低阶群的结构

近世代数基础》团队学习小论文2015届论文题目：低阶群的结构组长朱陈胤团队成员朱家彬、章媛、赵慧院系数理信息学院专业班级 数学与应用数学152尹幼齐尹幼齐完成日期2016.11.13 低阶群的结构摘要本文主要利用群的三个基本同构定理，Sylow定理和同余的关系对低阶群的结构进行分析。根据低阶群的基本性质可知，阶为素数的群一定是循环群。此外，低阶群可推出高阶群的结构，利用素数的幂方和倍数来讨论问题。由于群的概念太过宽泛，低阶群的定义较广，故本文只讨论到20阶群的性质，其它低阶群的性质可同理推出。关键词：群的基本同构定理；Sylow定理；同余；目录TOC\o"1-5"\h\z目录 3\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"2．阶数不超过20的群的个数和种类 2\o"CurrentDocument"3．p1、p2、p3（p为素数）阶群的结构 2p阶群必为循环群，只有一种类型。 23.2p2阶群必为交换群，有两种类型： 2\o"CurrentDocument"IG|=4 3\o"CurrentDocument"|G|=9 3p3阶非交换群（分p=2和p 2）,有下列情形： 3IG|=88阶群的结构共5种。 4\o"CurrentDocument"2p（p为素数）阶群的结构 5\o"CurrentDocument"|G|=6 5\o"CurrentDocument"|G|=10 6\o"CurrentDocument"|G|=14 6\o"CurrentDocument"阶为特殊值时群的结构 7\o"CurrentDocument"1阶群的结构 7\o"CurrentDocument"12阶群的结构 7\o"CurrentDocument"15阶群的结构 7\o"CurrentDocument"16阶群的结构 7\o"CurrentDocument"18阶群的结构 7\o"CurrentDocument"20阶群的结构 8\o"CurrentDocument"21阶群的结构 9\o"CurrentDocument"6参考文献 9引言群是近世代数的一个重要内容，而其中低阶群的结构就研究群的整体来说有极为重要的意义。许多抽象群或高阶群均可利用低阶群的结构推导出来。在社会不断进步的同时，群也在不断地发展、不断地完善。直至现在，还有很多人致力于矩阵的研究。本次课题的主要研究内容为归纳、总结群论在实际生活等领域的应用。通过本次课外团队学习的研究，使我们对群有了更深一步的了解，如知道了很多有关于群的发展史及其存在方式的多样性。研究群让我们的思维变得更加灵活，面对抽象的问题能更好的从容应对，它的神奇足以给我们以学好近世代数莫大的鼓励和支持。1若干定义及定理的准备定义1.1我们说一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群满足一下条件：(a)G对于乘法来说是闭的结合律成立，即(ab)c=a(bc)对于G中的任意三个abcG里至少存在一个左单位元e,使得ea=a对于G的任意元都成立对于G的每一个元a在G里至少存在一个左逆元a-i，能让a-ia=e定义1.2若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，并用G=(a)表示，a叫生成元。定义1.3若在G和G'间对运算o和o'来说存在一个同构映射，我们说对于代数运算o和o'来说G和G'同构并用符号G竺G'来表示.定理1.4有限阶群中元的阶是群的阶的因数.定理1.5群G中阶大于2的元素必成对出现.定理1.6若群G的阶为s,则群G中阶等于2的元素个数t于s的奇偶性相反，偶数阶群中t丰0定理1.7Sylow定理：设G是群且G=p$m且p是素数，p不整除m，则称G的ps阶子群为G的一个Sylowp-子群，则有以下条件满足G有pk(0<K<S)阶子群；G的每个pt(0<t<S)阶子群必包含在G的某个pt+i阶子群内，且前者是后者的正规子群；G的所有Sylowp-子群恰是G的共轭子群类，且若其个数为K,则|K||G,K三1(modp)定理1.8群的第一基本同构定理：设A和B是两个群的结构，f是A到B的态射，则A等价关系①：a~b当且仅当f(a)=f(b)是A上的一个同余类，并且A/①同构于f的像(B的子代数)。定理1.9群的第二基本同构定理：设B是A的子代数，①是A上的同余类。令［B］①是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/①的一个子集；①B是①限制在BxB上的部分。那么［B］①是A/①的子代数结构，①B是B上的同余类，并且［B］①同构于B/①B。定理1.10群的第三基本同构定理：设A是一个代数结构，①和甲是A上的两个同余关系，甲包含于①。则①定义了A/甲上的一个同余类@：［a］~［b］当且仅当a与b关于①同余（［a］表示a所在的甲-等价类），并且A/①同构于（A/W）/0O2．阶数不超过20的群的个数和种类从1到20的阶的不同的群的个数（群的个数按同构意义来分，以下表给出：阶数1234567891011121314151617181920群数1112121522151211415153．p1、p2、p3（p为素数，阶群的结构p阶群必为循环群，只有一种类型。IG|=2G={[0],[1]}|G|=3G={[0],[1],[2]}IG|=5G={[0],[1],[2],[3],[4]}|G|=7G={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]}|G|=11G={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10]}|G|=13即模13的剩余类加群|G|=17即模17的剩余类加群|G|=19即模19的剩余类加群p2阶群必为交换群，有两种类型：1，G=<a>,ap2=e（循环群，；G=<a,b>,ap2=bp=e=[a,b];VaeG,有(a)丨|G|，。(a)=p2或p即。(a)=p2,°(b)=p,G由a和b生成。G=<a,b,c>,ap=bp=cp=e=[a,b]=[a,c]=[b,c](初等交换群)。3・2・1IG|=4G的元的阶只能是1，2或4.G1=<[1]>•若G有一个元d阶为4,则G二(d)是一个循环群，且G与G1同构。S4的子群——klein四元群G2={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}若G没有阶为4的元，则除单位元e外，G的其它3个元的阶都是2,则有G=(e,a,b,c)a2=b2=c2=e贝JabeG,下证，ab=c.若ab=e，则ab二a2和b=a，这不可能。若ab二a，则b=e,也不可能。若ab二不，则a=e,也不可能。那么，可能的只有ab=c。同理可证ab=ba=c,bc=cb=a,ca=ac=b比较G和G2的代数运算，易见G和G2同构。3・2・2|G|=9同构于9阶循环群，即模9的剩余类加群。由a二[1]生产。o(a)=l,(b)=o(c)=3,令a=(l),b=(123),c=(456)•b3=c3=(l),b2=(132),c2=(465),bc=(123)(456)=bc,b2c=(132)(456)=cb2,bc2=(132)(465)=c2b同构于置换群{(1)(123)(132)(456)(465)(123)(456)(123)(465)(132)(456)(132)(465)}证明同四阶群。3.3p3阶非交换群(分p=2和p丰2),有下列情形：p3阶群的交换群情况和p2讨论相同，此处不缀余p=2时有两种类型：

（1）G=<a,b>,a4=b2=1,b-iab=a-1（两面体群）；（2）G=<a,b>,a4=e,b2=a2,b-iab=a-1（四元数群）。p丰2时，有两种类型：（1）G=<a,b>,ap2=bp=e,b-1ab=ap+1；（2）G=<a,b,c>,ap=bp=cp=e,[a,b]=e,[a,c]=e,[b,c]=e。3・3・1IG|=88阶群的结构共5种。VagG,有（a）8,:.（a）=l,2,4,8G中有8阶兀素，则G和（Z，㊉）同构8G中没有8阶元素，则含有2阶和4阶元素。又因为在一个有限群中阶为2的元素必为奇数,所以二阶元的个数只能是1各或者3个。1）二阶元的个数为1时，必存在1个四阶元。则设a=（1234），b=（56），此时为交换群，则有G=b=a2=b4,a,b,b2,b3,ab=ba,ab2=b2a,ab3=b3aI分别带入计算则可得其值。2）二阶元的个数为3时，有一个交换群和一个非交换群（1）为交换群时，令a=（12），b=（34），c=（56），则有G={e=a2=b2=c2,a,b,c,ab=ba,ac=ca,bc=cb!，带入计算即得值。（2）为非交换群时，即四元数群（｛1,i,j,k｝）,i4=j4=k4=1,j=k,ji=-k,i2=j2=k2=-1,ik=-j,ki=j,jk=-i,kj=i③同构与正方形所代表的二面体群。G=｛/,P,P,P,r,r,r,r｝正方形ABCD的对称群即二面体群D的元素为8个,1 2 3 1 2 3 4 4从几何的角度可以表示为4个旋转，4个反射。若将顶点A,B,C,D依次编号为1,2,3,4则D的8个元素的可以用置换表示。4P1=厂1234P1=厂1234、<2341,沿中心旋转2n,1=（1234J船中心逆时针旋转90。

沿中心逆时针旋转180°,P二2沿中心逆时针旋转180°,P二2,P3(1234'<2341'"1234'"1234'沿AD对称轴反射,r=;沿AC对称轴反射,r=1<4321'2J432‘"1234、"1234'沿AB对称轴反射,r=;沿BD对称轴反射,r=3<2143丿4<3214丿CH］；沿中心逆时针旋转27°。综上所述,八阶群的结构共以下五种。（1）同构于8阶循环群即模8的剩余类加群；（2）同构于正方形所代表的二面体群；（3）同构于四元数群：G=<a,b>,a4=1,a2=b2,b-1ab=a3（4）同构于置换群｛（1）,（1234）,（13）（24）,（1432）,（56）,（1234）（56）,（13）（24）（56）,（1432）（56）｝；（5）同构于置换群｛（1）,（12）,（34）,（56）,（12）（34）,（12）（56）,（34）（56）,（12）（34）（56）｝。其中（1）、（4）、（5）为交换群,（2）、（3）为非交换群。4.2p（p为素数）阶群的结构设群G的阶为2p,由sylow定理知，存在p阶元a和2阶元b,则G=<a,b>,且va>IG.设b-iab=ai，贝U有b-iab=ai2=ani2三1(modp)ni三±1(modp)i三1(modp)时，b-1ab=an0(a,b)=2p,所以G=<g>,g2P=1(循环群);i三-1(modp)时，b-1ab=a-1nG<a,b>,ap=b2=1,b-1ab=a-1。当取p=3、5、7时就得到6、10、14阶群的结构。4.1|G|=6eaa2ccaca2eeaa2ccaca2aaa2eca2cca（1） G为6阶循环群（2） c为2阶，a为3阶G为3次对称群S,是最小的非交换群，起运算表如下:3a2a2eacaca2ccccaca2eaa2cacaca2ca2eaca2ca2ccaaa2e4.2IG|=10在10元群中有一种群是循环群，即G1={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]}另外一种为与{(25)(34)，(12345)}同构的群;G2={(1),(25)(34),(12345),(12)(35),(13)(45),(14)(23),(15)(24),(13524)(14253),(15432)}G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，那么10元群除与这两种同构的群外，是否还有其他群存在呢？下面我们用群的性质来研究，10元群的阶只能是1,2,5,10,可以证明当10元群中有一个10阶元时它必为循环群G,G2有4个5阶元，5个2阶元和单位元构成，从元上考虑，若还有10元群存在，则满足如下条件；有唯一的单位元阶为2的元的个数为奇数阶大于2的元的个数为偶数，从此考虑其他10元群存在有如下4种情况G1={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}e=(aj)2(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9)即卩G1是由单位元和9个2阶元由2.5知2阶元是可以交换的，不妨令ab=ba=c(显然ab=e,ab=b,ab=a都不可能)由此可得ac=ca,bc=cb=a那么令G={e,a,b,c}是4元群，它是G1一个子群，这与拉格朗日定理矛盾故G1不构成群。G2={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}e=a12=a.5=e(j=2,3,4,5,6,7,8,9)即是G2由单位元，1个2阶元,8个5阶元构成；G3={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}e=a12=a22=a32=aj5(j=2,3,4,5,6,7,8,9)卩卩G3是由单位元，3个2阶元，6个5阶元构成;G4={e,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9}e=aj2=a85=a95(j=2,3,4,5,6,7)即卩G4是由单位元，7个2阶元，2个5阶元构成.先证G2不构成群，Va,bGG2，且a5=b5=e,aHb且则令H=(a),K=(b),由HK=HxK/HnK=25/HnK可知HAK=5即H=K同时a=a2=a3=a4=a5=5^5阶元只能有4个故G2不构成群，同理G3,G4也不构成群可见10元群只有如上两种类型，证毕。4.4|G|=14同构于14阶循环群。同构于7次对称群S7={e，c，c2，c3，c4，c5，c6，a，ca，c2a，c3a，c4a，c5a，c6a}5.阶为特殊值时群的结构1阶群的结构G=｛e｝,G上的二元运算为ee=e12阶群的结构（1） 同构于12阶循环群，即模12的剩余类加群。（2） 同构于六边形所代表的二面体群。（3） 同构于4阶交错群。（4）同构于置换群｛（1），（123），（132），（45），（123）（45），（132）（45），（67），（123）（67），（132）（67），（45）（67）,（123）（45）（67）,（132）（45）（67）｝。（5）同构于置换群｛（1），（123456），（789ABC），（135）（246）（79B）（8AC），（14）（25）（36）（7A）（8B）（9C），（153）（264）（7B9）（8CA），（165432）（7CBA98），（174A）（2C59）（3B68），（184B）（275A）（3C69），（194C）（285B）（376A），（1A47）（295C）（386B），（1B48）（2A57）（3C69），（1C49）（2B58）（3A67）｝其中A表示10,B表示11,C表示12.15阶群的结构设群G的阶为15,由sylow定理知，存在5阶元a和3阶元b,则G二<a,b>,且<a>IGo设b-iab=aina=b-3ab3=a：3ni3三l（mod5）,i三l（mod5）,所以b-iab=an0（a,b）=15，所以G=<g>,gi5=1。16阶群的结构16阶的群共有14个,其中有5个交换群和9个非交换群18阶群的结构IG|=18,G有五种不同类型的群设A为18阶的Abel群，则|A|=18=2x32。

由Sylow定理可以确定A的Sylow子群阶数分别是：也］=2和|Aj=32=9。从而得到A的初等因子有（2,3,3）和（2,9）。所以18阶Abel群有两个：Z㊉Z㊉Z和Z㊉Z。TOC\o"1-5"\h\z2 3 3 2 9（2,3,3）化为不变因子是（3,6），所以Z㊉Z㊉Z二Z㊉Z。23336（2,9）化为不变因子是（18）,所以Z㊉Z仝Z。2 9 18从而确定互不同构的18阶Abel群有两个：Z㊉Z和Z。3 6 18这两种群都是交换群;G=G=1a,ba9=b2=1,bab-1=a8jG=G=1G=(a,b,ca3=b3=c2=1,ab=ba,cac-1=a2,cbc-1a,bG=(a,b,ca3=b3=c2=1,ab=ba,cac-1=a2,cbc-1即G={(123456789),(19)(28)(37)(46)}G={(123)(456)，(12)(45)}G={((1)，(123))，((123)，(1))，((12)，(1))}这三种群都是非交换群5.620阶群的结构IGI=20,G有五种不同类型的群设B为20阶的Abel群，则|B=20=22x5,由Sylow定理可以确定B的Sylow子群阶数分别是：=2=4和B=5。TOC\o"1-5"\h\z1 2 5从而得到B的初等因子有（2,2,5）和（4,5）,所以20阶Abel群有两个：Z㊉Z㊉Z和Z㊉Z。2 2 5 4 5（2.2.5） 化为不变因子是（2,10）,所以Z㊉Z㊉Z二