【专项复习】2022年小学六年级下册小升初数学专题复习（26）算术中的规律（知识归纳典例精析拔高训练）

2022年小学六年级小升初数学专题复习（26）——算术中的规律¤知识归纳总结一、事件的确定性与不确定性知识归纳算术中的规律在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．

例如：1×1=1；

11×11=121；

111×111=12321；

1111×1111=1234321；

通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．

①一个数乘11，101的规律

一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．

如：123×11=1353

一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．

如：58734×101=5932134

②一个数乘5，15，25，125的规律

一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．

如：28×5=28×10÷2=280÷2=140

这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．

如：28×5=28÷2×10=14×10=140．即“求半添0”的方法．

一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．

如：264×15=264×10+264×5=2640+264×10÷2=2640+2640÷2=2640+1320=3960．

这种情况可以概括为“添0补半”

一个数乘125，因为125×8=1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．

如：864×125=864×1000÷8=864000÷8=108000．常考题型例1：4÷11的商用循环小数表示，则小数点后面第20位数字是（）

A、0B、3C、7D、6

分析：把4÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用20除以循环节的位数即可判断．

解：4÷11=，循环节是36两个数字；20÷2=10，所以20位上的数是6；

故选：D．

点评：此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力．

例2：按规律计算．

3+6+12=12×2-3=21

3+6+12+24=24×2-3=45

3+6+12+24+48=48×2-3=93

3+6+12+24+…+192=a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=．

分析：由3+6+12=12×2-3=21，3+6+12+24=24×2-3=45，3+6+12+24+48=48×2-3=93可知：结果都是算式中的最后一个数乘以2再减去第一个数所得，由此得出结论．

解：（1）3+6+12+24+…+192=192×2-3=381；

（2）a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=1024a×2-a=2048a-a=2047a．

故答案为：381，2047a．

点评：此题在于考查学生总结规律的能力．¤拔高训练备考一．选择题（共6小题）……，小数点后第100个数字是（）A．1 B．2 C．3 D．42．6÷7的商用循环小数表示，则小数点右边第20位商的数字是（）A．8 B．5 C．7 D．13．4÷7的商的小数部分第30位上的数字是（）A．8 B．4 C．24．某种细胞开始有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，二小时分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，五小时后细胞存活的个数是（）A．31 B．33 C．35 D．375．一种传染性特别强的病毒，人一旦感染就会发热咳嗽，而且每24小时会传染给其它两个人，被传染的人，每24小时又会传染给另外两个人。现在小新不小心感染了，如果不预防控制和治疗，经过72小时，包括小新在内共有（）人感染这种病毒。A．9 B．18 C．27 D．无法确定6．如图所示，照这样的规律算下去，算式+++…的结果是（）A． B．1 C．二．填空题（共6小题）7．4.6÷11用循环小数表示商是，这个循环小数的小数点后面第138位上的数字是．8．找规律填数。（1）3160、3170、3180、（2）、7998、7996、7994、9．琳琳和青青在玩给□中填上合适的数，使算式成立的游戏，★表示的数可能是。10．3÷16.5的商的小数部分第101位上的数字是。11．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如246，1347等等，这类数中最大的自然数是。12．如图，若开始输入x的值为125，则第2020次输出的结果为。三．判断题（共5小题）13．5.2的小数部分第八位上的数字是2．14．3.58658658…小数部分的第95位数字是8．．15．将化成小数以后，小数点后第2008位上的数字是7．．16．1除以111的商的小数部分第15位数字是0．17．19.小数点后第10位上的数字是3．四．应用题（共3小题）18．工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？19．如图，小朋友们玩多米诺骨牌的游戏，假设每一张牌倒下去所用的时间是0.2秒，并且每一张骨牌倒下后会碰倒它后边的两张骨牌，那么照这样下去，1秒钟内所倒下的骨牌数是多少？20．海豹是生活在海洋中的哺乳动物，它们一般靠肺呼吸，所以必须经常不断地浮到海面呼吸空气。一只海豹6时开始从海底经过9分钟慢慢浮到海面，然后浮出海面呼吸2分钟，最后再经过9分钟回到海底，这样有规律地进行这个过程。7时整海豹会在什么位置？（请你用喜欢的方式表示出你的思考过程和结果）五．解答题（共5小题）21．阅读资料，按如图的步骤计算得数。98×102＝。写出简要计算步骤：。22．根据规律，直接写出结果。（1）9÷9＝1108÷9＝121107÷9＝12311106÷9＝111105÷9＝（2）9×9﹣1＝8098×9﹣2＝880987×9﹣3＝88809876×9﹣4＝987654×9﹣6＝23．阅读理解题+＝＝；+＝＝；+＝＝。（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）＝＝；＝＝。（2）利用以上所得的规律进行计算：﹣+﹣+﹣+﹣+；（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：﹣+﹣24．我国古代劳动人民创造了“铺地锦”的方法计算乘法．下面就是123×48＝5904的计算过程，仔细观察，发现规律．再试着用这种方法计算812×39．25．小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出以后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有没破，经过2.5分钟后全破了．小明吹完第100次时没有破的肥皂泡有多少？

参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】…循环节为1234，共4位数，则100÷4＝25，正好除尽，因此小数点后第100个数字是循环节的第4个数，即数字4．【解答】…循环节为1234，共4位数．100÷4＝25，小数点后第100个数字是4．故选：D。【点评】此题解答的关键在于运用“找循环节，看余数”的方法，解决问题．2．【分析】把6÷7＝0.5714，这个小数的循环节是857142，有6位数，20÷6＝3（个）…2，所以小数部分的第20位数字是第4个循环节的第二个数5，据此解答【解答】解：6÷7＝0.5714，循环节是857642，有6位数，20÷6＝3（个）…2，所以小数部分的第20位数字是第4个循环节的第二个数5，故选：B．【点评】解题的关键是找出循环节及循环节的数字，用20除以循环节的位数得出是第几个循环节，没有余数就是循环节的最后一个数字，有余数的，余数是几就是循环节的第几个数字．3．【分析】首先把4÷7化成小数，看它的循环节是几位数，再根据“周期”问题，用30除以循环节的位数，如果能整除，则是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几就是循环节的第几位上的数字．由此解答．【解答】解：4÷7＝0.7142，循环节是6位数，30÷6＝5，所以商的小数部分第30位上的数是8；故选：A。【点评】此题主要考查除法商化成小数的方法，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法．4．【分析】由题意可知，1个活细胞一小时后分裂成2个．1小时后3个活的、2小时后5个活的、3小时后9个活的……3、5、9……可看作项数为1、2、3……首项为3差分别为1、4、8……的数列．5﹣3＝2＝21、9﹣5＝4＝22、17﹣9＝8＝23……由此可以推出：第n项为2n+1．【解答】解：由分析所总结的规律：25+1＝32+1＝33（个）答：五小时后细胞存活的个数是33个．故选：B。【点评】解答此题的关键是根据小时数（可看作项数），与分成成的活细胞（可看作项）之间的关系找出规律，然后根据规律可求出任何小时（整数）后活细胞的个数．5．【分析】72小时里面有3个24小时，已知24小时就会传染给两个人，第一个24小时，传染给2个人，这样就有3个人感染病毒；第二个24小时，3个病人就会传染给6个人，这样一共有9个人感染病毒；第三个24小时，9个病人就会传染给18个人，这样感染病毒一共有9+18＝27个人；据此解答即可。【解答】解：72÷24＝3第一个24小时，小新传染给2个人，这样就有1+2＝3个人感染病毒；第二个24小时，3个病人就会传染给3×2＝6个人，这样一共有3+6＝9个人感染病毒；第三个24小时，9个病人就会传染给9×2＝18个人，这样一共有9+18＝27个人感染病毒。答：经过72小时，包括小新在内共有27个人感染这种病毒。故选：C。【点评】解答本题的关键是从较小的数据出发，找出规律，从而解决问题。6．【分析】在算式中把提出来，将其转化为×（1++++…），再根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消即可简算。【解答】解：+++…＝×（1++++…）＝×（1+1﹣+﹣++…）＝＝故选：C。【点评】解答本题的关键是发现规律，提出，并灵活利用拆项公式进行简算。二．填空题（共6小题）7．【分析】利用循环小数的意义以及循环小数的数字规律解答即可．【解答】解：因为4.6÷11＝0.41818…，所以4.6÷11用循环小数表示商是0.4；又因为小数点后第138位是偶数位，1在小数点后偶数位上，所以这个循环小数的小数点后第138位上的数字是1．故答案为：0.4，1．【点评】此题重点考查循环节的表示法，以及推断能力．8．【分析】（1）后一个数等于前一个数加10；（2）后一个数等于前一个数减2。【解答】解：（1）3180+10＝3190这组数是：3160、3170、3180、3190。（2）7998+2＝80007994﹣2＝7992这组数是：8000、7998、7996、7994、7992。故答案为：3190；8000、7992。【点评】解答本题的关键是根据已知数据找出规律，然后利用规律解题。9．【分析】三位数与一位数相乘的积是四位数，所以第二个因数不可能是1；又因为4乘一个数的结果个位数字是4，只有4×6＝24，所以第二个因数只能是6；积的后两个数字是24，第一个因数的十位数字可以是0或5，进而推出第一因数的百位数字，分别讨论得出答案。【解答】解：根据分析可得，第二个因数是6；竖式如下：或或所以，★表示的数可能是2、5或8。答：★表示的数可能是2、5或8。故答案为：2、5或8。【点评】本题主要考查了竖式乘法的计算，解答本题的关键是确定第二个因数是多少。10．【分析】先计算出3÷16.5的商的小数部分是几个数字一循环，再用101除以几，得到商的余数是几，再进行判断即可解答。【解答】解：3÷16.5＝0.181818……循环节是18，2个数字一循环，101÷2＝50……1所以，3÷16.5的商的小数部分第101位上的数字是1。答：3÷16.5的商的小数部分第101位上的数字是1。故答案为：1。【点评】此题根据循环节的位数，以及看余数的方法，解决本题。11．【分析】要想这个自然数最大，应使它的位数尽量多，则要先用最小的数从高位开始，可得这个数为：10112358。【解答】解：根据规则，这个数为：10112358。答：这类数中最大的一个数是10112358。故答案为：10112358。【点评】明确要想这个自然数最大，应使它的位数尽量多是完成本题的关键。12．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案。【解答】解：当x＝125时，x＝25，当x＝25时，x＝5，当x＝5时，x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，x＝1，…（2020﹣1）÷2＝1009…1，即输出的结果是5。故答案为：5。【点评】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键。三．判断题（共5小题）13．【分析】循环小数5.2的循环节是027，用8除以3，判断出是第几个循环的第几个数，求出小数部分第八位上的数字是多少即可．【解答】解：循环小数5.2的循环节是027，8÷3＝2…2所以第八位上的数字是第3个循环的第2个数字，是2．原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查了算术中的规律问题，注意观察总结出规律并能正确应用．14．【分析】因为3.58658658…是循环小数，它的循环节是586，是3位数，95÷3＝31（个）…2，所以小数部分的第95位数字是31个循环节后的32个循环节上的第2个数字，循环节是586的第二个数字是8，据此求出然后分析判断．【解答】解：根据分析可知：3.58658658…小数部分的第95位数字是8，这是正确的；故答案为：√．【点评】本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用95除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字．15．【分析】把分数化成小数，就会发现小数点后的数字是有规律的：…，一直重复142857，所以小数点后的数字周期为6，2008÷6＝334…4，每个周期第四个数为8，所以小数点后第2008位上的数字是8．【解答】解：＝1÷…，一直重复142857，所以小数点后的数字周期为6．2008÷6＝334…4，故小数点后第2008位上的数字是8．故答案为：×．【点评】考查了小数与分数的互化，算术中的规律，本题的关键是得到转化为小数，找出数字循环周期为6．16．【分析】先求出1除以111的商，看它的循环节是几位数，再根据“周期”问题，用15除以循环节的位数，如果能整除，则是循环节的末位上的数字，如果不能整除，余数是几，计算循环节的第几位上的数字．由此解答．【解答】解：1÷111＝0.009009…，循环节是009，三位，15÷3＝5，所以商的小数部分第15位数字是9．故答案为：×．【点评】此题主要考查算术中的规律，以及根据“周期问题”判断循环小数的某一位上数字是几的方法．17．【分析】19.是一个循环小数，循环节是325，因为10÷3＝3…1，所以循环节的第1个数是第10个数字，即3；据此判断．【解答】解：该小数的循环节是325，因为10÷3＝3…1，所以第10位上的数字是3；故答案为：√．【点评】本题重点要确定循环节有几位，10里面有几个循环周期．四．应用题（共3小题）18．【分析】因为每一层都比上一层多1根，这堆木材形似梯形，上底为1，下底为20，高为20，利用梯形面积＝（上底+下底）×高÷2可求出这堆木材的根数。【解答】解：（1+20）×20÷2＝21×20÷2＝420÷2＝210（根）答：一共有210根木材。【点评】此题重点考查利用梯形面积公式求等差数列的和。19．【分析】第一张倒下后过0.2秒（1个0.2秒）会倒下2张、再过0.2秒（2个0.2秒）后会倒下4张、再过0.2秒（3个0.2秒）后会倒下8张、再过0.2秒（4个0.2秒）会倒下16张（4个0.2秒加最后一组倒下的0.2秒正好是1分钟）．1、2、4、8、16．是公比为2的等比递增数列．最后把这些张数相加．【解答】解：第1个0.2秒后会倒下2张第2个0.2秒后会倒下4张第3个0.2秒后会倒下8张第4个0.2秒后会倒下16张1+2+4+8+16＝31（张）答：1秒钟内所倒下的骨牌数是31张．【点评】这个数列项数是有限的，可以求出每次倒下的张数，然后再把倒下的总张数相加．如果项数较多要找规律解答．用小学知识只能这样解答．20．【分析】根据题意，6时到7时是1小时，为60分钟；海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟），据此计算解答即可。【解答】解：6时到7时是1小时，为60分钟；海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟）；60÷20＝3（次），即60分钟的时间，海豹正好可以完成3次海底到海面再回到海底的过程；7时整，海豹刚好回到海底。故答案为：海底。【点评】本题考查规律探究问题，根据整个过程所用时间计算即可。五．解答题（共5小题）21．【分析】根据资料中计算方法，找出98和102中间数100，然后根据步骤计算求解即可。【解答】解：根据资料，98×102计算如下：①98和102中间数为100，100×100＝10000；②98、102与中间数100的差都是2，2×2＝4；③10000﹣4＝9996，最终答案：9996。故答案为：9996；①98和102中间数为100，100×100＝10000；②98、102与中间数100的差都是2，2×2＝4；③10000﹣4＝9996，最终答案：9996。【点评】此题主要考查了算术中的规律，解题的关键是找出规律，找到两个因数的中间数。22．【分析】（1）被除数各位数字之和都是9，十位数字都是0，得数依次为1，12，123，……，商的位数与被除数中1的个数有关，都比1的个数多1。（2）纵观各算式，都是乘减混合计