余弦调制滤波器组的优化设计

摘要多速率滤波器组在通信信号处理、音/视频的编码、压缩和识别、自适应滤波、雷达信号处理、快速计算、系统辨识、噪声消除等领域均有着广泛的应用。通过它可以有效地降低信号处理的复杂度、数据传输量和存储量。近年来，余弦调制滤波器组受到了极大的关注并且是被广泛使用的一类多速率滤波器组，它可以通过对低通原型滤波器进行优化设计，并通过快速离散余弦变换(DCT)得到分析和综合滤波器组，因此该滤波器组具有计算复杂度低和设计过程简单等优点。本论文主要讨论了近似重构的余弦滤波器组的设计方法。首先介绍了滤波器组的概念，然后给出基于此概念的余弦调制滤波器组(Cosine-ModulatedFilterBanks，CMFB)的设计及实现，然后提出了一种近似重构的多带余弦调制滤波器组的设计方法。采用凯泽窗设计法设计原型低通滤波器，在准确重组的前提下，对低通滤波器系数进行优化。该方法优化方便，收敛速度快，与其他方法相比滤波器的阻带衰减大。对设计好的原型滤波器再进行余弦调制，即得到余弦调制滤波器组。利用计算机对本文提出设计方法仿真，并进行性能分析。【关键词】M通道滤波器组余弦调制滤波器组近似重构原型滤波器组Kaiser窗函数法计算机仿真ABSTRACTMultiratefilterbankshavevariousimportantapplicationsinincommunications,transmultiplexing,subbandcodingofspeechandimages,radar,adaptivefilter,denoising,systemindentificationandmanyotherfields.Therearemanyadvantagesofthefilterbankssuchasreducedcomputationalcomplexity,reducedtransmissionrate,reducedstoragerequirement.Inmultiratedigitalfilterbankssystem,thecosinemodulatedfilterbankshavereceivedwidespreadattentionandarethemostfrequentlyusedfilterbanksatpresent.Theycanachieveperfectreconstructionbyoptimizingtheprototypefilterandallanalysisandsynthesisfiltersareobtainedfromtheprototypefilter.Cosinemodulatedfilterbanksarewellknownfortheirlowdesignandimplementationcost.Inthispaper,thetheoryoffilterbanksisfirstlyoverviewed.ThenthedesignandimplementationmethodofthemultracarriermodulationbasedonCMFBarepresented.AmethodfordesigningM-bandcosine-modulatedfilterbankswithnearperfectreconstructionisproposed.UnderthepresumptionofPR,thecoefficientsofthelowpassprototypeareoptimized.Comparedwithotherdesignmethods,theproposedtechnigueyieldsPRfilterbankswithmuchhigherstopbankattenuation.Adesignexampleispresentedtoshowthatcosine-modulatedfilterbankswithhighstopattenuationcanbeachievedusingtheproposedmothod.Thispaperconsistsoftwotopics:prototypefilterdesignandCMFBperfectreconstruction.【Keywords】M-bandfilterbanksCosine-modulatedfilterbanksNearperfectreconstructionTheprototypefilterbanksKaisercomputersimulation目录TOC\o"1-5"\h\z、/■ 、亠 L前言 5\o"CurrentDocument"第一章绪论 6\o"CurrentDocument"第一节滤波器组的概述 6\o"CurrentDocument"第二节滤波器组的发展和分类 7一、滤波器组发展 7二、滤波器组的分类 8\o"CurrentDocument"第三节 选题意义和研究内容 9\o"CurrentDocument"第四节 本论文的主要工作 9\o"CurrentDocument"第二章滤波器组基础 11第一节 滤波器组的基本概念 11\o"CurrentDocument"第二节 抽值器和插值器 12一、抽值器 12二、插值器 15\o"CurrentDocument"第三节M通道滤波器组 18一、滤波器组的基本关系 18二、 M通道滤波器组的设计 19\o"CurrentDocument"三、 调制滤波器组 19\o"CurrentDocument"本章小结 20第三章余弦调制滤波器组 21\o"CurrentDocument"第一节引言 21\o"CurrentDocument"第二节余弦调制滤波器组的基本结构 21\o"CurrentDocument"第三节余弦调制滤波器组的完全重构条件 22\o"CurrentDocument"本章小节 26\o"CurrentDocument"第四章余弦调制滤波器组的优化设计 27\o"CurrentDocument"第一节引言 27\o"CurrentDocument"第二节余弦调制滤波器组的优化设计 27\o"CurrentDocument"第三节基于Kaiser窗函数法设计余弦调制滤波器组 28一、窗函数设计滤波器 28二、凯泽窗函数设计的原型滤波器 29\o"CurrentDocument"第四节仿真与分析 30\o"CurrentDocument"本章小节 33结论 34致谢 错误！未定义书签。附录 错误！未定义书签。一、英文原文 错误！未定义书签。二、英文翻译 错误！未定义书签。前言第一章绪论第一节滤波器组的概述随着社会经济得法展，人类交往活动范围的不断扩大，人们迫切需要交往中的各种信息，而移动通信则是达到通信最终目的的有效手段，随着社会科学技术的不断发展，特别是无线电通信技术的发展和成熟，从18世纪末以来，移动通信技术取得了极大的进展。在信息化时代的今天，如何有效的存储、传输、处理数字信号是人们研究的热点问题。多速率信号处理作为数字信号处理的一个重要分支，给我们提供了一个灵活实用的信号处理解决方法。多速率的概念是指在一个信息处理系统中，存在着多个不同的数据处理速率，即多速率系统中必然包含被处理信号采样率的变换过程。在多速率信号处理中，它的主要内容是信号抽样率的转换器及各种滤波器组，而传统的单速率数字信号处理系统的基本组成单元是乘法器，加法器和延迟单元，例如数字滤波器、傅立叶变换、调制器等，因此信号的处理速率是单一的。多速率信号处理从20世纪70年代以来被广泛的研究和应用。在几十年的发展过程中，多速率信号处理的理论研究逐步丰富完善,多速率信号处理的应用也从最初的语音处理发展到通信、图像编码、雷达、自适应信号处理、短时频谱分析等各个领域。如此广泛的应用也极大地促进了多速率信号处理理论的发展，促使越来越多的研究者开始关注多速率信号处理的算法和发展，多速率信号处理目前已经成为现代信号处理的关键技术之一。多速率信号处理领域中最基础最重要的模块当数多速率滤波器组。多速率滤波器组的基本原理是先通过分析滤波器组及其级联的下采样器将输入信号分解为多个子带信号，然后在子带域根据应用场合的不同进行相应处理，最终通过综合滤波器组及其级联的上采样器将子带信号恢复成为输入信号或稍有失真的输入信号。传统的多速率滤波器组设计的基本问题就是：如何设计满足一定特性的分析和综合滤波器组，使整个多速率滤波器组的幅度失真、相位失真和混叠失真可以控制在一个合理的范围内，甚至可以完全消除。在应用方面，利用子带编码来分离信号或者压缩信号是滤波器组的最早应用之第二节滤波器组的发展和分类一、滤波器组发展多抽样率数字信号处理的主要问题是设计一个有效的系统,使一个信号的抽样率提高或者降低任意倍，我们把降低信号抽样率的过程叫做抽值,而把提高信号抽样率的过程叫做插值，在许多信号处理技术和信号处理的应用中,抽样周期T是一个基本考虑,它常常决定实行信号处理是否方便,高效等，某些场合下,输入信号可能己被抽样,抽样周期T是某预先决定的值,我们的目的是将这个抽样信号变换成一个新的。具有不同抽样周期的抽样信号,所得的信号仍要对应于原来的模拟信号,这时就可能有必要将系统中信号的抽样率从一个抽样率变到另一个抽样率，我们称这样的系统为多抽样率系统。子带信号处理从提出概念到今天大约30年的历史,期间经历以下几个阶段:提出概念阶段滤波器组的研究最早起源于20世纪70年代,主要应用在多速率采样,减少计算杂度以及减少传输数据率和存储单元的要求，开始受到人们的关注时期是在1980年,提出了两通道正交镜像滤波器组(QuadratureMirrorFilter,QMF),由于子带滤波器组中存在:(1)分析综合滤波器(2)上下采样器,所以子带重构信号一般存在三种失真,幅度失真、相位失真、混叠失真，但这类滤波器组可以完全消除混叠失真和相位失真。一般存在混叠失真的滤波器组是线性周期时变系统,而完全消除混叠失真的系统是线性时不变系统，如果滤波器组的输出是输入的纯延时,则称为完全重构系统。基本理论发展的初步阶段在1986年,Smith和Barnwell提出了两通道的共轭正交滤波器组(ConjugateQuadratureMirrorFilter,简称CQF),这是首次实现完全重构的滤波器组；Vetterli在1986年,Vaidyanathan在1987年分别独立研究了两通道子带滤波器组的完全重构条件。他们分别引入了多相(Polyphase)分量的滤波器组设计分析方法,该方法使滤波器组的设计和分析大大简化，从而极大地推动了这一学科的发展。特别是Vaidyanathan提出了无损(Lostless)系统的晶格(Lattice)结构应用于设计完全重构的正交滤波器组，该结构可以实现功率互补的滤波器组，大大简化了滤波器的优化设计。这些理论都对滤波器组的理论和应用发展产生了很大的影响。理论丰富阶段20世纪90年代，小波的分析研究成为热点。多分辨率分析的研究表明，满足一定正则条件的滤波器组可以迭代设计出小波。Mallet提出双尺度方程以及塔式分解算法，这些理论研究成果将滤波器组和小波结合在一起，使滤波器组与小波的理论和设计有了非常紧密的联系。之后，人们开始重视并利用滤波器组来设计小波以及滤波器组自身理论的研究。。1991年，Nayebi等人提出了非均匀滤波器组的设计方法;Kovacevic和Vetterli提出了采样因子可以按照有理数变化的非均匀滤波器组；1992年，Vetterli提出了两通道滤波器组以及小波基和多分辨率分析的关系；Nayebi等人提出了滤波器组的时域设计方法和时变滤波器组。1992年，KoilpillaiR.D给出了M通道余弦调制滤波器组的完全重构条件和格型结构实现。这些理论都极大地推动了多速率滤波器组的发展并且为后面的深入研究奠定了扎实的基础。二、滤波器组的分类M带均匀滤波器组自从引入多相位量分析滤波器组后,许多学者开始了在这方面的研究，余弦调制M带滤波器组的出现是一次重要飞跃，得出了完全重构条件并用格形结构进行了实现。大大简化了M带滤波器组的设计而且出现了类似FFT的快速算法,即快速离散余弦变换，用调制的方法实现M带滤波器组的方法得到广泛的应用，其中提出的设计方法有:非余弦任意正交调制的M带滤波器组,扩展高斯函数的余弦调制滤波器组,用DFT调制的M带滤波器组等。线性相位滤波器组在某些应用中希望滤波器组是线性相位的,所以线性相位的滤波器组成为了人们研究的热点之一。线性相位一般是通过FIR滤波器实现的，所以由FIR滤波器做原型滤波器的滤波器组得到了广泛的研究，自从1993年,M通道线性相位正交滤波器组理论诞生以后,余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领域,从而大大简化了线性相位滤波器组的设计,后来提出的用矩阵分解的方法计线性相位的两通道滤波器组使得设计更加简洁。临界采样滤波器组当子带抽取因子M等于通道数M时，称为临界采样滤波器组，余弦调制滤波器组是一种典型的临界采样滤波器组，有效地降低计算复杂度和提高系统的收敛程度。第三节选题意义和研究内容众所周知，余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器都是由一个具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。随着多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立，精确重建余弦调制滤波器组（PR-CMFB）逐渐成为了一种最佳滤波器组。根据滤波器组的多相表示方法和精确重建理论，已证明这类滤波器组的原型滤波器的2M个多相元素可以归类为M个功率补对，且每个功率补对都可以用两通道无损格形滤波器组来实现。然而这种格形滤波器组的耦合系数是通过最小化原型滤波器的阻带能量来求得的。由于这是一个严重非线性优化问题，通常很难求解，故难以设计出具有高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。近几年针对该问题，许多学者都进行了广泛深入的研究，取得了众多研究成果。通过直接将原型滤波器系数作为优化变量，采用这种设计方法我们获得了高阻带衰减的精确重建余弦调制滤波器组。下面我们总结了现有余弦调制QMF组的设计方法优缺点：CMFB具有以下的特点：＞设计过程简单，只需优化设计原型低通滤波器；＞分析器和综合器等长，系数都是实数，且子带信号都是实信号；＞在实现余弦调制滤波器组时，与DFT（离散傅立叶变换）滤波器组类似，可以利用DCT（离散余弦）变换来实现；＞缺点是原型低通滤波器具有线性相位，但分析滤波器和综合滤波器不具有线性相位。第四节本论文的主要工作本文研究了多速率滤波器组的基本理论,其中研究了余弦调制滤波器组的设计方法,并且重点具体介绍了一种原型滤波器的优化方法,并用实例验证了该方法的可行性和优越性。本文的结构安排:第一章为绪论,引入了多速率滤波器组,及它的研究现状和应用。第二章介绍了M通道滤波器组的基础知识,阐述了抽值器和插值器、分析滤波器组和综合滤波器组等一系列重要的概念，对M通道滤波器组结构和设计进行了具体的阐述，详细分析了它们在时域和频域中的输入和输出关系。这些知识是本论文工作的基础。第三章在引入调制滤波器组的概念下,介绍了余弦调制滤波器组的理论及该理论下的余弦调制滤波器组的构造方法,并且出了消除失真的条件。第四章给出了基于Kaiser窗函数法设计余弦调制滤波器组,通过此法得到的目标函数只许改变一个参数就可以改变目标函数，并得到优化的原型滤波器组，给出了详细的设计步骤,给出了实例,验证了该方法的优越性。第二章滤波器组基础第一节离散时间信号首先由分析滤波器组分成几个不同或相同的子带信号，然后各子带信号经过处理，再经过一个综合滤波器组,最终形成输出信号。滤波器组指的是有着共同输入或者有着共同输出的一组滤波器。下图即为滤波器组示意图：下图即为滤波器组示意图：x(n)►H(z)补►H(z)补■M-1(a)分析滤波器组(a)分析滤波器组(b)综合滤波器组图2-1TOC\o"1-5"\h\z滤波器H⑵，H⑵，…，H(z)的频率特性如(a)所示，在x(n)通过这一0 1 M-1组滤波器后，得到的x(n)分解的一个个子带信号x(n)，x(n)，…，x(n)，使得0 1 M-1它们的频谱相互之间没有交叠之处。因为H(z)，H(z)，„，H(z)一组滤波器的0 1 M-1作用是将x(n)作子带信号分解，所以被称为分析滤波器组。子带信号x0(n)，x1(n)，„，xMl(n)分别通过对应滤波器G(z)，G(z)，„，01 M-1 01G(z)，得到输出信号分别是y(n)，y(n)，„，y(n)。这几个信号相加后得到M-1 0 1 M-1的是信号x(n)。显然，G(z),G(z)，…，G(z)的任务是将子信号x0(n)，xi(n)，…，0 1 M-1 0 1xM_］(n)综合叠加为单一的信号x(n)，所以被称为综合滤波器组。通过分析-综合的操作，滤波器组通常会产生的三种失真：1.混迭失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开及x(n)的抽样频率f不能大于其最高频率成份的M倍所致；s2.幅度及相位失真：这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致；3.对x(n),x(n)，…，x(n)作M倍抽取后再作处理(如编码)所产生的0 1 M-1误差(如量化误差)。在滤波器组的研究中，一般消除第一类和第二类失真，或着重其中一种失真的研究。第二节抽值器和插值器抽值(下采样)和插值(上采样)是滤波器组的基本组成部分，可以来完成抽样率的转换，保证x(n)和x(n)的抽样率。一、抽值器将数字信号x(n)分解成M个子带，如图所示。x(n)M-1图2-2数字信号分解成M各子频带在这种情况下，每一组子带信号x(n),k二0丄…M-1的样点数至少和原始信号样k点数一样。这意味着分解成M个子带后的信号的样点数至少是原始信号的M倍。这样会使样点数扩大不利于传输。一般情况下，在频域范围内信号是均匀分割的。则各个子带的带宽是相等的，每个子带的带宽是原始信号带宽的1m。可以对每个子带以系数M抽值(临界抽样)就有可能不会损失原始信号中的信号，同时可以使一个信号分解成多个子带，但总的抽样点数不增加。分析其中一路子带信号，取样信号为x(t)，设x是对模拟信号x(t)以周期T取样得到的数字信号即x(m)=x(mT)。以因a m a a1子M对信号x抽取或下取样就是减少取样速率M倍，等效于每隔M保留一个取样值,

此操作用途如图2-2所示的符号表示，M=2的情况如图2-2. —I —x(n)d图2-3M倍抽值下取样后的信号和原始信号之间的关系可以直观的表示为x(n)=x(nM)d在频域，如果x的频谱是X(ej®)，则下取样的频谱X(ea)为md1 2k兀2.1)2.2)nmdX(e)=YX(ejm)dM2.1)2.2)nmd012345图2-4

2倍抽值所使得M=2的情况，式说明将x的频谱扩展M被以后2沢为周期延拓m2兀到x(n)的频谱(等价于将x的频谱先以竺位周期延拓，在扩展M倍)。这意味着,d m M要避免下取样后的混叠，信号x信号x带宽必须限制在m。因此，通常在下取样之前先经过一个如图2-3所示的低通滤波器，其频率响应近似为1,®1,®e兀 兀X(ej®)=_MM_d0,2.3)加入滤波器以后，下取样信号x(m)是对信号x和滤波器脉冲响应h(n)卷积结果dm每隔M的取样值，下采样后，信号频谱为下图(a)。根据抽样定理f>2Mfc，不会发生频谱混叠，对x(n)做M倍的抽值得到y(n),则要求满足f>2Mfc，不满足条件会产生混叠。4打-4打 _24打-4打 _2兀|-鸯0叫冒2汀a)匕 -衍！，| 0冷器2汀 5色坏 |*-L ［-.：■(b)2.4)图2-4(a)原始数字信号的频谱(bM=2时原始信号取样函数的频谱2.4)x(n)=£x(m)h(nM一m)ddm=-gMm ・ h(z)*HiM* *x(n图2.5一般抽值操作F取样的一些重要结论［?］：•时变性，即如果输入信号x时移k，输出信号通常不是相应的时移k。下取样m称为周期性时不变操作。•从(2.4)式可知，如果滤波器H(z)是FIR，它的输出只需要计算每隔M个取d样点的卷积结果，其实现复杂度是普通滤波器运算的丄。而IRR不具有该特性。则可M以放宽对滤波器的限制，H(z)为dH(ej®)=H(ej®)=dL,®]p2兀kMP2兀k+®Mp,k=1,2,M-12.5)二、插值器将分解的M个子带综合成数字信号，如下图所示： x(n)x(”M-*G(z)x(”M-M-1图2-5分解后M各子频带综合为数字信号由于要求重建后的信号x(n)等于原信号x(n)，或是其一个好的近似，因此，在综合滤波器组G(z),G(z)，…，G(z)之前还应加上一个M倍的插值器，使得X(n)0 1 M-1和x(n)的抽样频率一致。对数字信号x内插或上取样L倍，即在信号的样点之间插入L-1个0,此操作用m图2-5表示。x(m)——厂口—4 M(n)I 1 i图2-6L倍上取样插值信号表示如下X.(n)ix(-),nX.(n)ix(-),n=kL,keZ=<L02.6)L=2的插值操作如图2-6所示。在频域，设x的频谱为X(ej®)，直观地，可以得到内插信号的频谱X(ej®)miX(ej®)=X(ej®L) (2.7)

图2-7是信号x和内插因子为L的内插信号X(n)的频谱。mi012345678910图2-7 2倍插值2冗因为原始信号的频谱以2“为周期，所以内插信号的频谱周期为丝。要得到X的Mm平滑内插信号，内插信号要和原始信号x有一样的频谱形状，这可以通过滤除X(n)中mi处在-4兀-I--彩0再冒2打鹽 |+ $(a)8?!g 871— ,,(b)图2-8(a)原始数字信号频谱 (b)L倍内插后的信号频谱「兀斗之处的频谱来实现。因此，通常在内插操作的接一个低通滤波器见图2-8。_M'M_其频率响应近似为

H(eH(ej®)=i厂L,®e<兀 兀_M,M_02.8)这样内插操作等价于低通滤波器和(2.7)式定义的信号x(n)的卷积。考虑到只i有X(n)的非零样点的索引值是M的倍数，将式(2.7)改写为i2.9)Ix(k),keZ

Xi(kM)%2.9)从这个等式容易看出，在时域，滤波后的插值信号变成x(nx(n)=i艺X(m)h(n-m)=艺x(k)h(n-kL)i2.10)k=-gmk=-g插值操作的一些重要结论［?］:•和下取样操作不同，内插是时不变操作。具体地讲，IM是内插L倍运算符，信号x(n)=I{x(m)}，贝{x(m—k)}=x(n—kM)。i M M i•从(2.10)式可知，计算滤波器H(z)的输出只需在输入信号中每隔M点取一i个样点，因为器它的样点值都为零。这意味着其实现的复杂度是普通滤波的丄。M•如果信号x限带于®1则内插后，信号频谱只在2加(k=1,2,…,M-1)m pp M®周围半径为”的范围内出现。因此，可以同样地放宽对滤波器的限制，得MH(ejH(ej®)=iM，Mle0,?r2兀k-®0,®e p1 M2兀k+®-M^,k=1,2，…,M-12.11)2.10式中的增益因子L可以这样理解，因此只保留信号的L个样点中的一个值，1信号的平均能量减少为原来的—倍，因此，插值滤波器的增益必须是L，以弥补这L2个能量损失。

第三节M通道滤波器组、滤波器组的基本关系一个标准的M通道滤波器组示意图如下图2-9M通道滤波器组由图可以得出各信号直接存在相互关系，即：Xk(z)=X(z)Hk(z)（2.12）V(z)=丄艺X(Wiz方)=丄艺X(Wiz(Wizmm)k M kM M M kMi=0 i=0（2.13）及U(z)=VZm=丄艺XzW1H)zW(1 )k k M M k M1=0（2.14）得到滤波器组的最后输出关系为：如果设：XX(z)=艺G(z)U⑵=丄艺X(zWi)艺H(zWi)G(z)k k M M k M kk=0 i=0 i=0（2.15）则有输出：A(z)=丄Eh(zWi)G(z)i M k Mkk=0（2.16）XX(z)=艺A(z)X(zWi)（2.17）Mii=0所以最后的输出文（z）是X（zW1）及其移位的加权和。M

二、M通道滤波器组的设计设计M通道滤波器组，就得考虑滤波器组的混叠失真、幅度失真以及相位失真和准确重建问题，所以设计过程中，需研究如何去除这三大失真和实现输出对输入的准确重建。去除混叠失真：因为X(zWMi) =X(ej(5/M))是在/丰0时X0®)的移位即是混叠分量，如Mz=ej果可以保证：2.18)Az(z)=0,l=1,2,...,M-1则可以去除滤波器组中的混叠失真部分。2.18)为了保证去除混叠失真的条件即式2.18,据式2.16,Hk(z),Gk(z)(k=0丄…,M-1)的性质决定着A1(z)〜AM-1(z)为零是否能够实现即混叠抵消条件是否能够成立。将2.16式改写为矩阵形式，即A(z)0A(z)1AM一1(A(z)0A(z)1AM一1(Z)H(z)0H(zW)0H(zWM-1)0H(z)1H(zW)1H(zWM-1)1H(z)M-1H(zW)M-1H(zWm-i)M-1G(z)0G(z)1G-i(z)2.19)在2.19式中，令,0]T,G (z)],0]T,G (z)]T…M-1a(z)=[A(z),0,0g(z)=[G(z),02.21)这样a(z)满足式2.18的条件，令式2.19的右边的矩阵部分为H(z)，所以混叠失真的条件可以表示为： …H(z)g(z)=Ma (2.22)观察式2.19中矩阵H(z)，每下一行是由上一行中M个滤波器组移位得到的，所以H(z)被称为混叠分量矩阵。由式2.22•，得出综合滤波器组g(z):g(z)=H-1(z)Ma(z) (2.23)如果选定Ma(z)=[MA(z),0, ,0]t=[c'z-k,0, ,0]，在矩阵H(z)已知的情况下，0就可求出综合滤波器组g(z)，同时，可以保证整个M通道滤波器组的PR特性。三、调制滤波器组在M通道滤波器组设计中，随着M通道数的增多，计算的复杂度越来越大，在实际应用中，结构设计最大通道数应限制在50-100范围以内，超过此范围，计算复杂度不在合理应用范围内，在通道数增加的情况下，产生其他的设计方法。调制滤波器组的提出就解决了通道数增加导致计算复杂度增加的问题，调制滤波器组是通过调制一个或两个原型低通滤波器得到各个通道的滤波器，因而可以降低滤波器组的设计难度，大大简化计算复杂度。调制滤波器组因可以借助DFT或DCT变换实现，在实际信号处理中主要有两类调制滤波器组：复指数调制滤波器组（DFT滤波器组）和余弦调制滤波器组。本章小结首先在2.1对滤波器组的基本概念进行了简单的介绍，同时介绍最典型的分析滤波器组和综合滤波器组和它们的作用，然后在2.2对滤波器组中的基本组成部分抽值器和插值器进行分析，比较时域和频域分析，在2.3中开始进入论文基本理论部分，描述了M通道滤波器组的基本关系，以及M通道滤波器组的一种设计方法，最后，由设计方法的缺点引导调制滤波器组的概念以及典型的调制滤波器组。第三章余弦调制滤波器组第一节引言调制滤波器组主要分为复数调制滤波器组和余弦调制滤波器组，对于复数调制滤波器组，即使h(n)是实的，h(n),k二1〜M-1也是复的，对实信号x(n)，经分析滤波k器组的分析后，M个子带信号也都变成复信号，这些都是复数调制滤波器组的缺点。由于余弦调制滤波器组是M带调制滤波器组中的一种，该滤波器组最吸引人的特性在于滤波器组是对一个或者两个原型滤波器进行离散余弦调制而得到的。主要的设计过程集中在对原型滤波器的设计和优化上。从而使该滤波器组具有设计实现均非常简单的优点，并且当滤波器组子带数量较大时更体其算法的优势。当要设计和实现的滤波器组子带数量很大是，余弦调制滤波器组是一个有吸引力的选择。它的主要特点是：•设计过程简单，包括生成一个低通原型滤波器，其脉冲调制满足准确重建的一些约束条件。•就所需要的乘法次数而言，其现实成本低。因为生成分析滤波器组和合成滤波器组是靠DCT变换来实现的，DCT有快速算法，而且每个子带滤波器共享原型滤波器的实现成本。第二节余弦调制滤波器组的基本结构图3-1为一个M通道的余弦调制滤波器组频域结构示意图:图3-1M通道余弦调制滤波器组在图3-1中，若给定一个低通原型滤波器h(n)，且h(n)是实序列的，因此其幅度响应是关于①二0对称的，令其截止频率为土兀/2M,因此带宽为兀/M。TOC\o"1-5"\h\z即 h+(n)二h(n)ejtn/2m，h-(n)二h(n)ejtn/2M (3.1)00由上两式综合一个实滤波器：兀nh(n)=h++h-(n)=2h(n)cos( —) (3.2)0 0 0 2M将H(z)作频移，最终得到：h(n)二2h(n)cos((22+1)e—),k二0,1,...M-1 (3.3)k 2M即得到M通道实的均匀抽取的分析滤波器组。第三节余弦调制滤波器组的完全重构条件余弦调制滤波器组设计的基本思路：下面具体阐述余弦调制滤波器组设计的具体过程：指定原型低通滤波器：给定一个低通原型滤波器h(n),且h(n)是实序列的，因此其幅度响应是关于①二0对称的，令其截止频率为土兀/2M,因此带宽为兀/M，余弦调制时，原型滤波器的截止频率和带宽比DFT滤波器组时减少了一半。令复序列p(n)二h(n)W-2—,k二0,1,，该式中,W二e-j2^/2m，则对TOC\o"1-5"\h\z2 2M 2M应的Z变化和频率响应分别是\o"CurrentDocument"p⑵二H(zWk),k二0,1,...2M-1 (3.4)2 2M2兀p(ej®)=Hej(®-—l,k=0,1,...2M-1 (3.5)2 M_由于p(n),k=0,1,.2M-1仍然是复序列，因此有2\o"CurrentDocument"|p(ej®)|=|P (ej®)|,k=0,1,.2M-1 (3.6)2 2M-2即可知Ip(ej®)I和IP (ej®)I是关于®=0对称的，如图3.3所示，图中M=8,由2 2M-2此可以设想，如果将p(n)和P (—)相结合，就可能产生实系数的滤波器，且产生2 2M-2的带宽也变成2兀/M。

陶叭1 阀■A阳IFd_H0Jt 21t 3Jt Elt8 ¥ ¥ T图3.2频幅响应(3)按照上述思路p(n)和P(n)相结合，产生的新滤波器的带宽是2兀/M,k 2M-k但是p(n)的带宽仍是p(n)的带宽仍是沢/M。为了保证分析滤波器组的所有滤波器00具有相同的带宽，将上式的移位方式稍微改变，可得到如下面一组新的滤波器：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"q(n)二h(n)W k=0丄…,2M-1 (3.7)k 2M\o"CurrentDocument"Q(n)=H(zWk+o.5)),k=0丄…,2M-1 (3.8)k 2Mj(e-(k+0.5)兀 / 、\o"CurrentDocument"Q(e/o)=Hem,k=0丄…,2M-1 (3.9)k必1J观PI1训Tmni卽©■■■r0I5itIn ti)图3-3(4)分析滤波器的选择，实现q(n)和q(n)的结合。k 2M-k令U(z)=cH(zWk+o.5)=cQ(z)k k 2M kk(3.10)V(z)二c*H(zW-(k+o.5))二c*Q (z)k k k 2M-1-k(3.11)因为H(z)二aU(z)+a*V(z)，k二0,1, ,M-1，k kk kk(3.12)得到H(z)旦'h(n)z-n，k二0,1,,M-1kkn=0(3.13)当a,bkkc幅度为1,保证混迭抵消；保证失真传递函数T(z)具有线性相位。k

5)综合滤波器的选择由上一步中已经选择U(z)和V(z)的在M通道滤波器中，分析滤波器组和综合kk滤波器组有着相同的幅频响应。得到综合滤波器组G(z):kG(z)=Fg(n)z-n=bU(z)+bV(z),k=0,1,,M-1 (3.14)k k kk kkn=0同时也保证g(n)是实的，并且是FIR的，a,bc幅度为1,保证混迭抵消；保k kkk证失真传递函数T(z)具有线性相位。(6)混叠失真去除的讨论在第四步和第五步的分析和综合滤波器组的选择中，有a,bc三个未知数，这kkk三个未知数的选择和消除失真有着很大的关系。G(z)的输出包含X(zWi)H(zWi),/=0,1,M-1,只有当l=0时没有混叠失k MkM真，其他情况都有混叠失真，但是，只要G(z)在阻带内有足够高的衰减，那么只有k和G(z)频谱相邻近的分量才对混叠起到有意义的贡献，需要去除，故称为“伪kQMF” 。假定k=2,M=8情况下，U2(z)和V2(Z)对其移位后的幅频响应如下图所示：U2(U2(z)和V2(Z)对其移位后的幅频响应J)(l:JXI\-莖_萎 flit 2n 4k 5s w8 T 8 TT图3-4(7)混叠抵消对a,b参数的制约kk出现在b*V(z)的混叠分量是:kk"ab*U(zW-k)V(z)]"ab*U(zW-k)V(z)]X(zW-k)kkkMk M出现在b*V(z)的混叠分量k-1k-1ab*U(zW-k)V(z)]X(zW-伙-1))k-1k-1k-1 Mk-1 M+ab*Ukkk(zW-(k+1))V(z)]X(zW-(k+1))M k M+ab*Uk-1k-1k-13.15)(zW-(k+1))V(z)]X(zW-k)(3.16)M k-1 M如果能使abU(zW-k)V(z)+abU(zW-k)V(z)=0，则可以抵消混叠分量kkkMk k-1k-1k-1Mk-1X(zW-k)。M则当 U(z)=cH(zWk+0.5),V(z)=c*H(zW-(k+0.5)),|c1=c=1,(3.17)k k 2M k k 'k'k-11简化得到(ab*+ab*)V(z)V(z)=0，为使该式成立，则有ab*+ab*=0,kkk-1k-1kk-1 kkk-1k-1即对a,b的制约关系。kk(8)去除相位失真对参数a,b,c的制约。kkkM通道滤波器组的失真传递函数：T⑵=—^-1H(z)G(z) (3.18)M kkk=0要求T(z)具有线性相位，全通，实现PR分析、综合滤波器也都具有线性相位。因为若T(z)具有线性相位，则可以消除相位失真。(9)选择分析和综合滤波器组：H(ej①)=e-j(N-i)e/2H(ej①) (3.19)gG(z)=z-(n-1)H(z-1)=z-(n-1)H(z) (3.20)TOC\o"1-5"\h\zk k k于是，分析和综合滤波器都具有线性相位。由 U(z)=cH(zWk+0.5)，H(ea)=e-j(n-i)®/2H(ea) (3.21)\o"CurrentDocument"k k 2M g得至U U(ej®)=cW-(k+0.5)(n-1)/2e-j(n-i)®/2H(ej(①-兀(k+0.5)/m)) (3.22)k k2M g选择c=W(k+0.5)(N-1)/2，再选择a=b。k2M kk则可保证T(z)具有线性相位，这时，分析滤波器组和综合滤波器组也都具有线性相位。在已知已经选择ab*+ab*=0,a*=b的情况下，为了去除在®=0和®=兀可kk k-1k-1 kk能存在的混叠失真，进一步需选择：a2+(a*)2=00 0 (3.23)a2+(a*)2=0M-1 M-1的值已经确定。3.24)最终得到a=ejOk,0=(-1)k兀;4,k=0,1, ,M-1，则参数a,b,c的值已经确定。3.24)k k kkk(10)h(n),g(n)的闭合表达式 …kk由上面推导可得：最后h(n),g(n)的闭合式kkh(n)=2h(n)cos(k+0.5)(n-kg(n)=2h(n)cosg(n)=2h(n)cosk(-1)k兀43.25)其中k二0,1,,M-1，即得出设计余弦滤波器组的原型滤波器组h(n),使h(n),g(n)kk满足以上两式形式，h(n),g(n)都是实系数的滤波器，即可得到余弦调制滤波器组的kk设计。本章小节从第三章开始进入本论文中心部分，首先大致介绍一下余弦调制滤波器组的概念以及优缺点，然后开始描述余弦调制滤波器组的基本结构，对结构部分进行分析讲解，最后进入余弦调制滤波器组的设计，由设计原型滤波器推导到滤波器组的设计过程及详细步骤，并且对出现的混叠失真以及幅度失真进行了处理，得到一个基本满足要求的余弦滤波器组，在最后一节，针对设计方法只消除了失真，但是没有满足准确重建即PR特性的情况，通过具体步骤的分析寻求满足要求的分析滤波器组和综合滤波器组。第四章余弦调制滤波器组的优化设计第一节引言本章将介绍余弦滤波器组的优化方法，余弦调制滤波器组优化设计的最基本方法也是其他优化方法的基础部分，然后提出本论文的优化设计方法Kaiser窗函数法，最后通过仿真和方法证实提出方法的优越性，顺利实现余弦调制滤波器组的优化方法。第二节余弦调制滤波器组的优化设计滤波器组的设计，滤波器组设计的关键在于原型滤波器的设计，要是原型滤波器组H(z)满足截止频率为土兀/2M,带宽为兀/M和线性相位的要求，并且满足以下两个关系：4.1)H(ey®)2+H(ej倔-“/m))2二1,0 <兀/M4.1)H(ej®)=0,o>k/M (4.2)则可以保证分别去除了幅度失真和混叠失真，在近似满足的情况下，得到目标函数：0=L/M[|H(ej®)|2+|H(ej(®-k/m))|2—1]2d® (4.3)0通过使目标函数0最小来找到最接近满足条件的上面两式的原型滤波器。余弦调制滤波器的M个分析滤波器均来自一个低通原型滤波器。因此将使设计简单化，即最优化时仅对0进行，从而使需要最优的参数大大减少,这也是很多优化方法的基础部分。第三节基于Kaiser窗函数法设计余弦调制滤波器组一、窗函数设计滤波器窗函数设计滤波器的基本思想，就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器的阶数N和合适的窗函数①(n)。即用一个有限长度的窗口函数序列①(n)来截取一个无限长的序列h(n)获得一个有限长序列h(n)，即h(n)=®(n)h(n)。并且要满足以下两dd个条件：窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，使峰肩和纹波减小，就可增多阻带的衰减。这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的要求。•常用窗函数工程实际中常用的窗函数有6种，即矩形窗、三角窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼床和kaiser窗。它们之间的性能比较如下表：窗函数近似过渡带宽精确过渡带宽最小阻带衰减(a/dB)s矩形窗4兀/M1.8兀/M-21三角窗8兀/M6.1兀/M-25汉宁窗8兀/M6.2兀/M-44哈明窗8兀/M6.6兀/M-53布莱克曼窗12兀/M1171/M-74Kaiser窗10兀/M-80图4-1窗函数方法比较为减少失真参数，本节采用最为广泛使用的窗函数方法设计分析原型滤波器，并选用性能较好且较为灵活的Kaiser窗作为加窗函数。这是因为Rectangular窗、Bartlett窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗的最大旁瓣衰减是固定的，并且旁瓣归一化峰值衰减也不是特别的大，不能满足所有应用的特定需求。在本设计中主要采用凯泽窗函数来实现原型滤波器的设计，以下是窗函数设计思路：

•窗口的计算公式根据实际的经验，给定3，3R和A，则窗函数设计的过程p sp s3-3公式如下：归化过渡带-Af-一p2兀(4.4)A-7.95滤波器阶数二M沁As7.95+114.36Af(4.5)当A>50时，0二0.1102(A-8.7)ss(4.6)当21<A<50时，0二0.5842(A-21)0.4+0.07886(A--21)(4.7)sss、凯泽窗函数设计的原型滤波器由于在设计的多带余弦调制滤波器中所有的分析和综合滤波器组都是对原型滤波器进行调制得到的，整个滤波器的设计关键就是原型滤波器的设计。这里采用Kaiser窗函数来设计原型滤波器，其中心思想是构造一目标函数，该目标函数是需优化滤波器参数的凸函数，通过求目标函数的极值来获得滤波器的最优参数。由于只需优化一个参数3，所以使得设计过程得以简化。这一设计方法在原型滤波器、分c析滤波器组和综合滤波器组的阻带衰减特性方面也具有优势。在逼近重构余弦调制滤波器组时，混叠几乎被消除，失真也近似于一个延迟。设原型滤波器P(e^)是线性相位的，则对应P(ea)的近似重构条件可由以下公式给出4.8)4.9)Ip(ejw)|«0,13|> ，4.8)4.9)3k兀P(ej(3-m)4.8式中