《本章回顾》教学设计(江苏省县级优课)-数学教案

“三角形中有关范围和最值的问题”的教学设计江苏省淮安中学鲍娟【教学内容分析】本节课是在复习完三角函数、解三角形的这两章节后增设的一节习题课，本节课主要是以三角形的正弦定理和余弦定理为知识载体，可以将“角”设为变量作为解题的切入点，联系三角函数的诱导公式，两角和差的三角函数的公式，以及三角函数的图象和性质来解决三角形中的有关范围或最值的问题，但由于三角形中还可以以“边”为变量，则又可以以基本不等式以及重要的结论（）作为解题的突破口，也可以有效的解决决三角形中的有关范围或最值的问题。本节课的选题针对复习教材中的例题，错误频率高的作业以及平时的测试题整合而成，因此题目为中等的难度。通过这些题目的讲解让学生能进一步掌握三角形中有关范围或最值的通解通法，学会思考分析问题，用数学思想驾驭数学的学习和思维的提升。【学生情况分析】本班是文科强化班，学生的知识水平构成参差不齐。由于现学生还处在基础年级，因此学生的基础知识需进一步的夯实。通过学生的预习，他们发现自己的薄弱环节，在课上他们会不断呈现他们思维或方法上的闪光点和不足点。通过师生的互动，他们保存闪光点，不断完善不足点，获得一类问题一类方法，获得一类题型的最优解法。【学习目标】1、知识与技能：能利用解三角形中的正弦定理和余弦定理，结合三角函数中的相关公式、三角函数的图象、性质和基本不等式有关的重要结论解决三角形中有关范围或最值的问题。2、过程与方法：通过已评题目的回顾，引发学生思考所用的知识点，能联系到的知识点，将三角形中有关范围或最值问题带到通解通法的角度思考、探究，在这个过程中体会“变量”设定的优越性，对解决问题带来的便捷。3、情感态度价值观：在问题解决过程中，学会探究、学会学习；体会数学数学思想指导性学习的重要性教学重点：三角形中有关范围或最值的问题。教学难点：三角形中有关范围或最值问题的突破。教学方法：发现式、启发式、探究式【教学流程示意】知识回顾——回顾资料67课堂评价4——课前检测——典型例题——课堂练习——课堂小结——课后作业【教学活动设计】【设计意图】教者将学生的作业、试卷中错题频率高的题目进行整合，有必要再花一节课的时间帮助学生梳理一下本课题的解题方法。因此回顾一下三角形中为什么会出现范围或最值的问题。一、知识回顾在中边的不等关系；三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边角的不等关系；,,边角对应的不等关系。【学生活动】学生根据导学案的提示，回忆相关的三点。角的不等关系不能流畅的反映。【教师活动】教者提示三角形内角和为定值，从而大方向确定三角的范围，也渗透“等”与“不等”的转化。【设计意图】从学生熟悉的题目入手，不会让学生对此类题目有畏惧感，让中等学生也能说出这类题目所用的知识点，所联系的知识点和所用的方法，同时板书。二、回顾资料67课堂评价4（2014全国课标Ⅰ）在中，角的对边依次为，，且，则面积的最大值为。（回顾其知识点和方法）解：方法一：，由题意可得，由正弦定理可设（），即，整理得，由余弦定理可得，，,。，在中，，（当且仅当取“=”），，即。（当且仅当取“=”）面积的最大值为。方法二：（仅仅是提供思路没做具体操作）由得，，=，设，由正弦函数的图象可得，当，,此时。面积的最大值为。【学生活动】学生根据自己的笔记说出题目在解题过程中所用到的知识点和方法（有些不够流畅）。【教师活动】学生的表达度不够清晰，教者适时复述，并板书此题所联系到的知识点。【设计意图】课前检测1主要考察学生对锐角三个角的总体认识，而学生只能单一看某个角，因此第二空格会出现错误。课前检测2主要利用多元变量进行减元，利用公式求出本题的最小值，简便。三、课前检测1.在锐角中，若,,则的值等于；的取值范围。解：由正弦定理可得,即,在锐角中，，。在锐角中,,由得,利用余弦函数图象得。2.在中，角的对边依次为，若，则的最小值为。解：由余弦定理可得 （此时，当且仅当取“”）【学生活动】学生提前作了预习，课前检测1由学生口述解题思路，再说到第二空格处时条件处理含糊，不能很好找到解题的突破口，但优点是发现后；课前检测2也是由学生口述其思路，思路清晰，但不足点是“当且仅当”的说法被忽视。【教师活动】巡视学生的做题结果，请两位同学说题，学生的语言组织，表达还清楚，也力争表现出自己的最好的一面。对于课前检测1空格2处，我提示学生应从三个角同时考虑为锐角，转化为的范围的确定，再放手由学生演算，得出结论。教者等学生处理好结论后再投影，强调书写的规范性。对于课前检测2，教者指出学生的不足处（当且仅当取等号），同时教者将此结构转化成基本不等式的重要形式之一“”，直接用基本不等式的知识处理。学生的表现还是令教者满意的。【设计意图】例1是周末测试中的一道解答题，其中的第二问本班级无人做对，从测试卷反映出的问题是对锐角的三个内角不能整体考虑，思维不严谨。例题2是资料上的一道例题，学生对的认识有的从角考虑，有的从边考虑，从边考虑的话学生只会停留在基本不等式的重要的结论上考虑到最大值，而偏小的值不易找到突破口，因此不建议用边处理。在解决拓展题时，学生用边视为变量时则无从下手，因此提出通解通法——以角为变量则能很好的解决这一类题。因为基本不等式我们还没做系统复习，学生对它来说熟悉度不够，因此学生在应用时不能得心应手。四、典型例题例1.设锐角内角的对边依次为，已知。（1）求角；（2）求的取值范围。解：（1）由正弦定理可设（）则在锐角中，，，又，。（2）在锐角中,,设，由正弦函数的图象可得，例2.在中，内角的对边依次为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围。拓展若（3）求的周长的取值范围；（4）求面积的取值范围。解：（1），，由余弦定理可得，，，,。方法一：由得，，（2）=，设，由正弦函数的图象可得，当，,此时。，的取值范围。拓展（3）设周长，设，由正弦函数的图象可得，当，,此时。，周长的取值范围为。（4）=，设，由正弦函数的图象可得，当，,此时。面积取值范围为。方法二：（2），又，的取值范围。（3）周长的取值范围为。（4），面积取值范围为。【学生活动】对于例1部分学生的第2问处理时将角定位在某个角，但有位同学写出了角的正确范围，但推理过程不够明确。对于例2部分学生的第二问用角作变量，由于公式的熟练程度各不一样，部分同学完成了完整过程，部分同学用边作变量，但解决了最大值的计算，而偏小的值不能很好的表达，此法书写简捷。【教师活动】对于例1教者巡视，发现一位同学与其他同学的角范围不一样并投影该学生的解题过程，根据他的书写指出不规范的地方，特别指出他得到的角的范围与其他同学不一样的地方，但书写推理不够清晰。教者提醒学生类比课前检测1的处理方法得出结论。给学生时间演算结束后，教者投影过程展示规范性与严谨性。对于例2教者预想学生用边作变量，但巡视过程中教者发现好多学生用角作变量，完整书写好的学生不多，展示学生的过程只是帮助一些学生回忆起教者曾在此题型上的处理。有学生提供了用边作边量的方法，该学生的思维缺乏严谨性，只能解决该题的最大值。但时间紧促教者只能提示其的取值范围，并未作投影。拓展题未来得及实施，有些遗憾！【设计意图】课堂练习1来源于一道小题练习，当时班级中无一人做对，因此教者选出来可以与前面的课前检测和例题呼应，但条件也有些变化（锐角三角形改为了钝角三角形）。课堂练习2选自复习教材中的一道预习题，此题与课前检测2和例2呼应，但此题中的数据以字母出现，部分学生会感到有障碍。这两道题起到巩固提升的目的，也教会学生学习上要变通。五、课堂练习1.若钝角的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围。解：设钝角中,的三个内角成等差数列,,又，,。由正弦定理可设，，，2.（资料67）如图，已知为定角，点分别在的两边上，为定长，那么的面积的最大值为。解：设由余弦定理可得，（当且仅当取“”），的面积的最大值为。【学生活动】对于课堂检测1学生根据条件很轻松的得出一角为，由于三角中未指定哪个角为钝角，因此学生感到茫然。学生根据教者的提示用正弦定理迅速定位函数模型，也能较好的确定角范围，结合正切函数图象得出了结论。【教师活动】对于课前检测1教者给予学生提示，根据题意画出图形，设角的大小关系后，引导学生找到最大边和最小边，写出其比例。学生演算完毕，教者投影其过程，展示规范性。教者时间分配不够合理，课堂练习2未来得及实施。有遗憾！【设计意图】通过题目的回顾、课前检测、例题、课堂练习的对应设置强化了学生在遇到“锐角三角形或钝角三角形”时从“角”为变量入手，整体考虑三个角的内在联系，不能单一考虑某个角的状况；在某角确定大小的情况下也同样可以以某个角为变量解决三角形的的面积、周长等范围或最值问题，而从边考虑时，学生对三角形的三边关系以及基本不等式的重要结论的应用不能得心应手，因此教者要强调通解通法，一类一法，便于学生掌握要领。当学生的熟练度提高后，教者可以提供其他解法，活跃学生的思维，开阔学生的眼界。六、教学小结：1.能利用解三角形中的正弦定理和余弦定理，结合三角函数中的相关公式、三角函数的图象、性质和基本不等式有关的重要结论解决三角形中有关范围或最值的问题。2.学会运用转化思想，函数方程思想解决三角形中的有关范围或最值的问题。【学生活动】聆听教者的总结【教师活动】口述【设计意图】课后作业是教者针对课上的两点内容精心选择的，其中有学生作业中的错题，有例题对应的平行题，对巩固学生的知识有帮助。但从作业批改来看，有同学能完全掌握课堂内容，而部分基础薄弱的学生漏洞百出，因此作业要及时点评，让更多的学生受益。七、课后作业（小题要写过程）1.若的内角满足，则的最小值是。2.（2016南师附中）在中，内角的对边依次为，且边上的高为，则最大值为。3.在中，角的对边依次为，且满足。当取最大时，的大小。4.在中，已知。（1）求的大小；（2）设角的对边依次为，若，且是锐角三角形，求的取值范围；（3）若的面积是，求周长的最小值。5.在锐角中，内角的对边依次为，若.（1）角,求角A的大小；（2）若为非等腰三角形，求的取值范围。【学生活动】课后完成【教师活动】及时批改总结，错误率高的题分析其错因，讲评详略得当。【教学反思】本节课基本能完成教学目标，但由于学生课前预习的不够充分，导致例2题型讲解不够详实，对部分学生来说收获不够明显。教者与学生之间的互动相得益彰，从课堂效果来看，大多数同学受益匪浅。教者通过投影学生的学案强调规范性，教者投影事先打印好的解题过程给予学生示范。【板书设计】课题：三角形中有关范围和最值的问题一、知识回顾在中边的不等关系