112m21e:( )PEOE,ABEPPCAPEACPA

BEP

DPEECD

ACPA,EDC

BEP

DPE,ECD

EDC,

EC

ED

5( )

PDB

EDC,

EDC

ECD,PDB

PCEBPD

EPC,

PBD

PECPEPCPBPD同理PDE∽PCA,PCCAPDDEPECAPBDEDECE,CAPE10分CEPBx3cosxcos23.解：(Ⅰ)由曲线C1：得3ysinysin即：曲线C1的一般方程为：x2y213由曲线C2：sin()42得：2(sincos)4224即：曲线C2的直角坐标方程为:xy8