2024年陕西省高中学业水平合格考数学试卷试题（含答案）

第页2024年陕西省普通高中学业水平合格性考试模拟一数学一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设x∈R，则“|x－1|<1”是“0<x<5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．若某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是()A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值3．直线eq\r(3)x＋3y－2＝0的倾斜角是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n5．已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面α，β，则下列选项正确的是（）A．若m∥n，m∥α且α∥β，则n∥βB．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则mC．若m⊥n，m⊥α且n∥β，则α∥βD．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m6．已知函数fx=x2−mx−2m2．若不等式fxA．2B．-2C．3D．-37．已知a>b>0，给出下列命题：①若a−b=1，则a−b<1；②若a3−b3=1，则a−b<1；③若ea−A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f(x)=sinA．fx的最小正周期为πB．fx的0,C．fx的最小值为 D．图象的一条对称轴方程为x=π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得1分，有选错的得0分。）9．已知向量，则（

）A．，则 B．C．与的夹角正弦值为 D．向量在向量上的投影向量为10．下列结论中，正确的有（

）A． B．C． D．11．已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（

）A．平面B．与EH所成的角的大小为45°C．平面D．平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为12．设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,下列说法正确的是()A.函数f(x)为偶函数 B.当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)C.当x∈R时,f(f(x))≤f(x) D.当x∈[-4,4]时,f(三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效。）13．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．14．已知x>0，y>0，x+2y=6，则2x+115．已知向量a=λ,−1,b16．已知点O0,0,OA=−1,1,OB=3,3四、解答题(本大题共3小题,共36分)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x-sin2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π218．(本小题满分12分)如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,AB⊥BC,且PA=6,AB=BC=8,DF=5.(1)求证:平面DEF⊥平面ABC;(2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax-q·a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数,且f(1)=32(1)求q的值,并判断和证明f(x)的单调性;(2)是否存在实数m(m>2且m≠3),使函数g(x)=log(m-2)[a2x+a-2x-mf(x)+1]在[1,2]上的最大值为0?如果存在,求出实数m所有的值;如果不存在,请说明理由;(3)是否存在正数k(k≠1),使函数(x)=ka2x+【参考答案】1．D解析：由|x－1|<1可得0<x<2，由0<x<2能推出0<x<5，由0<x<5推不出0<x<2，故“|x－1|<1”是“0<x<5”的充分而不必要条件．或由(0，2)(0，5)得出结论．故选A．2．C解析：收缩压=p(t)max=102+24=126；舒张压=p(t)min=102-24=78．故选C．3．D解析：直线的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6)．故选D．4．A解析：设公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))故an＝2n－5，Sn＝eq\f(（2n－5－3）·n,2)＝n2－4n．故选A．5．B解析：对于A，当m∥n，m∥α且α∥β，则n可能在β内，故A错误．对于B，因为m⊥α，故在m上可取m作为α的法向量，同理在n上可取n作为β的法向量，因为α⊥β，故m⋅n=0，即得m⊥n，故B正确．对于C，当m⊥n，m⊥α且n∥β时，α,β可能相交，也可能平行，故C错误．对于D，当m∥α，n⊥β且α⊥β时，m,nB．6．C解析：fx<x+k，即根据题意：−2+6=m+1−2×6=−2m2−k，解得D．7．B解析：①若a−b=1，则，，则，即①错误；若a3−b3=1，则，即，因为a>b>0，所以a即，即a−b<1，所以②正确；若ea−eb=1，则，因为b>0，即，所以a−b<1，即③正确；④取a=e，b=1，满足，但a−b>1，所以④错误；所以真命题有②③B．8．D解析：∵f(x)=sinx+cosx对B，由x∈[0,π2]，得x+π4∈[π4,3π4]，则f(x)在[0,π2]上先增后减，故BD．9．ACD【分析】求出即可判断A；根据平面向量共线的坐标表示即可判断B；求出两向量夹角的余弦值，从而可判断C，根据投影向量的计算公式计算即可判断D.【详解】解：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，因为，所以与不平行，故B错误；对于C，，则，所以与的夹角正弦值为，故C正确；对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确.故选：ACD.10．AD【分析】根据诱导公式逐项分析即得.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD.11．ABD【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断.【详解】在正方体中，平面，又平面，所以，在中，，又正方体的棱长为2，点O为的中点，所以，又，设，所以，即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点.对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确；对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误；对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：.所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确.故选：ABD.12．ABC由题设,f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|}=|所以其函数图象如图所示.由图知,f(x)为偶函数,A正确;当x=1时,f(-1)=f(1);当x∈(1,2)时,f(x-2)<f(x);当x=2时,f(0)=f(2);当x∈(2,3)时,f(x-2)<f(x);当x=3时,f(1)=f(3);当x∈(3,+∞)时,f(x-2)<f(x),故B正确;当x∈{0,1,2,3}时,f(f(x))=f(x);当x∈(0,1)时,0<f(x)<x<1,易知f(f(x))=f2(x)<f(x);当x∈(1,2)时,0<f(x)<1<x<2,当x∈(2,3)时,0<f(x)<1<2<x<3,均有0<|x-2|<1,则f(f(x))=(x-2)2<f(x)=|x-2|;当x∈(3,+∞)时,1<f(x)<x,则f(f(x))=||x-2|-2|<f(x)=|x-2|;所以f(f(x))≤f(x)在x∈[0,+∞)上恒成立,根据偶函数的对称性,在(-∞,0)上f(f(x))≤f(x)也成立,故C正确;在x∈[-4,4]上,当x=4时,|f(4)-2|=|2-2|=0<f(4)=2,故不成立,故D错误.13．0．32【详解】试题分析：因为摸出白球的概率是0．23，所以由古典概型概率公式，知白球的个数为100×0．23=23，所以黑球的个数为100−23−45=32，所以摸出黑球的概率为32100考点：古典概型．14．4【解析】由x+2y=6，得x6+y【详解】解：由x+2y=6，得x6所以2==23+2y3x所以2x+1故答案为：415．2【分析】利用向量垂直的坐标表示即可得解．【详解】因为a=所以2λ−1×4=0，解得λ=2．故答案为：2．16．1,2【分析】根据题意，得到OP=【详解】由题意知，点O0,0，且OA因为点P是线段AB中点，可得OP=所以点P的坐标为1,2．故答案为：1,2．17．解:(1)f(x)=4cosxsin(x+π6)-1=4cosx(32sinx+23sinxcosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6所以f(x)的最小正周期T=π.由题意2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z,所以f(x)对称中心为((2)因为-π6≤x≤π4,所以-π3≤2x≤π2,所以-π6所以当2x+π6=-π即x=-π6时,f(x)min=-1;当2x+π6=π2,即x=π18．(1)证明:取AB1的中点K,连接A1B,因为四边形ABB1A1为长方形,所以K为A1B的中点,因为D为BC的中点,连接KD,所以KD∥A1C,又因为KD⊂平面AB1D,A1C⊄平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.(2)解:在直三棱柱中,CC1⊥平面ABC,因为AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD,又因为CE⊥AD,CC1∩CE=C,所以AD⊥平面CC1E,所以DE⊥平面CC1E,即DC1与平面CC1E所成的角为∠DC1E,则sin∠DC1E=DEC1D,因为D为BC的中点,所以CD=12BC=2,CC所以C1D2=CD2+CC12=22+(23)2=16,则C1D=4,因为AC2+BC2=AB∠ACB=90°,在Rt△ACD中,AD2=CD2+AC2=22+32=13,所以AD=13,cos∠CDA=DCAD=213,DE=DCcos∠CDA=2×213则sin∠DC1E=4134=19．(1)解:因为对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1),令x=y=1,则f(1+1)+f(1+1)=f(1+1),所以f(2)=0.(2)证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)+f(x2-1x1-1+1)=f(x1-1+1)+f(x又x2因为对任意的x>2均有f(x)>0,所以f(x2所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.(3)解:因为函数f(x)为奇函数且在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,令x=y=2,可得f(5)=2f(3)=2,令x=2,y=4,可得f(9)=f(3)+f(5)=3,又f(8+1)+f(18+1)=f(8×1所以f(98因为f(x)为奇函数,所以f(-98所以由f(cos2θ+asinθ)<3,可得cos2θ+asinθ<-98或1<cos2假设存在实数a,使得cos2θ+asinθ<-98或1<cos2令t=sinθ,则t∈(0,1],则对于cos2θ