空间向量数量积运算

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如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功

,为了在数学中体现“功”的这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.当前1页，总共24页。1.平面向量数量积的定义

已知两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即OAB向量的夹角：B当前2页，总共24页。AOBababab4．平面向量的夹角：复习：当前3页，总共24页。2.平面向量的数量积的主要性质设a，b是两个非零向量（1）a⊥ba×b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件;

（2）当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;特别地，

用于计算向量的模;

（3）用于计算向量的夹角.当前4页，总共24页。3.平面向量数量积满足的运算律（1）交换律:（2）对数乘的结合律:（3）分配律:数量积不满足结合律,即:当前5页，总共24页。空间向量的数量积运算当前6页，总共24页。知识要点1.两个向量的夹角的定义如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:〈a，b〉OAB当前7页，总共24页。1）空间两个向量的夹角的定义思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉空间向量的数量积运算当前8页，总共24页。2）两个向量的数量积注：

①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。当前9页，总共24页。3)空间向量的数量积性质:

对于非零向量

，有：（求角的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据)当前10页，总共24页。4)空间向量的数量积满足的运算律下列命题成立吗?①若,则②若,则③思考:当前11页，总共24页。1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b

|＝4，则a·b

＝__________，a2＝__________，

(a＋2b)·(a－b)＝__________.当前12页，总共24页。当前13页，总共24页。

范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且〈a，b〉=〈b，a〉.

如果〈a，b〉=π/2，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b.当前14页，总共24页。题型一利用数量积求夹角如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【例1】当前15页，总共24页。

2.空间向量数量积的定义设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|

已知空间两个非零向量，则叫做的数量积，记作,即当前16页，总共24页。

（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.

（2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

（3）当前17页，总共24页。

若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m，l⊥n.

则l⊥α.glmn4.线面垂直的判定定理（必修2）：当前18页，总共24页。高考链接1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6

，下列向量的数量积中最大的是______.A.B.C.D.A当前19页，总共24页。解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长则∠P2P1P3=π/6,∴数量积中最大的是当前20页，总共24页。

（1）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=3，则|a+b|=_________.课堂练习

1.填空

1

方法一:发现|a+b|2+|a–b|2=2(|a|2+|b|2)带入求得.有其他方法吗？当前21页，总共24页。方法二:由|a–b|2=|a|2-2a·b+|b|2

带入求得a·b=-2.∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2

得|a+b|=1方法三:数形结合法，发现形的特殊性.当前22页，总共24页。

（2）已知则a，b所成的夹角为_______.分析:根据两向量夹角公式可得到所求结果.当前23页，总共24页。2.选择设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则：①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b