均值不等式求最值的十种方法

#用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式a2+b2①a2+b2>2aboab<-（a、beR），当且仅当a二b时，“二”号成立;^2②a②a+b>2、aboab<(a、beR+)，当且仅当a=b时,“二”号成立;a3+b3+c3③a3+b3+c3>3abcoabc<（a、b、ceR+），当且仅当a=b二c时，“二”号成立;④a+b④a+b+c>33abcoabc<（a+b+c\3(a、b、ceR+)，当且仅当a=b=c时，“二”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”二“定”三“等”2r—a+bJa2+b2②熟悉一个重要的不等式链：Sab-<—ab一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例1⑴当口=工庄4时，求y=x(8-2x)的最大值。（2）已知0<x<1，求函数y二-X3-X2+x+1的最大值。解：y=-x2（X+1）+（x+1）=（X+1）（1一X2）=（X+1）2（1-X）=4=4•¥•¥・（1一x）<4=32=27当且仅当¥=1-X,即X=1时，上式取“二”故y=27。23max27评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系,求“积”的最大值。例2求函数y=X2\；'1-X2(0<x<1)的最大值。

x2x2(x2x2(因—•—•U—x222'x2x2()'++U—x2丿

223当且仅当*=(1—x2)，即x=丰时,上式取“=”。故y2忑max9评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3已知0<x<2，求函数y=6x(4-x2)的最大值。解：y2=36x2(4一x2)2=18x2x2(4一x2)C-x2)<182<182x2+(4—x2)+(4—x2)]3=18x83=27当且仅当2x2=(4一x2),即x=斗时，上式取“二”故y2=罟，又y>0,y=哮max27max3拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。例4⑴已知x<5，求函数y=4x—2+-^的最大值44x一5(x+5)(x+2)(2)设x>—1，求函数y=的最小值。r(x+1)+4]「(x+1)+1]解：y=当且仅当—+5>2.；(x+1)•丄—+5>2.；(x+1)•丄+5=9。+1评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5已知x>—1，求函数y=¥++?的最大值。

24(x24(x+1)^解^\*x>—1,.°.x+1>0，…y————3。(x+1)2+4(x+1)+4(x+1)+_±_+42x2+4x+1当且仅当x=1时，上式取“二”。故y=3。max评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。TOC\o"1-5"\h\z2cosx例6已知0vxv兀，求函数y=的最小值。sinxx兀x解：因为0<xv兀，所以0<2<2，令tan2=t，则t>0°11_cosx1+t213t所以y=击+盂厂=可+1=习+T-2卜I〜瓦当且仅当1=斗，即t=当,x冷时，上式取“二”。故y.=J卜I〜瓦2t233min评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数x、y满足xy=x+y+3，试求xy、x+y的范围四、拼凑常数降幂例7若a3+b3=2,a,beR+，求证：a+b—2。分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是a=b=1，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：*.*a3+13+13n3Ja3・13・13=3a,b3+13+13n3#b3.13・13=3b。a3+b3+4=6>3(a+b),「.a+b—2.当且仅当a=b=1时，上述各式取“二”，故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了例8若x3+y3=2,x,yeR+，求x2+y2+5xy的最大值。解：•.•3x1xxxx—1+x3+x3,3x1xyxy—1+y3+y3,3x1xxxy—1+x3+y3,

1+x3+x3+1+y3+y3+5U+x3+y3丿7+7\x3+y3丿x2+y2+5xy<==7。33当且仅当a二b二1时，上述各式取“二”故x2+y2+5xy的最大值为7。例9已知a,b,c>0,abc=1，求证：a3+b3+c3>ab+be+ca。证明：•.•1+证明：•.•1+a3+b3>3x1•a•b,1+b3+c3>3x1•b•c,1+c3+a3>3x1•c•a，当且仅当a=b=c=1时，上述各式取“二”故原不等式得证。五、拼凑常数升幂例10若a,b,ceR+，且a+b+c=1，求证fa+5+£b+5+^c+5<4^3。分析：已知与要求证的不等式都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是a=b=c=故应拼凑”罟，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：・・・2•罟•严<*+(a+5),2•聲•历+5<136+(b+5),2•:普•丘5<弓+(c+5),++'b+++'b+5+pc+5丿<31+(a+b+c)=32...ya+5+耳b+5+人：c+5<43当且仅当a=b=c=*时，上述各式取“二”故原不等式得证。例11若a+b=2,a,b,eR+，求证：a3+b3>2。证明：t3x1x1・a<13+13+a3,3x1x1・b<13+13+b3,.3(a+b)<4+a3+b3。又・・・a+b=2,.a3+b3>2。当且仅当a=b=1时，上述各式取“二”故原不等式得证。六、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。28xy例12已知x,y,>0,—+_=1，求xy的最小值。xy解：xy=xy・12解：xy=xy・12=xy.当且仅当-=-=2时,xy2即x=4.y=16，上式取“二”，故(当且仅当-=-=2时,xy2min41例13已知0<x<1，求函数y=—+的最小值。41所以y=匚+口=5+4(1—x)+亠>9。当且仅当x即x=3，上式取“二”故y=941所以y=匚+口=5+4(1—x)+亠>9。当且仅当x即x=3，上式取“二”故y=9。3mina2b2c21++>a+b+c丿。例14若a,b,cgR+，求证b+cc+aa+b2分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于a,b,c的轮换对称式，当a二b二c时，等式成立。此时a1a2b+c设m(b+亠冷，解得m肓，所以烽应拼凑辅助式于为拼凑的需要而添,解题可见眉目。a2b+cb2c+a二a,+>2b+c4c+a4:b2c+a丫c2a+b小二b,——+——>2.a2b2c21—++>—(a+b+c)。当且仅当a二b二c时，上述各式取“二”故原不等式得证。七、引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。149例15已知x,y,zgr+，且x+y+z=1，求一+—+—的最小值。xyzaar9a—+九x+—+九x+—+九x—九Vz丿丿Vy丿aar9a—+九x+—+九x+—+九x—九Vz丿丿Vy丿J+4+9=1+4+9+x(x+y+z-1)=xyzxyz

>2"+4"+6"—九=12"-九。当且仅当丄=九x,*=九y,^=九z同时成立时上述不等式xyz取“=”，123149即x=,y=,z=，代入x+y+z=1，解得九=36，此时12\；九—九=36，故一+—+—的入入入xyz最小值为36。八、引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例16设a,a2,•••,a为互不相等的正整数，求证a+—+3312aa1111+•••+—例16设a,a2,•••,a为互不相等的正整数，求证a+—+3312aa1111+•••+—n»—+—+—+•••+—n2123n证明：记bnaaaa=―1+—+3+•••+—n122232n2111，构造对偶式d=+++••a11•+■,

a

nb+dnn1、

a1+—+a丿1/a1、T+—+•••+、32a丿3当且仅当a=iVeN+,i<n）时，等号成立。又因为a,a,•••,a为互不相等的正整数,i12n111111所以d<；+只+77+，因此b>丁+怎n123nn12/a1、—+—+.—a丿21211

+—+•••+。3n评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。九、确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。例17在AABC中，证明cosAcosBcosC<-。8分析：cosAcosBcosC为轮换对称式，即A,B,C的地位相同,作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。证明：当cosA<0时，原不等式显然成立。，小.，“—1■TJ2L=丄cosA「cos2Ln丿'如果根据具体条件和解题需要，确立主元，因此可选一个变元为主元，将其它变元看当cosA>0时，cosAcosBcosC=—c