同济第六版高等数学教案版第章不定积分

济数教案版分IMBofficeIMB5AB-IMBKIMB】

所以x是的所以x是的原函数第

四

章

不

定

积

分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重：1、2、3、教学难：1、2、3、

不定积分的概念；不定积分的性质及基本公式；换元积分法与分部积分法。换元积分法；分部积分法；三角函数有理式的积分。1不定的概念与性质一原数不积的念定义1如在区间I上导函数F的导函数为即任一xI有F那么函数F称为在间的原函数例如因为(以是的原函数又如当x因为

(

112xx

11提问:cosx还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数()区间I上连续那么在区间I上存在可导函数(x)对任一xI有F()()简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数f()区间I上有原函数F(么f(x就有无限多个原函数F(xC都是(x的原函数中C是任意常数第二(x的任意两个原函数之间只差一个常数如果()F(x都是f()原函数则)F()C(C为某个常数)定义2区间I上数(x)带有任意常数项的原函数称为f(x)(()dx)在区间I上的不定积分记作x)

其中记号分号f()为被积函数f(x称为被积表达式x称为积分变量根据定义如果F(x)是(x在区间I上的一个原函数那么(x是f()不定积分即因而不定积分

f(xdx

x)()可以表示()任意一个原函数例1因为sinx是cosx原函数所以x

11因为

是的原函数所以2x

12x

dx

例2.函数f(x)

的不定积分解：当x>0时(lnx)>0)

当x<0时[)]

ln(

<0)合并上面两式得到

||

例3设曲线通过点(12)其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为yf)按题设曲线上任一点(y处的切线斜率为yf(x,即(x是的个原函数因为故必有某个常数C(

2

C即曲线方程为yx

2

C因所求曲线通过点(12)211于是所求曲线方程为

2

1积分曲线函数f()原函数的图形称为f(x)积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系

[x)]f(x)

11或

[x](x又由于F(x是(x的原函数所以(x)或记作x)(x)

由此可见微分运算（以记号示）与求不定积分的运算（简称积分运算记号

表示）是互逆的当记号二、基积分表

与连在一起时者抵消或抵消后差一个常数(1)

是常数(2)

(3)

|x(4)

x

dx

x

(5)

ln(6)(7)

xxdxx(8)

2x

xdxx(9)

dx2x(10)

dx2(11)

1

arcsin(12)(13)(14)(15)

xdxxxcotdx

5157223513dxdx))2e5157223513dxdx))2edx例4

2例5

2

xdx

x2

52

77

例6

x3

43

13

3x三不积的质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和())]dxdxdx

这是因为,

[)dxdx]]

f(xg().性质2求不定积分时积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来x)dxx)dx

(是常数0)例7.

x

2

2dx

22C

例8

(x2xxx2x2x3ln||x

例9

x

3cosdx

x

例

dxdxln(2)2例

12)x2)x2)12dxdxarctanx例

x4x42

(x

2

1x

例

xdx

tanxxC

dxx)dxdxx)dx)d(3)11例

xx2

12

(xsinx)

例

1x22

dx

12

dx换元积分法一第类元设(u)原函数F()()且()微那么据复合函数微分法有d[()]dF(u)F(udu[(x]d(x)[(x](xdx所以F[(xF[()](x)F()dud[(x)]因此即

[)])]))][(uC]

u()

F[(x)]定理1设f()具有原函数u(x可导有换元公式)]d))du()[

被积表达式中的dx当作变量的微分来对待从而微分等式(x以应用到被积表达式中在求积分

dx

时果函数g(x可以化为(x)f[(x)](x的形式么))])du]例1.

xx)

sin2xC例2.例3.

1x3x23dx|||2xx)

(x)1sinx1111)arctanxa1)(x)1sinx1111)arctanxa1))[][ln|x|]ln|

2例4.

(13

2

)

32

例5.

xdxxcosx即

Cxdxx|类似地可得

|sin|熟练之后变量代换就不必再写出了例6.

12a

1)

a

dxaaa即

1x例7.

dxsha例8.a0时,

a

1

1aa

daa即

1a

arcsin例9.

111222x2x|2a2ax即

x2a

|例10.

dlnd(12lnxx)12lnx22lnx

2sin1cos2x11111xxcos2sin1cos2x11111xxcos|12lnx|例11.

3x

d3

de

含三角函数的积分例12.

xdx

x

dcosxdxcos3x例13.

x

xdx

xcos

xdx5

例14.

()2xdxx4例15.

4

xdx

2

)

2

dx(1cos2)]dx例16.

sinx432cos2cos5dx10例17.

xdxdxsinx

12sincos2

xx

ln|

ln|cscx|即xdxln|cscx|C例18.

)dx|csc(x))|2lnx即xdxlnxC

{[()]}t)[)]t)[)](){[()]}t)[)]t)[)]()1xa21111,xxa2二第类元定理2设x(t是单调的、可导的函数并且(t)0又[()]()具有原函数F()则有换元公式)t)

(其中(x是xt)反函数这是因为dt1dt

例19.求

2

2

dx

a>0)解:设sintdxtt于是

2

那么a222t

tdt

(tsin2)24因tarcsin

x

,

ttta

所以

a22tsint)x22a解:设sint

2

那么

tdt

(tsin2)x24a

2

2

提示:

a

a

tdt提示:

tarcsinsin2t2sintcostaaa

例20.求

x

(a>0)解法一设t

2

那么x

2

2

t1

2

t

adxa

tt于是

dx2

2

sec2tsect

lnt|C

x221x21x)x221x21x)1x2ln|因为sectta

所以

x

lnt|

x2aa

)ln(x

)其中CCln解法一设t

2

那么

dxa2t2t

ttantCln()xa

)其中CCln提示:

x

2

2

a

t

asectdxa

2

tdt提示:

secttana

解法二:设t那么a

x

)其中CCln提示:

x

2

2

2

2

2

achdxadt例23.求

x

a>0)解:当x>a设t(

)那么x

2

2

a

t

sec

2

t

at于是因为tantsecta

x

sectt2tant所以

lnt

x22

lntt|C

xa

|ln(xx

)

1111x1111x其中CCln当xa则u>a是

)ln(a

)x

)其中CC2lna综合起来有

x

x

|解:当x>a设t(

)那么x

)其中CCln当xa则u>a是

)其中CC2lna提示:

x

2

2

a

t

sec

2

t

atant提示:

tantsecta

综合起来有

x

|补充公式(16)

|sin|(18)

|secxx|

arctanln|xarctanln|xxdxlnxdx(19)

xdx|csc(20)(21)

x2a1xx

|(22)

1a2

a(23)

x

x

)(24)

x

ln|x

|分部积分法设函数(x)vv()具连续导数么个函数乘积的导数公式为uv移项得

()对这个等式两边求不定积分得

或

这个公式称为分部积分公式分部积分过程:

例1

xsinx

xsinxcosxC例2dxxx例3

x

dx

x

x

x

dx

x2

2xex

2x

C

2x2)C例4

11222x

lnxxxln1arctanx11lnxxxln1arctanx111(xa)2[1124

例5

arccosxxarccosx

)

)arccos

例6

2

11222

arctan22例7

x

解因为

x

xdxxde

x

x

x

sinx

x

x

x

cos

x

xdx

所以

e

x

sinxdx

e

x

(sin

x)例8

xdx解因为xx|

所以

xdx(secx|secx|)例9

I

dx(x2)

其中正整数解I

1x2a当n1时，用分部积分法有

(x

x

)

n

(x

1

)

(x

a

)

即I

n

22n

II)nn于是

I

2a

1((2

)

nI

]以此作为递推公式并由Iarctanaa

即可得I

例求

x

02n01m0202n01m02解令xt则dx2tdt于

x

dx

t

t

x

(xe

(第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分)]dx)

令)

vdx(x)

(xv()()

哪些积分可以用分部积分法？dxxdxxdx

x

xdx

x

dx

x

dx

2

u

du

2

x

dx

2

de

x

2

x

x

dx

2

几种特殊类型函数的积分一有函的分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数具有如下形式的函数:P(xnnnx)xxm01

其中m都非负整数

a及bb

b都是实数并且ab当称这有理函数是真分式而这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式如x3xx2

13x11dx13x11dx真分式的不定积分求真分式的不定积分时如分母可因式分解则因式分解后化成部分分式再积分例1

x

解

x

xx(

)xxx

xC提示

xAB(A)x)(xx(xx3A2B36B5分母是二次质因式的真分式的不定积分例2

解

2x1xx

dx提示

ln(2xarctan2xxxx2xx2xx例3

1x(x

2

解

dx]x(x2(x111x(x

2

x|x提示

1xxx(2(x(x

2

1x(x(x(x2

xxxx22utan22则2u))(uxxxx22utan22则2u))(uu|)tan|ln|tandx二三函有式积三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由各种三角函数都可以用x及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、x的有理式用于三角函数有理式积分的变换:把xcos表成的函数后作变换u

sinx2sin22

2tanx22cos22

1tansec2

2212

22

变换后原积分变成了有理函数的积分例4

xsinx(1x

解令

sinxcos1

22

x2arctan

于是

xsinx(1x)

)122112u1221x42222解令

则x1说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如

1

(1x)ln(1x)三简无函的分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去

xx例5

xx

解设

即

x

则xx例6

求

3x解设

即

x

则3(x

|例7

(1)x解设6于是5dt从而6

x

6

x)例8

1x

解设

1x

即

t

于是1xx

练习

1求2cos2解作变换ttan则有2dt1t21arctanCarctan(tan)3352求cosx

11

解

5sin4coscosxcosx

xx

d2xx3cos3x3求

x

2

3

1lnlnb1lnbx11lnlnb1lnbx1解

x

2

3

3x(2)(

74(xx

)7ln|x2|4ln|§分表的用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便往往把常用的积分公式汇集成表这种表叫做积分表求积分时可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果积分表一、含有的积分1

ln||ax2

dx

1a(

(3

dx(ax|)axa24

21axa3

ax)

(ax2

ln|ax|5

axxbx

6

x

1ax(axbxb2x

7

x1(2

ln|ax8

x2(ax

2

dxaxln|axa39

1xax(ax)

例求

x(3

解这是含有34积分在积分表中查得公式

x1(2

ln|ax现在a3于

xx29

4

222arctandx2arctanx2ln222arctandx2arctanx2ln二、含有ax的积分1bdxax3a

2axb)(3a23

a

x2

2

))

45

xx2

(axbax322)6

dxx

baxbax

b7

x2

adxaxbxx8

axx

dx

x9

dxx2x三、含xa的积分1

1a2

(x

2

)

n

n

x(x

)

n

2n2(2(x2

)

n3

lna四、含有ax

ba0)积分1

dxax

arctan

x((b2

2

ln|2a

3

2ax2

dx24

1xx(axax

ln1x1x1dx2ln(xxlnx222ln1x1x1dx2ln(xxlnx2223ln123ln5

x2

1aax

6

x3

ax22

|x

27

2

2

x1122b

五、含有axbxc(a0)积分六、含有2

a的积分1

x

xx2)2

(x2)x

3

xx22

x

2

4

(x22)x225

xx

x22

)6

x2(x2

dxln(2)3x2

)7

dx122

|

89

x2

x22

a2x2

)例求解因为

xx21x22

x)2

所以这是含有2

2

的积分这里

在积分表中查得公式

dx122

|

于是

dxx2

)222x|32|

七、含有2

a的积分

x|1x1x22ln|x2xdxx22x2xx1x|1x1x22ln|x2xdxx22x2xx1axln21

archx|x

2

|23

(x2xx

)3ax2

xx2

2

4

(x

dx