线性代数3学分linalg第五章相似矩阵及二次型

第五似矩阵及二次 向量的内积、长度及正交一.内积,长度和夹角在平面中,向量的数量积(即内积)OPOQdefOPOQcos 其 的长度,是向量OP和OQ的夹角

分别是向量OPOPOQOPOQ

xy OP OP x2x2OPOQ OPOPOP

1 2若OP0

OQ0,则cos

,所以 a1定义.设

(,)defab a

T称为的内积

1 na bn n性质.设,(,)(,)

n,是实数(,)(,)(,)(,)(,)0,0.即0,0由(i),(ii)知(,(,(类似的由(i),(iii)知(,施瓦茨不等式

(,)2(,)(,)a1(,定义(,

a21n,称为向量的长度a21n

a2a 1,则称为单位向量

ana性质

0,

00

,其中是实数,n维向量.(别.An阶矩阵,是实数,则|A|n|A|(iii)三角不等式

证(i)与(ii)是显然的.下面我们证明(iii).222(,)(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,(,(,)(,(,)

(,)(

若0

0,则arccos()称为向量的夹角因为我们知道|cos|1,所以我们需要证明()1.根据施瓦茨不等式,我们有()2,.()

(,)((,)(,

.()1若(0,则称正交.注意:1.零向量与任何向量正交.

若0

0,则正交(0arccos()90二.规范正交基

定义.正交向量组是指一组两两正交的非零向量定理.若n维向量1, ,m是一个正交向量组,则1, ,m线性无关.证:设k11 kmm0.要证k1 km0.则0(i,0)(i,k11 kmm)k1(i,1) km(i,m),(1im但是(i,j)0,ij.所以k1(i,1) km(i,m)ki(i,i)0因为(i,i)0,所以ki0,(1im).所以1 ,m线性无关 定义.设1 ,r是向量空间V

n)的一个基

1 ,r是正交向量组,且都是单位向量则称1 ,r是V的一个规范正交基例.若

00,,1(i,(1in.则e

是n的一个规范正交基 00

,a1,性质.设1 是V

V

a 则(i,ai

rarr证:a11 arr,所以(i,)(i,a11 ai(i,i)arr定理.设1 ,r是向量空间V的一个基A为正交阵,A1AT也是正交阵,且|A|1或AB都是正交阵,AB也是正交阵1T1证1.根据定义

A( ,)为正交矩阵 (

)ATA Tn(

)T

若i.所以结论成立0 0

若iATAE,A1AT.ATAA1AEATAE|AT||A||ATA|1.所以|A|1或ATAE,BTBE所以(AB)TABBTATABBTBE 定义.Pn阶矩阵

X,Y

n,则关系式YPXX到变量Y的线性变换P是可逆矩阵,则称YPX是可逆的线性变换,P是正交矩阵,则称YPX为正(PX)TXTPTXT性质.设YPX为正交变换(PX)TXTPTXTYTY证:YTY

X 方阵的特征值与特征向定义.An阶矩阵,如果存在数和0A的属于特征值的一个特征向量

n,A,则A的特征值n阶矩阵A的特征值AX

有非零解

AEX0有非零R(AE)nA A的属于特征值的一个特征向量是AEX0的非零解f(AE是一个关于的多项式,A的特征多项式 11.A020的特征值和特征向量 1 2 解:AE

2 = 3A的特征值为=–1,= 当1=–1时,解方程组A1EXA+E)X1 1

xx

x 13AE030 3

,x1,求得

1 14

x2

x2 0

10是基础解系.所以对应1kpk0 11当2=3=2时,解方程组A2EXA–2E)X= 1 4

x 4 0 0 x1x

,分别令2和.求得1

x 0 4 1x1和1.p4,p0是基础解系 00

44所以对应于==2的所有特征向量为kp+kp(k,k不同时为零 2 3 2性质1.An阶矩阵,f(AEn个根(重根按重数计算).(f(0)0,则称0为多项式f()的根 所以A有n个特征值1 ,n na11 ann n|A|性质2.设是矩阵A的特征值,(x)=aax axm m是矩阵Am的特征值(m1);()是矩阵多项式(A)的特征A可逆时,则1A1的特征值证:因为A的特征值,所以存在0,AA2AAA2.所以2A2的特征值A3A(A2)2A3Akk.所以kAk的特征值(A)(a0Ea1A am(aa

m) 当A可逆时,则0,(否则0 A可得,A1AA1.A11所以1是逆阵A1的特征值 2.设3A的特征值为112.求|A*3A2E|.A*3A2E有3个特征值,则|A*3A2E| A*3A2E

12

A |A

|A|

1(1)2

2A令(x2x13x2,则A2A13A2A*3A2虽然A所以A)的特征值分别是(1)1,(1)3,(2)3.所以|A*3A2E|(1)(3)39 3.设,,···,Am个互不相等的特征值,p,p,···,

pi是特征值i的特征向量1imkm证:设k1p1 0.要证k1 kmkmAs0sm1s1则有(kp ,kp) sk

sk

As(k

k

)0(0sm1 m

s

11

mm 1 mm m1所以(kp ,k

)K0,K

1 m 1 m1 因为|K|是范德蒙行列式,,,···,互不相等,所以|K|0, 所以(k1p1 ,kmpm) ,0).所以kipi0,1im.但是pi0(1im).所以ki0 1im.所以,p,p

线性无关 3.12A的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为p1p2.证明p1p2A的特征向量证:反证法.

A(p1p2)(p1p2

(

p 1 22A(p)p,A( 1 22(1)p1(2)p20

1 2 因为p1,p2线性无关.所以120.所以12. 相似矩定义.ABn阶矩阵,P,P1APB,AB相似.若存在对角矩阵,A和对角矩阵相似,A可对角化.0000P1AP

(x)x的一元多项式.P1AkP

,k n0( 0

n P1(A)P 0 0( n定理.nAB相似,AB的特征多项式相同,AB的特征值亦相同.证:要证|AE||BE|AB相似,P,P-1AP所以|BE||P1APE||P1APP1(E)P||P1AE)P||P1||AE||P|AE| 0推论.若n阶方阵A与对角阵= 相似,则,,···,既是A的n个特征值0 0

n证:|E|(1 (n).所以,,···,是对角阵的特征值 因为相似矩阵有相同的特征值,A与对角阵相似,,所以,,···,是A的n个特征值 结论.f()A的特征多项式,AA和对角阵相似时很容易证明0f( 0 f(A)Pf()P1P P1P0P10 0 0f( n定理 n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量 0证:“”存在可逆阵P,使P1AP .设P(p ,p)0 0 n,Apn,Apn)A( ,pn)APP010( ,pn)nn ,npn)i所以Api=p (1in).因为P可逆,所以p1, ,pn是线性无关.所以p1, ,pn是A的线性无关的特征向量.i i“”设Ap= (1in).p1 ,pn).则P可逆 i00n,pn,pn)(1p1 ,npn)(p1 ,pn

0AP

P n 0 0所以PAP 0 n推论.nAn个互不相等的特征值,A可对角化证明口述,不板书证:前面我们证明了属于不同特征值的特征向量是线性无关的,而矩阵A有n个互不相等的特征值,所以矩阵A有n个线性无关的特征向量.所以根据上面的定理我们知道矩阵A可以 0AE的根出现的重数,称为0的代数重数例:AE1)2(2),则1的代数重数是2,2的代数重数是设0A的特征值,则A0EX0的解空间的维数称为0的几何重数定理2.设1 ,s是n阶矩阵A的全部不同的特征值,(AiE)X0的解集的秩rinRAiE.A可对角化nri的几何重数i的代数重数,(1is 1例.设A x.问x为何值时,A可对角化 0 1解:|AE|(1)2(1.A的所有不同特征值为11

2A可对角化33RA1E3RA2R(A1E)R(A2E)3101 1 1AE xr102x1.RAE2 r 101 310 0 101 1 1AE10xr100x1 r 10 10 0 A可对角化R(A1E)R(A2E)3R(A2E)1x10x 对称矩阵的对角1.实对称矩阵的特征值为实数证:设A的特征值.则存在0,Ax1

x1用表示的共轭复数,设 ,记 ,A(a)A xn xx AAAATAT

nTAT

()T TTTxx|x|2 因为0xx|x|2 所以.所以是实数 注意:A是实对称矩阵,A的特征值为实数,设0A的特征值,A0EX0的系数矩阵是实矩阵,所以它的基础解系可取实向量,A对应的特征向 性质2. 都是对称矩阵A的特征值 p,p是对应的实特征向量.则p与 证:由条件知Appi=1,2),

AAT i pTppTATppTAppTp.11 21所以(pT

0.因为,所以(p,p)pTp0 所以p与p正交 1

1 000定理.An阶对称矩阵,P,P1APPTAP0

, nA的所有特征值.A正交相似于一个对角矩阵推论.An阶对称矩阵0Ak重根,RA0Enk,从而k,所以0的代数重数0的几何重数

0

0证:设P1AP ,则P1(AE)P 000 000 0

n 因为0是|AE|(1) (n)0的k重根,所以1, ,n中恰好有k个数等于0.0 0 所以 的对角线元素恰好有k个0.所以R(A0E)nk 0 0 0求正交矩阵,nA化为对角矩阵设|EA|( ()ks,其中(ij)则的代数重数为k i求出(AiE)X0的基础解系:ii,pi,kipi1,,pi,kipi1,i令P(p11 ,p1,k , ,ps,k),则P是正交阵,

两两正交(1is)1ij(ij)

1 ,p1,k ,ps11

,ps,k两两正交 这些向量都是单位向量,而sk kn,所以p ,s

,

是n的一组规范正交基.P是正交阵 且

0 0 P1AP 0s 0s sP中列向量的排列是 0(因为如果P(p p)可逆,App,(1in),则P1AP 0 i0

n 11 例.设A 1.求一个正交阵P,使P1AP 0 解:|AE110111c20011.111111(1)((1)2)(1)2(2)A的所有不同的特征值为12(1重

21(2重对12,解方程A2EXA1EX0A

11 1

r

xx

1

0

1

xx 0

x1,则

.所以

1是基础解系 x

2

11 1把单位化,得p 11 1

11||1

3 对21,解方程AEXA2EX0 1AE 1 xx

0.分别令x21和0,x1和

x 0 1

3 1所以

10 0 2 2

0是基础解系1313把,正交化:取,

(2,3)

(,)(,)

(2,2

(2,2)2,2)2,所以

10

1 111

1 2

1112 2 2 111111 02将,单位化,p

111,p 1

||2

2

3 |||| 3 0令P(p,p,p),则P是正交阵,且P1AP 0

01 0如果令Q(p,p,p),则Q1AQ 0 例.A

1,An

1 2 解:P,P1AP为对角阵2 |AE

2

(1)(3)对11,解方程AEX0 AE

1

.

x

0.x1,x1所以

1 0 1是基础解对23,解方程A3EX0A3E

1

1.

x

0.x1,x1

0 所以

1 P1

).则P1AP 0 3 n所以AP 0P1.所以 P P1P n 3

例.(Ex9)A23A2E0A的特征值只能取1或2证:设0A的特征值,则存在0A0 所以232A23A2E)0.所以2

20所以01或2 例.(Ex10)A为正交阵,且|A|1.证明1A的特征值.证.只要证|AE||A(1E|0.AATAE所以|AE||AATA||E|AE||A||AE|所以|AE|0 例.(Ex20)设矩阵A 2与 相似,求x,y;并求一个正交 1 y PP1APxyA的所有特征值为54y5(4)y1x所以|A4E||A5E|

x4y5一.二次型的定义

二次型及其标准定义

f(x1 称为,x)ax2ax2 11 22ax22axx2axx22 121 131,x)ax2ax2 11 22ax22axx2axx22 121 131 n1,nn1,x)ax2axx 11 121axxaxxax21n1 212 22ax2n2axxaxxn1n n2nnnf(x1 n aijxix aijxjxii,j

i1j a11x1a12x2 a1nxna21x1a

ax(x,x ,x)

22 2nn1 n axax axn1

n2

nnn

a1nx1

xx,x ,x

2n2

xx1

na1n

nnnx aX

2,A

2n

A是对称矩阵 x an nn则f(x ,x)XTAX A称为二次f的矩阵.A的秩称为二次f的秩注意:1.fA是对称矩阵.若ij,axx的系数的一半.ax2的系数 i 2.显然二次型和对称矩阵是一一对应的.fXXTAX(A对称 0

例.二次型fx22x23x24xx6xx的矩阵为A 1 2 3 0 例.二次型fx23z24xyyz的矩阵为A 100 4 例.求二次型f(X)XT 7X

2解.fXx22x23x226)xx42)xx(73)x 1 1 2x22x23x28xx6xx10xx 1 1 2 3 所以二次型f的矩阵是 4 3 二.二次型的标准形和规范形 0 fXXT Xdx2称为标准二次型0 0d d n

i定义.Pn阶矩阵

x1 y1 X ,Y ,XPY称为 x yn nP可逆,XPY是可逆的线性变换,P是正交矩阵,XPY为正交变换二次型f(X)XTAX(A对称)可逆)f(X CYTACYYTCTACYx1 其中X

y1 Y .gYYTCTACY x yn n1.关于变量Yg的矩阵是CTAC.(A是对称矩阵,CTACTCTATCTTCTAC,所以CTAC是对称矩阵,g的矩阵是CTAC定义.如果C可逆,则称CTACA合同gf的矩阵是合同的2.R(CTAC)RA).f的秩g的秩定理.任给二次型f(x ,x)XTAX,(A对称),总有正交变换XPY,使 f(PY)y2y2 y21 2 n2n其中 ,是二次型f的矩阵A的所有特征值.称y22n

为二次型 1 2f(x1 xn的标准形.注意二次型的标准形不是唯一的 00证:因为A对称,所以存在正交矩阵P,使得PTAPP1AP 0 XPY,

n 0f(PY)PYTAPYYTPTAPYYT Yy2y2 y2 0 0

1 2 n n推论.任给二次型f(x ,x)XTAX,(A对称),总有可逆变换XPY, f(CY)y2 y2y2 y2.其中rR(A).称之为二次型f(x ,x)的规范形