同步练习第一章第三节函数的基本性质

22222222和和仅供个人参考22222222和和高考复习：2.函的基本性质二.考要求：（1理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。（2会运用函数图象理解和研究函数的性质。Foronlyinstudyresearch;forcommercial三.命方向及典例探究Foronlyinstudyresearch;forcommercial、函数单调性的判断例1.试讨函数

f(x),x2

中的单调性（其中a0解：

x1则

f(x)(x)1

ax1x1

ax2x2

)(xx2112(x12x12x|xxx0,x0,|x即xx1212xx1

(xx)(xx211(x12

因此，当，

f(x)(x)12即

f(x)f(x),1

此时函数为减函数；当

a0

时，

f(x)(x)0,1即

f(x)(x),1

此时函数为增函数。点）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：①设元；②作差（商③变形；④判断符号；⑤定论。变形要彻底，一般通过因式分解、配方等手段，直到符号的判非常明显。（2判断函数单调性的常用方法：①定义法。②两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（）函数；当恒正或恒为负时，

y

f(x)

与

(x)

的单调性相反。③奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。④如果f(x)在间D上增（减）函数，那么f(x)在D任一子区间上也是增（减）函数。⑤如果

u

单调性相同，那么

yf[g(x)]

是增函数；如果

ug(x)

单调性相反，那么

yf[g(x)]

是减函数。⑥如果f(x)在间D上导且

f

在区间D上大于（小于）零则

(x)

在区间D上调递增（减、求函数的单调区间不得用于商业用途

22在在2由于xx1仅供22在在2由于xx1例2.求下函数的单调区间：（1（2

f(x)3x2;f(x)||;（3

f(x)

2

x|（4

f(x)

9x

0).分：给定函数的单调区间通常采用以下方法利用已知函数的单调性图法定（利用单调性的定义探讨导数．解：（1）

133f(x)3x)x(]对称轴为2∴f(x)

上是增函数，在3[,2

上是减函数。(x0)f(x)x3x(x（2由一次函数的单调性可得在

上是减函数，在

[0,

上是增函数。（3

2xf(x)3(x其图象如图所示。由此可知：

(x)(

上是增函数。f(x)[

上是减函数。（4方法一：设

0x1

，则9f(x)(x)))xx29(x)(xx9)(x)1221xxxx22

,0x,0,x1212的符号不能确定，因此需要对

xx1

的取值进行讨论。当

x12

时，有

1即

f(x)f(x)f(x)f(x1212∴f(x)

上是减函数。当

xx12

时，有

xx0,1即

f(x(x)f(x)(x),1不得用于商业用途

仅供个人参考∴f(x)

(3,

上是增函数。方法二：

99f(x)x,fx

或

x

（舍去又当

x

时，

f

∴f(x)

(3,

上是增函数，x

时，

f0,∴f(x)

上是减函数。点：函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．②可以熟记一些基本函数的单调性，化一些复杂的函数为基本函数组合形式后利用已知结论判．③函数的单调区间可以是开的可以是闭的可以是半开半闭的于闭区间上的连续函数来，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)意义，都可以使单调区间包括端点．、函数的值域（最值）的求法例求列函数的值域。

22

x12xx

x

xx

1

2分：题主要考查函数值域问题，考查运算能力、数学转化的思想，对于用别式法或分离常数进行转化；对于2用换元法转化为二次函数的值域问题；对于用本不等式或利用函数的单调性求解；对于4函数的有界性或由几何法求解；对于求数法求解．解）方法一：

x2y1x

y

即(（2方法一：设

1t(t0),

得

x,11(t(t2].12x(].方法二：2∴定义域为2∵函数

x,y

在

1(]2

上均单调递增，

111,y].22不得用于商业用途

且1212∴当或时有仅供个人参考且1212∴当或时有（3方法一：当

x

时，

4yxxxx当且仅当x当x时

时，取等号；y

4](当且仅当x

时，取等号。综上，所求函数的值域为

([4,方法二：先证此函数的单调性任取

x,1224f)(x)(x)x12(x)(xx22x1xx11

时，递增，当

2xx2

时，递。故x

时，

f(x)(极大

时，

f(x)(2)极小∴所以函数的值域为

([4,（4方法一：利用函数的有界性四.知要点点拨、函数的单调性是一个“区间概念一个函数在定义域的几个区间上都是增（）函数，但不能f(x)在说这个函数在其定义域上是增（减）函数。例如：函数x

上是减函数，在

上也是减函数，但不能说

f(x)

x

在

((0,

上是减函数，因为当

xf(x)(x)12不满足减函数的定义。、函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断增减性，是求最值和值域的前提，当然，函数图象也是函数单调性的最直观体现。、理解函数的奇偶性应注意（1定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条：f(x)(x)或fx)(x)

是定义域上的恒等式。（2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：

f(f((x)f(x)(x)f(x)

(x)（3①若f(x)是偶函数，则

f(x)f(|x

反之亦真。②若f(x)奇函数，且0在义域内，则

f(0)不得用于商业用途

和和仅供个人参考和和③若

f(x)

且f(x)定义域关于原点对称，则f(x)既奇函数又是偶函数。判函数单调性的常用方法（1定义法；（2两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；（3奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（4互为反函数的两个函数有相同的单调性；（5如果f(x)在区间D上增（减）函数，那么f(x)在D的一子区间上也是增（减）函数；（如果

g(x)

单调性相同，那么

yf[g(x)]

是增函数；如果

g(x)

单调性相反，那么

yf[g(x)]

是减函数。、判断函数奇偶性的常用方法确定函数的奇偶性，一般先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断

fx)

与f(x)关系，常用的方法有用函数奇偶性定义判断求（差判断即看f(x)

f(x)fx)

与的关系用求商法判断，即看

f

与

的关系）可由其函数图象直观判断。、求函数值域（最值）的方法（1利用基本函数求值域法有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域，如数

12x

{y0}.的值域为（2反函数法用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。形y

cxax

(a

的函数值域可用此法。（3换元法运用代数或三角代换所函转化成值域容易确定的另一函数而得原函数的值域如cx（4配方法

（，，c，d均常数，且ac）的函数常此法求值域。二次函数或转化为形如函数要注意的围。（5不等式法求值域

a[f2(x)bf(x)

类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的利用基本不等式：

ab,

用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等用

a

求某些函数值（或最值时满足三个条件①

ab

②

ab

（或ab为定值；③取等号条件＝，三个条件缺一不可。（6导数法不得用于商业用途

由是奇函数仅供个人参考由是奇函数设

(x)

的导数为

f

f

可求得极值点坐标，若函数定义域为a，最必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值。（7判别式法求值域把函数转化成关于x的二次方程

F(x,y)0,

通过方程有实根式

从而求得原函数的值域。形如

y

1xb2

（

,1

不同时为0的函数的值域常用此法求得。（8利用函数的单调性求值域通过确定函数在定义域内（或某个定义域的子集上）的单调性求出函数值域的方法为单调性法。虑用单调性法求值域常见的有

dx

（，，de为常数，且0与是同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失效等号不满ky(xk0),xk],足）的情况下，可采用单调性求值域，但需熟悉下列结论：函数x

函数递减，

k,

函数递增。（9数形结合法求函数的值域数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象来求函数的值域。（10）函数的有界性法形如

y

sinx

可用y表出

x

据

x

解关于y的等式y的的范围。【典型题】例（上春，）设函数

(x)

是奇函数。若

f(f(2)

则f

___________。部：题考查奇函数的概念。答：3解：

(x)

f((x).f((2),f((1).fff(1)(2)3,(2)f(1)3,2f2f(2)f(1)f(2)

故填－3。不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,z